4.2.3直线与圆的方程的应用.ppt

4.2.3 直线与圆的方程的应用 抗日战争时期，虎子担任我军的交通员，在一次抗日战争时期，虎子担任我军的交通员，在一次送情报中，遇上一个鬼子兵的追捕当虎子跑到一个送情报中，遇上一个鬼子兵的追捕当虎子跑到一个大的圆形池塘边时，鬼子兵看着无路可走的虎子就猛大的圆形池塘边时，鬼子兵看着无路可走的虎子就猛扑上去虎子急中生智，纵身跳到池塘里鬼子兵不扑上去虎子急中生智，纵身跳到池塘里鬼子兵不会游泳，只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动，打算在会游泳，只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动，打算在虎子爬上岸时抓住他如果鬼子兵跑动的速度是虎子虎子爬上岸时抓住他如果鬼子兵跑动的速度是虎子游泳速度的游泳速度的2.52.5倍，问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼子倍，问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼子兵的追捕？兵的追捕？通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握此类解决问题的基本思想和方法对此，我们必须掌握此类解决问题的基本思想和方法.一般地一般地,已知直线已知直线Ax+By+CAx+By+C=0(A,B=0(A,B不同时为零不同时为零)和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,则圆心则圆心(a,ba,b)到此直线的距离为到此直线的距离为drdrdrd d与与r r的大小关系的大小关系2 2个个1 1个个0 0个个交点个数交点个数图形图形相交相交相切相切相离相离位置位置rdrdrd则则求圆心坐标及半径求圆心坐标及半径r r（配方法）（配方法）圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d（点到直线距离公式）（点到直线距离公式）消去消去y y几何方法几何方法代数方法代数方法判断直线和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系1.1.理解直线与圆的位置关系的几何性质理解直线与圆的位置关系的几何性质.（重点）（重点）2.2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系.（难点）（难点）3.3.会用会用“数形结合数形结合”的数学思想解决问题的数学思想解决问题知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km70 km处，处，受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km30km的圆形区域的圆形区域.已知已知港口位于台风中心正北港口位于台风中心正北40 km40 km处，如果这艘轮船不处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：解：以台风中心为原点，以台风中心为原点，东西方向为东西方向为x x轴，建立轴，建立如图所示的直角坐标系，如图所示的直角坐标系，（其中，取（其中，取10 km10 km为单位为单位长度）这样，受台风影响长度）这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的圆形区域所对应的圆方程为方程为 轮船航线所在直线轮船航线所在直线L L的方程为的方程为4x+7y-28=04x+7y-28=0问题归结为问题归结为圆与直线圆与直线L L有无公共点的问题有无公共点的问题.xOy港口港口.轮船轮船例例1.1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个这个圆的圆拱跨度圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间，建造时每间隔隔4m4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的高度的高度（精确到（精确到0.01m0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2知识应用知识应用分析：分析：建立如图所示建立如图所示的直角坐标系，把实的直角坐标系，把实际问题转化为数学问际问题转化为数学问题题求出圆拱桥所求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实际问题在的圆的方程；然后解决这个实际问题利用圆利用圆的方程求出点的方程求出点P P2 2的坐标，从而求线段的坐标，从而求线段A A2 2P P2 2的长，解释的长，解释实际意义实际意义圆拱形桥支柱的高圆拱形桥支柱的高A A2 2P P2 2.ABA1A2A3A4OPP2yx解：解：建立如图所示的建立如图所示的直角坐标系，使圆心直角坐标系，使圆心在在y y轴上，设圆心的轴上，设圆心的坐标是（坐标是（0 0，b b），圆），圆的半径为的半径为r r，那么圆的方程为：，那么圆的方程为：x x2 2（y yb b）2 2r r2 2，点点P P（0,40,4），），B B（10,010,0）在圆上，所以有）在圆上，所以有ABA1A2A3A4OPP2yx解得：解得：所以，圆的方程为：所以，圆的方程为：把把 的横坐标的横坐标 代入代入 圆的方程得：圆的方程得：由题可知由题可知y y0 0，解得：，解得：y3.86(m)y3.86(m)答：支柱答：支柱A A2 2P P2 2的高度约为的高度约为3.86 m.3.86 m.思考：思考：不建立坐不建立坐标系标系,如何解决如何解决这个问题这个问题?C CB B作作即即得得在在中，中，得得又又在在中中所以支柱所以支柱A A2 2P P2 2的高度约是的高度约是3.86m.3.86m.解法如下解法如下C CHB B 某某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分现在陈图所示的一部分现在陈师傅师傅所在的车间准备重新做一所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅师傅在零件上画了一条线段在零件上画了一条线段 ABAB，并作出了，并作出了 ABAB 的垂直平分线的垂直平分线 MNMN，而且测得，而且测得 ABAB8 8 cmcm，MNMN2 2 cmcm根据已有数据，试根据已有数据，试帮陈帮陈师傅师傅求出这个零件的半径求出这个零件的半径ABNM【变式练习变式练习】解：解：以以 ABAB 中点中点 M M 为原点，建立如图为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有所示的平面直角坐标系，由已知有 A A(4 4，0 0)，B B(4 4，0 0)，N N(0 0，2 2)设过设过 A A，B B，N N 的圆的方程为的圆的方程为 x x2 2y y2 2DxDxEyEyF F0 0，代入代入 A A，B B，N N 的坐标，可得的坐标，可得 解得解得 ABNMxy因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为x x2 2y y2 26y6y16160 0，化为标准方程是化为标准方程是x x2 2(y(y3)3)2 25 52 2，所所以以这个零件的半径为这个零件的半径为 5 5 cmcmABNMxy例例2 2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半一半.探究探究:解决解决平面几何问题常利用平面几何问题常利用“坐标法坐标法”，首先，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？如何选取坐标系？x xy yO O如图所示如图所示探究：探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(aA(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)，D(0D(0，d)d)，那么，那么BCBC边边的长为多少？的长为多少？yABCDMxOE探究：探究：四边形四边形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心OO的坐标如何表示的坐标如何表示？OABCDxyOENM过过四四边边形外接形外接圆圆的的圆圆心心OO分分别别作作ACAC、BDBD、ADAD的垂的垂线线，垂足，垂足为为M M、N N、E E，则则M M、N N、E E分分别为别为ACAC、BDBD、ADAD的中点，由中点坐的中点，由中点坐标标公式，有：公式，有：证明：证明：以四边形以四边形ABCDABCD互相垂直的对角线互相垂直的对角线CACA、BDBD所在直所在直线分别为线分别为x x轴、轴、y y轴，建立如图所示的直角坐标系，设轴，建立如图所示的直角坐标系，设A A（a a，0 0），），B B（0 0，b b），），C C（c c，0 0），），D D（0 0，d d），过四），过四边形外接圆的圆心边形外接圆的圆心 分别作分别作ACAC、BDBD、ADAD的垂线，垂的垂线，垂足为足为M M、N N、E E，则，则M M、N N、E E分别为分别为ACAC、BDBD、ADAD的中点，的中点，第一步第一步:建立坐建立坐标系，用坐标标系，用坐标表示有关的量表示有关的量.OABCDxyOENM由中点坐标公式，有：由中点坐标公式，有：第二步第二步:进行进行有关代数运算有关代数运算由两点间的距离公式，有：由两点间的距离公式，有：所以所以即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.第三步第三步:把代数把代数运算结果翻译成运算结果翻译成几何关系几何关系.利用利用“坐标法坐标法”解决平面问题的解决平面问题的“三步曲三步曲”：第一步：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问表示问题题中的几何元素，将平面几何问题转中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题化为代数问题第二步：第二步：通过代数运算，解决代数问题通过代数运算，解决代数问题第三步：第三步：把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论【提升总结提升总结】【变式练习变式练习】1.1.直线直线y=kx+3y=kx+3与圆（与圆（x-3x-3）2 2+（y-2y-2）2 2=4=4相交于相交于M M，N N两点，若两点，若|MN|2|MN|2，则，则k k的取范围是的取范围是 （）（）A.B.A.B.C.D.C.D.A A2.2.若若O O1 1：x x2 2+y+y2 2=5=5与与O O2 2：（：（x-5x-5）2 2+y+y2 2=20=20（mRmR）相交于相交于A A、B B两点，且两圆在点两点，且两圆在点A A处的切线互相垂直，处的切线互相垂直，则线段则线段ABAB的长度是（）的长度是（）A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4D D解：解：选选D.D.由题意作出图形由题意作出图形分析得：由圆的几何性质分析得：由圆的几何性质两圆在点两圆在点A A处的切线互相垂处的切线互相垂直，且过对方圆心直，且过对方圆心C C2 2,C,C1 1则在则在RtCRtC2 2ACAC1 1中，中，|C|C1 1A|=A|=，|C|C2 2A A|=|=，斜边上的高为半弦，斜边上的高为半弦，用等积法易得用等积法易得：分析：分析：从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系角度处理直线与圆的位置关系角度处理.1.1.用坐标法解决几何问题的步骤：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程用坐标和方程表示问题中的几何元素表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数将平面几何问题转化为代数问题；问题；第二步：通过代数运算第二步：通过代数运算,解决代数问题；解决代数问题；第三步：将代数运算结果第三步：将代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论.2.2.对于直线和圆对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则熟记各种定义、基本公式、法则固然重要固然重要,但要做到迅速、准确地解题但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握还必须掌握一些方法和技巧一些方法和技巧.不要垂头丧气，即使失去一切，明天仍在你的手里。