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4.2 简单线性规划简单线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值.xOy5x+6y=30BACy=1y=3x问题转化为当点(x,y)在公共的平面区域中时,求z=2x+y的最大值和最小值.2x+y=02x+y=1此时Z最小此时Z最大xOy5x+6y=30BACy=1y=3x由于顶点A的坐标为顶点B的坐标为所以问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。目标函数（线性目标函数）线性约束条件线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。抽象概括例6：设x,y满足约束条件(1)求目标函数z=2x+3y的最小值与最大值;(2)求目标函数z=-4x+3y-24的最小值与最大值.解:(1)作出可行域.Oxy4x+3y=36x=-3y=-4-4x+3y=12令z=0,作直线l:2x+3y=0ABCD当把l平移到B点时,z最小,平移到D点时,z最大由于B点的坐标为(-3,4),D点的坐标是方程组的解,为(3,8)此时顶点B(-3,4)与顶点D(3,8)为最优解所以,(2)可行域同(1)Oxy4x+3y=36x=-3y=-4-4x+3y=12令z=0,作直线l0:2x+3y=0ABCD当把l平移到C点时,z最小,平移到直线-4x+3y=12时,z最大C点的坐标是方程组的解,为(12,-4)所以,设目标函数为z=ax+by+c,当b0时,把直线l0:ax+by+c=0向上平移时,所对应的z随之增大;把直线l0向下平移时,所对应的z随之减小.抽象概括求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by+c=0(3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得的最优解的点；(4)解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。例7 在约束条件下,求目标函数z=3x-y的最小值和最大值解 当z=-4,-2,0,1,3时,可得到一组平行线当l0向上平移时,所对应的z随之减小;当l0向下平移时,所对应的z随之增大.作出可行域.Oxyx+2y=-4x=-2x-y=1令z=0,作直线l:3x-y=0ABC当把l平移到B点时,z最小,平移到D点时,z最大B点的坐标是方程组的解,为(-2,3)所以,A点的坐标是方程组的解,为(2,1)例8 求z=4a-2b在约束条件下的最小值和最大值解 作出可行域Oaba-b=-1AAa-b=2a+b=2a+b=4C由得仿上例,可知z在顶点A取得最小值,在顶点C取得最大值由得所以,1、求z=3x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 2x+3y 24 x-y 7 y 6 x 0 y 0XOYABCD712-768y=6x-y=72x+3y=24l0:3x+y=0l11、解线性规划问题的步骤.2、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.3、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义