（步步高）（新人教）高考数学第一轮复习精品课件：集合与常用逻辑用语（共3课时91页PPT）.ppt

第一编 集合与常用逻辑用语2021/8/11 星期三11.1 集合的概念及其基本运算集合的概念及其基本运算 要点梳理要点梳理1.集合元素的三个特征：、.2.元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示.3.集合的表示法：、.4.常用数集：自然数集N N；正整数集N N*（或N N+）；整数集Z Z；有 理数集Q Q；实数集R R.确定性互异性无序性属于不属于列举法描述法图示法区间法2021/8/11 星期三25.集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为 、.6.子集、真子集及其性质 对任意的xA，都有xB，则A B（或B A）.若A B，且在B中至少有一个元素xB，但x A，则A B（或B A）.若A含有n个元素，则A的子集有 个，A 的非空子集有 ，A的非空真子集有 个.7.集合相等 若A B且B A，则A=B.有限集无限集空集2n2n-12n-22021/8/11 星期三38.集合的并、交、补运算 并集：AB=x|xA或xB；交集：AB=x|xA且xB；补集：UA=x|xU且xA.U为全集，U A表示A相对于全集 U 的补集.9.集合的运算性质 并集的性质：A =A；A A=A；A B=B A；A B=A B A.交集的性质：A =；A A=A；A B=B A；A B=A A B.补集的性质：A(UA)=U；A(UA)=；U(UA)=A；U(AB)=(UA)(UB)；U(A B)=(UA)(UB)2021/8/11 星期三4 基础自测基础自测1.（20082008山东，山东，1 1）满足M a1，a2，a3，a4，且M a1，a2，a3=a1，a2的集合M的个数是 （）A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 由题意知a1,a2必属于M,a3M,a4不一定,故选B.2.（2009安徽怀远三中月考安徽怀远三中月考）若A=2，3，4 B=x|x=m n,m n，则集合B的元素个数为 （）A.2 B.3 C.4 D.5BB2021/8/11 星期三53.设全集U=1，3，5，7，集合M=1，|a-5|，M U,U M=5，7，则a的值为 （）A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8 解析解析 UM=5，7，M=1，3，|a-5|=3，a=8或a=2.4.（20082008四川理，四川理，1 1）设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，3，4，则 U(AB)等于 （）A.2，3 B.1，4，5 C.4，5 D.1，5 解析解析 A=1，2，3，B=2，3，4，AB=2，3.又U=1，2，3，4，5，U(AB）=1，4，5.DB2021/8/11 星期三65.设U为全集，非空集合A、B满足AB，则下列集合为空 集的是 （）A.AB B.A(UB)C.B(UA)D.(UA)(UB)解析解析 画出满足条件的 Venn 图，如图，由图可知A(UB)=.B2021/8/11 星期三7 题型一题型一 集合的概念集合的概念 若a，b R R，集合1,a+b，a=0，b，求b-a的值.【思维启迪】由1,a+b,a=0,b可知，a0,因此只 能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别求 出a、b的值即可.解解 由1,a+b,a=0,b 可知a0,则只能a+b=0,则有以下对应关系：由得，符合题意，无解，所以b-a=2.2021/8/11 星期三8探究拓展探究拓展（1）解决该类问题的基本方法为：利用集合中 元素的特点，列出方程组求解.但解出后应注意检验，看所 得结果是否符合元素的互异性.（2）解决此类问题还可以根据两集合中元素的和相等、元 素的积相等，列方程求解，但仍然要检验.2021/8/11 星期三9 题型二题型二 集合与集合的关系集合与集合的关系 已知集合A=x|0ax+15,集合B=x|-x 2.（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理 由.【思维启迪思维启迪】利用数轴作工具，使问题得到解决.2021/8/11 星期三10解解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a=0，则A=R R；若a0，则A=x|x-;若a0,则A=x|-x .（1）当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a0时，若AB，如图,2021/8/11 星期三11则 当a0时，若AB，如图,则-82021/8/11 星期三12a2.综上知，此时a的取值范围是a-8或a2.（2）当a=0时，显然BA；当a0时，若BA，如图,则 -a0；当a0时，若B A，如图,，2021/8/11 星期三13.（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.2021/8/11 星期三14探究拓展探究拓展 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个 有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解 含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论.分类 时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤：确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论.2021/8/11 星期三15 题型三题型三 集合的基本运算集合的基本运算 （12分）设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1)若AB=2,求实数a的值;(2)若AB=A,求实数a的取值范围;(3)若U=R R,A(UB)=A,求实数a的取值范围.【思维启迪思维启迪】对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,而后根据已知条件求参数.2021/8/11 星期三16解解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A=1,2.(1)AB=2,2B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0，a=-1或a=-3.1分当a=-1时,B=x|x2-4=0=-2,2,满足条件;当a=-3时,B=x|x2-4x+4=0=2,满足条件;综上,a的值为-1或-3.3分2021/8/11 星期三17(2)对于集合B,=4（a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).AB=A,BA,当0,即a-3时,B=，满足条件;当=0,即a=-3时,B=2,满足条件;当0,即a-3时,B=A=1,2才能满足条件,5分则由根与系数的关系得 1+2=-2(a+1)12=a2-5综上,a的取值范围是a-3.7分,即a=-a2=7,，矛盾.2021/8/11 星期三18(3)A(UB)=A,A UB,AB=.8分若B=,则0a-3适合;若B,则a=-3时,B=2,AB=2,不合题意;A-3,此时需1B且2B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去);将1代入B的方程得a2+2a-2=0a=-1.a-1且a-3且a-1 .11分综上,a的取值范围是a-3或-3a-1-或-1-a-1或-1a-1+或a-1+.12分探究拓展探究拓展 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用,还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解.2021/8/11 星期三19 题型四题型四 关于集合的关于集合的“新定义型新定义型”问题问题 若集合A1，A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合 A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与 (A2,A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=1，2，3的不 同分拆种数是 （）A.27 B.26 C.9 D.8【思维启迪思维启迪】所谓“分拆”不过是并集的另一种说法，关 键是要分类准确.A2021/8/11 星期三20解析解析 A1=时，A2=1，2，3，只有一种分拆；A1是单元素集时（有3种可能），则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况（如A1=1时，A2=2，3或A2=1，2，3），这样A1是单元素集时的分拆有6种；A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素（如A1=1，2时，A2=3或A2=1，3或A2=2，3或A2=1，2，3），这样A1 是两个元素的集合时的分拆有12种；A1是三个元素的集合时（只有1种），则A2可能包含0，1，2或3个元素（即A1=1，2，3时，A2可以是集合1，2，3的任意一个子集），这样A1=1，2，3时的分拆有23=8种.所以集合A=1，2，3的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.2021/8/11 星期三21探究拓展探究拓展 解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关的所学知识帮助理解.同时，找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.2021/8/11 星期三22方法与技巧方法与技巧1.解题时要特别关注集合元素的三个特性，特别是互异性，要进行解题后的检验.注意将数学语言与集合语言进行相互 转化.2.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏掉.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系；二 是集合与集合的包含关系.2021/8/11 星期三23失误与防范失误与防范1.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他 情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常 用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是 空心.3.要注意AB、AB=A、AB=B、UA UB、A(UB)=这五个关系式的等价性.2021/8/11 星期三241.设含有三个实数的集合可表示为a,a+d,a+2d,也可表示为 a,aq,aq2，其中a、d、qR R,求常数q.解解 依元素的互异性可知，a0，d0,q0,q1.a+d=aq,a+2d=aq2 由（1）得a+2a(q-1)=aq2,a0,q2-2q+1=0,q=1(舍去).由(2)得a+2a(q2-1)=aq,a0,2q2-q-1=0,q=1或q=-.q1,q=-.综上所述,q=-.或（2）a+d=aq2,a+2d=aq.由两集合相等，有（1）2021/8/11 星期三252.（1）若集合P=x|x2+x-6=0，S=x|ax+1=0，且SP，求a的可取值组成的集合；（2）若集合A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1，且B A，求由m的可取值组成的集合.解解 （1）P=-3，2.当a=0时，S=，满足SP；当a0时，方程ax+1=0的解为x=-，为满足SP，可使-=-3或-=2，即a=或a=-.故所求集合为0，-.2021/8/11 星期三26（2）当m+12m-1，即m2时，B=，满足BA；若B，且满足BA，如图所示,m+12m-1，m+1-2，2m-15，综上所述，m的取值范围为m2或2m3，即所求集合为m|m3.m2，m-3，m3，即2m3.则2021/8/11 星期三273 3.(2009(2009菏菏泽模拟）已知集合泽模拟）已知集合P P=函数函数f f（x x）=loglog2 2（axax2 2-2-2x+x+2 2）的定义域为）的定义域为Q Q，若，若P Q=P Q=，P Q=P Q=（-2-2，3 3），），求实数求实数a a的值的值.解解 由条件知由条件知Q=Q=，即即axax2 2-2-2x x+2+2 0 0的解集为（的解集为（-2-2，）.a a0 0，且，且axax2 2-2-2x+x+2=02=0的两根为的两根为-2-2，2021/8/11 星期三284.设集合S=A0,A1,A2,A3，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3，则满足关系式(x x)A2=A0的x（xS）的个数为 （）A.1 B.2 C.3 D.4解析解析 验证法：（A0A0）A2=A0 A2=A2A0，A0不满足关系式；（A1 A1）A2=A2 A2=A0，A1符合关系式；（A2 A2）A2=A0 A2=A2A0,A2不满足关系式；（A3 A3）A2=A2 A2=A0，A3符合关系式.B2021/8/11 星期三291.D 2.B 3.C4.(2008(2008安徽理，安徽理，2)2)集合A=yR R|y=lgx，x1，B=-2，-1，1，2，则下列结论中正确的是 （）A.AB=-2，-1 B.（R RA）B=（-，0）C.AB=（0，+）D.（R RA）B=-2，-1 解析解析 经化简，A=yR R|y0,B=-2,-1,1,2,所以 RA=y R R|y0，故（R RA）B=-2，-1.而AB=1，2，故A错；（RA）B=yR R|y0或y=1或 y=2，故B错；AB=yR R|y0或y=-1或y=-2，故C错.D2021/8/11 星期三305.已知集合P=（x，y）|x|+|y|=1，Q=（x，y）|x2+y2 1，则 （）A.PQ B.P=QC.PQ D.PQ=Q 解析解析 分四类讨论化简方程|x|+|y|=1得点集P表示的图形 为如图甲中的正方形，而点集Q表示单位圆面如图乙所示.P是Q的真子集.A2021/8/11 星期三316.C 7.8.（20082008福建理，福建理，1616）设P是一个数集，且至少含有两个 数，若对任意a、bP，都有a+b、a-b、ab、P（除数 b0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q Q是数域;数集 =a+b|a,bQ Q也是数域.有下列命题:整数集是数域;若有理数集Q QM,则数集M必为数域;数域必为无限集;存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题 的序号都填上)2021/8/11 星期三32解析解析 1Z Z,2Z Z,必须在整数集内,而 Z Z,故错误;设M中除了有理数外还有另一个元素 ,则Q QM,2Z Z,2 也必须在M内,而2 M,故错误;设数域P,aP,bP(假设a0),则a+bP,则a+(a+b)=2a+bP,同理,na+bP,nN N,故数域必为无限集;形如M=a+bx|a,bQ Q,x为无理数这样的数集都是数 域,故存在无穷多个数域.答案 2021/8/11 星期三339.已知集合A=x|mx2-2x+3=0，mR R.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解解 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.（1）A是空集，方程mx2-2x+3=0无解.=4-12m0,即m .（2）A中只有一个元素，方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;若m0，则=0，即4-12m=0,m=.m=0或m=.（3）A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空 集两种含义，根据(1)、(2)的结果，得m=0或m .2021/8/11 星期三3410.（1）a=0（2）11.（1）（2）812.设集合A=（x,y）|y=2x-1,xN N*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN N*，问是否存在非零整数a,使AB？若存 在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解解 假设AB，则方程组 y=2x-1 y=ax2-ax+a 得ax2-(a+2)x+a+1=0 （*）由0，有(a+2)2-4a(a+1)0,有正整数解，消去y,2021/8/11 星期三35 解得 因a为非零整数，a=1，当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而xN N*.故a-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AB,此时AB=（1，1），（2，3）.返回2021/8/11 星期三36 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条命题及其关系、充分条件与必要条件件1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈 述句叫做命题.其中 的语句叫真命题,的 语句叫假命题.2.四种命题及其关系 （1）四种命题 要点梳理要点梳理判断真假判断为真判断为假命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题 逆否命题若q，则p若 p，则 q若 q，则 p2021/8/11 星期三37（2）四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 .相同没有关系逆命题否命题逆否命题2021/8/11 星期三383.充分条件与必要条件（1）如果pq,则p是q的 ，q是p的 ；（2）如果pq,qp,则p是q的 .4.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命 题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.1.下列语句中不是命题的是 （）A.|x+a|B.0N N C.元素与集合 D.真子集 解析解析 由命题的定义知，A、C、D都不能作出真假 判断，故都不是命题.而B是一个假命题.充分条件充要条件必要条件基础自测基础自测B2021/8/11 星期三392.（20082008湖北理，湖北理，2 2）若非空集合A、B、C满足AB=C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是 （）A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件 D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件解析解析 由题意知，A、B、C的关系用图来表示.若xC，不 一定有xA，而xA,则必有xC，“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件.B2021/8/11 星期三403.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命 题t的 （）A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题 解析解析 由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题的否命题.4.（20082008浙江理，浙江理，3 3）已知a,b都是实数,那么“a2b2”是“ab”的 （）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析解析 当a2b2时，则a2-b20,即(a+b)(a-b)0,当a,b同为正时，有ab;当a、b同为负时，ab,所以当a2b2时，不一定有ab成立.反之，当ab时，也不一定有a2b2，例如1-2，而12(-2)2.CD2021/8/11 星期三415.设集合A、B，有下列四个命题：AB对任意xA都有xB;ABAB=;ABBA;AB存在xA,使得xB.其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填 上）解析解析 不正确.如A=1，2，3，B=2，3，4有AB但2A且2B.不正确.如A=1，2，B=2，3有AB而AB=2.不正确.如A=1，2，B=2有AB但BA.正确.2021/8/11 星期三42 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它 们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c c=b+d.【思维启迪】先找出原命题的条件p和结论q,然后根据四种 命题之间的关系直接写出.题型一题型一 四种命题的关系与四种命题的关系与命题真假性的判断命题真假性的判断2021/8/11 星期三43解解（1）原命题:若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.(2)原命题：若两个三角形全等，则它们的面积相等.逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.2021/8/11 星期三44（3）原命题：已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则 a+c=b+d.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+cb+d.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+cb+d,则a与b,c与d不都相等.2021/8/11 星期三45 探究拓展 已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把 原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论 q,再根据四种命题的定义写出其他命题.逆命题：“若q，则p”；否命题：“若 p,则 q”；逆否命题：“若 q,则 p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要 动.2021/8/11 星期三46 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不 必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既 不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在ABC中，p：A=B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6;（3）非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；（4）已知x、yR R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.【思维启迪思维启迪】首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断.题型二题型二 充要条件的判断充要条件的判断2021/8/11 星期三47解解 （1）在ABC中，A=B sinA=sinB，反之，若 sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180),所以只有A=B.故p是q的充要条件.（2）易知,p:x+y=8 q:x=2且y=6,显然 q p,但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.（3）显然xAB不一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.（4）条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件.探究拓展探究拓展 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.2021/8/11 星期三48 （12分）已知ab0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【思维启迪】此类问题需证明两个命题，即充分性与必 要性，故应分清谁是条件，谁是结论，然后再分别证明.题型三题型三 充要条件的证明充要条件的证明2021/8/11 星期三49证明证明 （必要性）a+b=1，a+b-1=0，1分a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）4分=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.6分（充分性）a3+b3+ab-a2-b2=0，即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0，8分又ab0,a0且b0,a2-ab+b2=(a-)2+b20,a+b-1=0,即a+b=1,10分综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.12分2021/8/11 星期三50探究拓展探究拓展 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性.2021/8/11 星期三51方法与技巧方法与技巧1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留 大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的 命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或n个）作为 大前提.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定 理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的.2021/8/11 星期三523.命题的充要关系的判断方法（1）定义法：直接判断若p则q;若q则p的真假.（2）等价法:即利用A B与 B A;B A与 A B;AB与 B A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命 题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条 件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.失误与防范失误与防范 注意对“且”“或”的正确理解，“且”的意思与通常理 解的“既是同时是”是一样的，“或”则是与通 常理解的“非此则彼”有区别，它可以是两者兼有.2021/8/11 星期三531.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的 三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相 等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互 相平分或不相等”.原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.2021/8/11 星期三542.（20082008湖南理，湖南理，2 2）“|x-1|2成立”是“x(x-3)0成 立”的 （）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析解析|x-1|2成立-1x3成立，x(x-3)0成立 0 x3成立,又-1x3 0 x3,0 x3-1x3,“|x-1|2成立”是:“x(x-3)0成立”的必要不充分 条件.3.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.B2021/8/11 星期三55证明证明 充分性：若ac0,则b2-4ac0,且 0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方 程有一正根和一负根.必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负 根，则=b2-4ac0,x1x2=0,ac0.综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根 的充要条件是ac0.2021/8/11 星期三561.B 2.A 3.A4.对任意实数a,b,c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的个数是 （）A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 对于，“a=b”能推出“ac=bc”,“ac=bc”不能推出 “a=b”，所以是充分不必要条件，是假命题；对于,“a+5是无理数”“a是无理数”，是真命题；对于，“ab”“a2b2”，是假命题；对于，“a5”“a3”，但“a3”“a5”，所以“a5”是“a3”的必要条件，是真命题.B2021/8/11 星期三575.B 6.（20082008安徽理，安徽理，7 7）a0是方程ax2+2x+1=0至少有一个 负数根的 （）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析解析 当a0时，由韦达定理知x1x2=0,故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a=0时，该方程仅有一根 为-,所以a不一定小于0.由上述推理可知，a0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件.B2021/8/11 星期三587.8.设A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0,则使 AB成立的实数m的取值范围是 .9.10.已知x,yR R.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明证明 （充分性）若xy0,则x,y至少有一个为0或同号.|x+y|=|x|+|y|一定成立.（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,xy=|xy|,xy0.综上，命题得证.2021/8/11 星期三5911.a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则1=1-4b0,2=a2-4c0,1+2=1-4b+a2-4c0.a=b+c+1,b+c=a-1.1-4(a-1)+a20,即a2-4a+50.但是a2-4a+5=(a-2)2+10,故矛盾.所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个 方程有两个不相等的实数根.2021/8/11 星期三6012.设 、是方程x2-ax+b=0的两个根，试分析a2且b1是 两根 、均大于1的什么条件？解解 令p:a2,且b1;q:1,且1,易知 +=a,=b.+2 1,不能推出 1且 1.可举反例：若 +=6 =3，若 1,且 1，则 +1+1=2,1.所以由q可推 出p.综合知p是q的必要不充分条件,也即a2,且b1是两根 、均大于1的必要不充分条件.则 =6 =,所以由p推不出q；若a2,且b1,即返回2021/8/11 星期三61 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题中的“”、“”、“”叫做逻辑联 结词.要点梳理或且非2021/8/11 星期三62 2.用来判断复合命题的真假的真值表：p q p qp qp q(p q)(p q)p q p q真 真 假 假 真 假 假真 假 假 真 真 假假 真 真 假 假 真 假假 假 真 真 假 真 真真假假 真假 假 真真 假 真假真真2021/8/11 星期三633.全称量词与存在量词 （1）常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每 一个”、“任给”、“所有的”等.（2）常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等.(3）全称量词用符号“”表示;存在量词用符号“”表示.4.全称命题与特称命题 （1）的命题叫全称命题.（2）的命题叫特称命题.5.命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称 命题.（2）p或q的否定为：非p且非q;p且q的否定为：非p或非q.含有全称量词含有存在量词 2021/8/11 星期三641.已知命题p：xR R,sinx1,则 （）A.p：x R R，sinx1 B.p：x R R，sinx1 C.p：x R R，sinx1 D.p：x R R，sinx1 解析解析 命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题.2.已知命题p：33；q：34,则下列选项正确的是（）A.pq为假，pq为假，p为真 B.pq为真，pq为假，p为真 C.pq为假，pq为假，p为假 D.pq为真，pq为假，p为假 解析解析 命题p：33是真命题，q:34是假命题，pq为真，pq为假，p为假.基础自测CD2021/8/11 星期三653.(2008(2008广东理，广东理，6)6)已知命题p:所有有理数都是实数;命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 （）A.（p）q B.pq C.（p)（q）D.（p）（q）解析解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上 述叙述中只有（p）（q）为真命题.4.下列命题中是全称命题的是 （）A.圆有内接四边形 B.C.D.若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角 三角形 解析解析 由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称 命题.DA2021/8/11 星期三665.命题：“至少有一个点在函数y=kx(k0)的图象上”的否 定是 （）A.至少有一个点在函数y=kx（k 0）的图象上 B.至少有一个点不在函数kx（k 0）的图象上 C.所有点都在函数y=kx（k 0）的图象上 D.所有点都不在函数y=kx（k 0）的图象上 解析解析 因特称命题p：xM，p（x）的否定为全称命题 p:xM,p(x).D2021/8/11 星期三67 分别指出由下列命题构成的“p q”、“p q”、“p”形式的命题的真假.（1）p:3是9的约数,q:3是18的约数;（2）p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直;（3）p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同,q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等.（4）p:是有理数,q:是无理数.【思维启迪思维启迪】由含逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的形式及其真值表直接判断.题型一题型一 复合命题的构造及其真假性的判断复合命题的构造及其真假性的判断2021/8/11 星期三68解解 （1）p是真命题，q是真命题，pq是真命题，pq是真命题，p是假命题.(2)p是假命题,q是真命题,pq是真命题,pq是假命题,p是真命题.(3)p是假命题,q是假命题，pq是假命题，pq是假命题,p是真命题.(4)p是假命题,q是真命题,pq是真命题,pq是假命题,p是真命题.探究拓展探究拓展 判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假：必须弄清构成它的命题的真假；弄清结构形式；根据真值表判断其真假.2021/8/11 星期三69 （12分）已知两个命题r（x）:sinx+cosxm,s(x):x2 +mx+10.如果对xR R,r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围.【思维启迪思维启迪】由已知先求出对xR R时，r（x），s（x）都是真命题时m的范围，再由要求分情况讨论出所求m的范围.题型二题型二 以复合命题的真假为背景，求解参数以复合命题的真假为背景，求解参数2021/8/11 星期三70解解 sinx+cosx=sin当r(x)是真命题时，m-2分 又对xR R，s(x)为真命题，即x2+mx+10恒成立，有=m2-40,-2m2.4分当r(x)为真，s(x)为假时，m-，同时m-2或m2,即m-2,6分当r(x)为假，s(x)为真时，m-且-2m2,即-m2.8分综上，实数m的取值范围是m-2或-m2.12分探究拓展探究拓展 解决这类问题时，应先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2021/8/11 星期三71 题型三题型三 含有量词的命题的否定含有量词的命题的否定 写出下列命题的“否定”，并判断其真假.（1）p：xR R，x2-x+0；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：xR R，x2+2x+20；（4）s：至少有一个实数x，使x3+1=0.【思维启迪思维启迪】这四个命题中，p、q是全称命题，r、s是 特称命题.全称命题p：xM，p（x），它的否定 p：xM,p(x).特称命题q：xM，q（x）,它的否定 q:xM,q(x).2021/8/11 星期三72解解 （1）p：xR R，x2-x+0,这是假命题，因为xR R，x2-x+=（x-）20恒成立.（2）q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.（3）r:xR R，x2+2x+20,是真命题，这是由于 xR R，x2+2x+2=(x+1)2+110成立.（4）s:xR R,x3+10,是假命题，这是由于x=-1时，x3+1=0.探究拓展探究拓展 （1）全（特）称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全（特）称命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可.（2）要判断“p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，因为p与 p的真假相对.2021/8/11 星期三73方法与技巧方法与技巧1.常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一 切”、“每一个”、“任给”；常见的存在量词有：“存 在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等.2.同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能 有不