10.2.1排列与排列数公式.pptx

会计学110.2.1排列排列(pili)与排列与排列(pili)数公式数公式PPT课件课件第一页，共33页。1、掌握排列的概念、掌握排列的概念;2、正确理解排列的意义、正确理解排列的意义(yy)；3、学会判断某些问题是否是排列问题；、学会判断某些问题是否是排列问题；4、理解排列数的定义、理解排列数的定义;5、理解排列数公式的推导思想；、理解排列数公式的推导思想；6、掌握排列数、全排列和阶乘公式；、掌握排列数、全排列和阶乘公式；7、正确应用排列数公式。、正确应用排列数公式。第1页/共33页第二页，共33页。复习复习(fx)提问：提问：1.什么是分类计数什么是分类计数(j sh)原理，分步计数原理，分步计数(j sh)原理？原理？解：不同的走法分为解：不同的走法分为(fn wi)两类：第一类由两类：第一类由甲村走水路到乙村，再由乙村到丙村：只有甲村走水路到乙村，再由乙村到丙村：只有1种种走法。走法。第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：有第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：有22=4种走法。种走法。由分类计数原理：由分类计数原理：1+4=5 2.从甲村到乙村有从甲村到乙村有2条旱路，一条水路，从乙村到丙条旱路，一条水路，从乙村到丙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村时，再从乙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村时，再从乙村到丙村就只能走南路，问从甲村经过乙村到丙村共有村到丙村就只能走南路，问从甲村经过乙村到丙村共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？答：共有答：共有5种不同的走法。种不同的走法。第2页/共33页第三页，共33页。问题问题(wnt)引引入：入：问题问题1:从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项名参加某天的一项活动活动,其中其中1名同学参加上午名同学参加上午(shngw)的活动的活动,1名同学名同学参加下午的活动参加下午的活动,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?探索研究探索研究 解决这个问题解决这个问题(wnt)需分需分2个步骤：个步骤：第一步，确定参加上午活动的同学，从第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选人中任选1人有人有3种方法；种方法；第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的2人中选，人中选，有有2种方法种方法;根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有32=6种不同的方法种不同的方法.甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲 丙丙 乙乙相应的排法相应的排法:第3页/共33页第四页，共33页。我们把上面我们把上面(shng min)(shng min)问题中被问题中被选的对象选的对象(同学）叫做元素。同学）叫做元素。上述问题就是从上述问题就是从3个不同的元素个不同的元素a，b，c中任取中任取2个，然后按照一定的顺序排成个，然后按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列一列，求一共有多少种不同的排列(pili)方法。方法。不同不同(b tn)的排列为的排列为:ab，ac，ba，bc，ca，cb第4页/共33页第五页，共33页。问题问题2:从从a、b、c、d这这4个字母中，取出个字母中，取出3个按照个按照(nzho)顺序排成一列，共有多少种不同的排法顺序排成一列，共有多少种不同的排法？解决解决(jiju)这个问题，需分这个问题，需分3个步骤：个步骤：第一步，先确定左边的字母第一步，先确定左边的字母(zm)，在，在4个字母个字母(zm)中任取中任取1个，有个，有4种方法；种方法；第二步，确定中间的字母，从余下的第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有个字母中去取，有3种方法；种方法；第三步，确定右边的字母，只能从余下的第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，个字母中去取，有有2种方法种方法.根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有432=24种不同的排法种不同的排法第5页/共33页第六页，共33页。bacdb d a d a bb ca ca bc da ca dc db d b cb c da c da b da b c不同不同(b tn)(b tn)排法如下图所示排法如下图所示:所有所有(suyu)(suyu)的排列为：的排列为：abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb第6页/共33页第七页，共33页。我们把上面问题中被取的对象我们把上面问题中被取的对象(duxing)（字母）叫做元素。于是，所提出（字母）叫做元素。于是，所提出的问题就是从的问题就是从4个不同的元素个不同的元素a、b、c、d中任取中任取3个，然后按一定的顺个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。的排列方法。第7页/共33页第八页，共33页。一般地说，从一般地说，从 n 个不同个不同(b tn)元素中，任取元素中，任取 m(mn)个元个元素，按照一定的顺序排成一列，素，按照一定的顺序排成一列，叫做从叫做从 n 个不同个不同(b tn)元素中元素中取出取出 m 个元素的一个排列。个元素的一个排列。一、排列一、排列(pili)的定义：的定义：排列的定义中包含两个排列的定义中包含两个(lin)(lin)基本内容：基本内容：一是一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”.”.“一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志问题是不是排列问题的重要标志 第8页/共33页第九页，共33页。注注 意：意：1 1、我们研究的排列、我们研究的排列(pili)(pili)问题中，不能有重复问题中，不能有重复元素的排列元素的排列(pili)(pili)，也不能重复抽取相同的元，也不能重复抽取相同的元素；素；4、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用上面好采用上面(shng min)两题中的方法两题中的方法“树形图树形图”.2、两个排列相同、两个排列相同(xin tn)的充要条件是什么？的充要条件是什么？1）元素全相同）元素全相同2）元素排列顺序也完全相同）元素排列顺序也完全相同3、概念中，如果、概念中，如果mn，这样的排列只是选一部分，这样的排列只是选一部分元素作排列，叫做选排列；如果元素作排列，叫做选排列；如果m=n，这样的排列，这样的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列；是取出所有元素作排列，叫做全排列；第9页/共33页第十页，共33页。例例1:判断下列几个问题判断下列几个问题(wnt)是不是排列问题是不是排列问题(wnt)?从班级从班级5名团员名团员(tunyun)中选出中选出3人参加下午人参加下午的团委会；的团委会；从从2、3、5、7、11中任取两个数中任取两个数相除；相除；20位同学互通话一次；位同学互通话一次；20位同学互通一封信；位同学互通一封信；以圆上的以圆上的10个点为端点作弦；个点为端点作弦；以圆上的以圆上的10个点为起点，且过另一点的射线个点为起点，且过另一点的射线.例题例题(lt)讲解：讲解：排列问题的有：排列问题的有：、第10页/共33页第十一页，共33页。例例2:在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选举出正、在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选举出正、副班长各一人，共有几种不同的选法副班长各一人，共有几种不同的选法?写出所有写出所有(suyu)可能的选举结果可能的选举结果.解：选举过程可以分为两个步骤：解：选举过程可以分为两个步骤：第第一步，先选出正班长，一步，先选出正班长，4 4人中任何一人都可能当选，有人中任何一人都可能当选，有4 4种种选法；选法；第二步，第二步，选出副班长，余下选出副班长，余下3 3人中任何一人都可能当选，有人中任何一人都可能当选，有3 3种选法种选法.根据分步计数原理根据分步计数原理(yunl)(yunl)，不同选法共有：，不同选法共有：43=12(43=12(种种).).其选举结果是：其选举结果是：甲乙甲乙(ji y)甲丙甲丙 甲丁甲丁 乙甲乙甲 乙丙乙丙 乙丁乙丁丙甲丙甲 丙乙丙乙 丙丁丙丁 丁甲丁甲 丁乙丁乙 丁丙丁丙第11页/共33页第十二页，共33页。课堂练习：课堂练习：1:下列问题中属于排列问题的是下列问题中属于排列问题的是 .有有10个车站，共需准备多少种车票？个车站，共需准备多少种车票？有有10个车站，共有多少种不同个车站，共有多少种不同(b tn)的票价？的票价？平面内有平面内有10个点，共可作多少条射线？个点，共可作多少条射线？10个同学，每两人互通信一次，通信多少次？个同学，每两人互通信一次，通信多少次？从从10名学生中选出名学生中选出2名分别参加数学和物理竞赛，名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方案？有多少种选派方案？、第12页/共33页第十三页，共33页。2:北京、上海、广州北京、上海、广州 三个民航三个民航(mnhng)站之间站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？不同不同(b tn)排法如下图所示排法如下图所示:北京北京上海上海广州广州北京北京上海上海广州广州北京北京上海上海广州广州北京北京北京北京上海上海广州广州北京北京上海上海上海上海广州广州北京北京上海上海广州广州广州广州第13页/共33页第十四页，共33页。3:下列问题下列问题(wnt)是排列问题是排列问题(wnt)吗？吗？（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？结果有多少种？（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？结果有多少种？（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？少个不同的点的坐标？（4）平面上有）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生个学生(xu sheng)排队照相，则不同的站法有多少排队照相，则不同的站法有多少种？种？是排列是排列(pili)不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列第14页/共33页第十五页，共33页。1、排列、排列(pili)数的定义数的定义:从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m（mn)个元素的所个元素的所有排列的个数，叫做从有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的素的排列数排列数.用符号用符号 表示表示问题问题1:求从求从3个不同的元素个不同的元素(yun s)中取出中取出2个个元素元素(yun s)的排列数的排列数.记为记为 问题问题2:求从求从4个不同的元素个不同的元素(yun s)中取出中取出3个元素个元素(yun s)的排列数的排列数.记为记为 二、排列数：二、排列数：第15页/共33页第十六页，共33页。排列排列(pili)(pili)和排列和排列(pili)(pili)数的不同数的不同:“一个排列一个排列(pili)”(pili)”是指：从是指：从n n个个不同元素中，任取不同元素中，任取m m个元素按照一定的顺个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；序排成一列，不是数；“排列排列(pili)(pili)数数”是指从是指从n n个不同个不同元素中，任取元素中，任取m m个元素的所有排列个元素的所有排列(pili)(pili)的个数，是一个数的个数，是一个数.第16页/共33页第十七页，共33页。思考：从思考：从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出2个元素的排列个元素的排列(pili)数数 是多少？是多少？呢？呢？假定有排好顺序的假定有排好顺序的2 2个空位，从个空位，从n n个不同元素个不同元素a a1 1，a a2 2，,a,an n中任意取中任意取2 2个去填空，个去填空，一个空位填一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到任一个排列总可以由这样的一种填法得到。就是。就是说说“一个排列一个排列”和和“一种填法一种填法”是一一对应的。是一一对应的。所以不同填法的种数就是排列数所以不同填法的种数就是排列数 .第1位第2位nn-1 同理同理第17页/共33页第十八页，共33页。2、排列数公式、排列数公式(gngsh)的推导的推导:第一位第一位第二位第二位第第m位位求求 ：从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素个元素的排列数的排列数.假定有排好顺序的假定有排好顺序的m m个空位，从个空位，从n n个不同元素个不同元素a a1 1，a a2 2，,a,an n中任意取中任意取m m个去填空，个去填空，一个空位填一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到任一个排列总可以由这样的一种填法得到。所以。所以不同填法的种数就是排列数不同填法的种数就是排列数 .第18页/共33页第十九页，共33页。第一位第一位第二位第二位第第m位位分分m步：步：第一步：从第一步：从n个元素中任选个元素中任选(rn xun)一个元素填一个元素填第一位，第一位，有有n种填法；种填法；第二步：从余下第二步：从余下(yxi)的（的（n-1）个元素中任选）个元素中任选一个元一个元 素填第二位，有（素填第二位，有（n-1）种填法；）种填法；第第m步：从余下的（步：从余下的（n-m+1）个元素）个元素(yun s)中任选一个中任选一个 元素元素(yun s)填第填第m位，有（位，有（n-m+1）种填法；）种填法；nn-1n-m+1求求第19页/共33页第二十页，共33页。排列排列(pili)数公数公式：式：1、n，mN*，mn；注：注：2、特征：公式右边中第一个因数、特征：公式右边中第一个因数(ynsh)是是n，后，后面的每个因数面的每个因数(ynsh)都比它前面一个因数都比它前面一个因数(ynsh)少少1，最后一个因数，最后一个因数(ynsh)为为n-m+1，共，共有有m个因数个因数(ynsh)相乘相乘.第20页/共33页第二十一页，共33页。n个不同元素个不同元素(yun s)全部取出全部取出的一个的一个排列，叫做排列，叫做n个不同元素个不同元素(yun s)的的全排列。全排列。此时在排列数公式中，此时在排列数公式中，m=n3、全排列、全排列(pili):4、阶乘、阶乘(ji chn):正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的的阶乘阶乘。记作。记作第21页/共33页第二十二页，共33页。（1）规定）规定(gudng)（2）此公式常用于计算器计算或对含有）此公式常用于计算器计算或对含有字母的排列数的式子字母的排列数的式子(sh zi)变形或论证。变形或论证。第22页/共33页第二十三页，共33页。排列排列(pili)数公式：数公式：点评：点评：排列数公式的推导是排列数公式的推导是“建构建构”框框图填空来解决的，这是一种简单的建模方图填空来解决的，这是一种简单的建模方法；法；一般情况下，第一个公一般情况下，第一个公式常用于计算，第二个公式常用于化简、式常用于计算，第二个公式常用于化简、证明证明(zhngmng)；对于对于“m、nN+，mn”这个条件要留这个条件要留意，往往是一些含有未知数的排列数计算、意，往往是一些含有未知数的排列数计算、解方程等问题的隐含条件解方程等问题的隐含条件.第23页/共33页第二十四页，共33页。第24页/共33页第二十五页，共33页。例例3:计算计算(j sun)：第25页/共33页第二十六页，共33页。例例4:求下列求下列(xili)各式中各式中n 的值的值（1）解：解：（1）由排列）由排列(pili)数公数公式得式得整理整理(zhngl)得得解得解得（2）第26页/共33页第二十七页，共33页。解：解：（2）由排列）由排列(pili)数公式数公式得得约分得约分得(fn de)解得解得第27页/共33页第二十八页，共33页。例例5求证求证(qizhng)：证明证明(zhngmng)：右边右边=即证即证.注：注：n(n-1)!=n!，(m+3)(m+2)!=(m+3)!第28页/共33页第二十九页，共33页。例例6求值：求值：解：解：4第29页/共33页第三十页，共33页。练习练习:应用公式应用公式(gngsh)(gngsh)解以下各题：解以下各题：第30页/共33页第三十一页，共33页。课堂课堂(ktng)小结：小结：1、从、从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按照）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列；个元素的一个排列；2、当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序、当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同时称两个排列相同；相同时称两个排列相同；3、解题、解题(ji t)时要深挖具体题目中的时要深挖具体题目中的“有序有序”条件；条件；4、排列、排列(pili)、排列、排列(pili)数、全排列数、全排列(pili)和和阶乘；阶乘；5、掌握排列数公式，并能利用它计算排列数。、掌握排列数公式，并能利用它计算排列数。第31页/共33页第三十二页，共33页。第32页/共33页第三十三页，共33页。