2-1导数的概念.ppt

2-1 2-1 导数的概念导数的概念1.导数的定义导数的定义2.导数的几何意义导数的几何意义3.可导与连续的关系可导与连续的关系一、导数的定义一、导数的定义问题的提出：如图,取极限得自由落体运动的瞬时速度问题。定义 设函数y=f(x)在点 x0及其附近有定义，当自变量 x 在 x0处有增量x 时，函数有相应的增量y=f(x0+x)f(x0),这个极限就叫做函数y=f(x)在点 x0的导数，如果当x0时，的极限存在，记作 。即也可记作如果(1)式在点 x0处的极限存在，则称函数y=f(x)在点 x0处可导。如果(1)式在点 x0处的极限不存在，则称函数y=f(x)在点 x0处不可导。则称函数y=f(x)在点 x0处的导数为无穷大。函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，这个新函数就称为函数y=f(x)的导函数导函数，当函数y=f(x)对于每一个x(a,b)，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了 x 的一个新的函数，简称导数导数，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导数。记作函数y=f(x)在点 x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即计算一个函数的导数，求导的步骤：就称为求导。由导数定义知：若质点作变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，则其速度方程v=v(t)是s(t)对 t 的导数，即解：例1 若函数求这就是说,解：即常数的导数等于零常数的导数等于零。解：根据导数的定义，再利用二项展开式，得即更一般地解：即同理可得解：即当a=e时有解：即当a=e时有函数y=f(x)在x点处的导数 就是曲线y=f(x)在对应点P(x,y)处切线的斜率。PQ和PT的倾斜角分别为，。二、导数的几何意义、导数的几何意义其极限位置就是切线PT。如图，设P(x,y)，Q(x+x,y+y)为曲线y=f(x)上的两点，当x 0时，即tantan。所以，当x 0时，Q点沿着曲线趋向于P点，割线PQ将绕P点转动，导数的几何意义导数的几何意义：即称为曲线y=f(x)在点P处的法线法线。根据导数的几何意义并且利用直线的点斜式方程,过切点P且与该切线垂直的直线，法线的概念：可以得到下面的结果:曲线y=f(x)在(x0,y0)处的切线方程为：曲线y=f(x)在(x0,y0)处的法线方程为：解：所以切线的方程为即法线的方程为即三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系若函数y=f(x)在点 x0处可导，则函数y=f(x)在点 x0处一定连续。反之，若函数y=f(x)在点 x0处连续，则函数y=f(x)在点 x0处未必可导。例如，但在x=0处不可导(如图)。因为这种情况表明：例如，因为如图，不存在。小结:1.导数的定义。2.导数的几何意义。3.可导与连续的关系。作业：教材P36 2,5,6