(精品)数字信号处理第1-2章.ppt

第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 1.1离散时间信号离散时间信号序列序列1.2线性时不变系统线性时不变系统1.3常系数线性差分方程常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样1.1离散时间信号离散时间信号序列序列一一个个离离散散时时间间信信号号是是一一个个整整数数值值变变量量n的的函函数数，表表示示为为x(n)或或x(n)。它它既既可可以以是是实实数数也也可可以以是是复复数数。尽尽管管独独立立变变量量n不不一一定定表表示示“时时间间”（例例如如，n可可以以表表示示温温度度或距离），但或距离），但x(n)一般被认为是时间的函数。一般被认为是时间的函数。图1-1离散时间信号x(n)的图形表示离离散散时时间间信信号号的的获获取取方方法法：一一可可以以对对模模拟拟信信号号(如如语语音音)进进行行等等间间隔隔抽抽样样而而得得到到。例例如如，对对于于一一个个连连续续时时间间信信号号xa(t)，以以每每秒秒fs=1/T个个采采样样的的速速率率采采样样而而产产生生采采样样信信号号，它它与与xa(t)的关系如下：的关系如下：二二可可以以认认为为是是自自然然产产生生的的离离散散时时间间序序列列，如如每每日日股股票票市市场场价价格格、人口统计数和仓库存量等。人口统计数和仓库存量等。序列的运算序列的运算序列的移位序列的移位当当m为为正正时时，则则x(n-m)是是指指序序列列x(n)逐逐项项依依次次延延时时（右右移移）m位位而而给给出出的的一一个个新新序序列列;当当m为为负负时时，x(n-m)是是指指依依次次超超前前（左左移移）m位位。图图1-2显显示示了了x(n)序序列列的的延延时时序序列列w(n)=x(n-2),即即m=2时的情况。时的情况。图1-2图1-1序列x(n)的延时序列的翻褶序列的翻褶图1-3序列的翻褶(a)x(n)序列；(b)x(-n)序列序列的和序列的和两序列的和是指同序号两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。一个新序列。和序列和序列z(n)可表示为可表示为序列的乘积序列的乘积两序列相乘是指同序号两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。的序列值逐项对应相乘。乘积乘积序列序列f(n)可表示为可表示为序列的标乘序列的标乘序列序列x(n)的标乘是指的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数的每个序列值乘以常数c。标乘标乘序列序列f(n)可表示为可表示为累累加加它它表表示示y(n)在在某某一一个个n0上上的的值值y(n0)等等于于在在这这一一个个n0上上的的x(n0)值值与与n0以前所有以前所有n上的上的x(n)之和。之和。差分运算差分运算前向差分前向差分x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分后向差分x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出由此得出x(n)=x(n-1)序列的时间尺度序列的时间尺度(比例比例)变换变换,其中其中m为正整数为正整数卷积和卷积和正如卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应正如卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。对离散系统（零状态响应）的主要方法。对离散系统“卷积和卷积和”也是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）也是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。的主要方法。（1）翻翻褶褶：先先在在哑哑变变量量坐坐标标m上上作作出出x(m)和和h(m)，将将h(m)以以m=0的垂直轴为对称轴翻褶成的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。（2）移移位位：将将h(-m)移移位位n，即即得得h(n-m)。当当n为为正正整整数数时时，右右移移n位位;当当n为负整数时，左移为负整数时，左移n位。位。（3）相乘：再将相乘：再将h(n-m)和和x(m)的相同的相同m值的对应点值相乘。值的对应点值相乘。（4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来，相加：把以上所有对应点的乘积累加起来，即得即得y(n)值。值。1.1.2几种常用序列几种常用序列1单位脉冲序列单位脉冲序列(n)这这个个序序列列只只在在n n=0=0 处处有有一一个个单单位位值值1 1，其其余余点点上上皆皆为为0 0，因因此此也称为单位采样也称为单位采样“序列序列”。单位采样序列如图。单位采样序列如图1-41-4所示。所示。(1-1)图1-4(n)序列这这是是最最常常用用、最最重重要要的的一一种种序序列列，它它在在离离散散时时间间系系统统中中的的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但但是是，在在连连续续时时间间系系统统中中，(t)是是t=0点点脉脉宽宽趋趋于于零零，幅幅值值趋趋于于无无限限大大，面面积积为为1的的信信号号，是是极极限限概概念念的的信信号号，并并非非任任何何现现实实的的信信号号。而而离离散散时时间间系系统统中中的的(n)，却却完完全全是是一一个个现现实实的的序列，序列，它的脉冲幅度是它的脉冲幅度是1，是一个有限值。是一个有限值。2单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)如图如图1-5所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数阶跃函数u(t)。(1-2)图1-5u(n)序列(n)和和u(n)间的关系为间的关系为令令n-m=k，代入此式可得代入此式可得(1-3)(1-4)(1-5)3矩形序列矩形序列RN(n)(1-6)矩形序列矩形序列RN(n)如图如图1-6所示。所示。图1-6RN(n)序列RN(n)和(n)、u(n)的关系为:(1-7)(1-8)4实指数序列实指数序列式式中中，a为为实实数数。当当|a|1时时，序序列是发散的。列是发散的。a为负为负数时，序列是摆动的，如图数时，序列是摆动的，如图1-7所示。所示。图1-7指数序列(a)|a|1;(c)a=-|a|0a1-1a05正弦型序列正弦型序列x(n)=Asin(n0+)式式中中:A为为幅幅度度;为为起起始始相相位位;0为为数数字字域域的的频频率率，它它反反映映了了序序列变化的速率。列变化的速率。0=0.1时时,x(n)序序列列如如图图1-8所所示示，该该序序列列值值每每20个个重重复复一一次循环。次循环。其中，其中，0=2f0图1-8正弦序列(0=0.1)6复指数序列复指数序列序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：(1-11a)或或(1-11b)式中，0是复正弦的数字域频率。对第一种表示，序列的实部、虚部分别为对第一种表示，序列的实部、虚部分别为如果用极坐标表示，则如果用极坐标表示，则因此有：因此有：1.1.3序列的周期性序列的周期性如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，满足满足(1-12)则称序列则称序列x(n)是周期性序列，周期为是周期性序列，周期为N。现在讨论上述正弦序列的周期性。现在讨论上述正弦序列的周期性。由于由于则则若若N0=2k,当当k为正整数时，则为正整数时，则这这时时的的正正弦弦序序列列就就是是周周期期性性序序列列，其其周周期期满满足足N=2k/0（N，k必须为整数）。必须为整数）。可分几种情况讨论如下。可分几种情况讨论如下。（1）当当2/0为正整数时，周期为为正整数时，周期为2/0，见图见图1-8。（2）当当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则成分数），则式式中中，k,N为为互互素素的的整整数数，则则为为最最小小正正整整数数，序序列的周期为列的周期为N。（3）当当2/0是是无无理理数数时时，则则任任何何k皆皆不不能能使使N取取正正整整数数。这这时，正弦序列不是周期性的。时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。这和连续信号是不一样的。同同样样，指指数数为为纯纯虚虚数数的的复复指指数数序序列列的的周周期期性性与与正正弦弦序序列列的的情况相同。情况相同。如如果果一一个个正正弦弦型型序序列列是是由由一一个个连连续续信信号号采采样样而而得得到到的的，那那么么，采采样样时时间间间间隔隔T和和连连续续正正弦弦信信号号的的周周期期之之间间应应该该是是什什么么关关系系才能使所得到的采样序列仍然是周才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？期序列呢？设连续正弦信号设连续正弦信号xa(t)为为这这 一一 信信 号号 的的 频频 率率 为为 f0，角角 频频 率率 0=2f0，信信 号号 的的 周周 期期 为为T0=1/f0=2/0。如如果果对对连连续续周周期期信信号号xa(t)进进行行采采样样，其其采采样样时时间间间间隔隔为为T，采样后信号以采样后信号以x(n)表表示，则有示，则有如果令如果令0为数字域频率，满足为数字域频率，满足式式中中,fs是是采采样样频频率率。可可以以看看出出，0是是一一个个相相对对频频率率，它它是是连连续续正正弦弦信信号号的的频频率率f0对对采采样样频频率率fs的的相相对对频频率率乘乘以以2，或或说说是是连连续续正正弦弦信信号号的的角角频频率率0对对采采样样频频率率fs的的相相对对频频率率。用用0代代替替0T，可得可得这就是我们上面讨论的正弦型序列。这就是我们上面讨论的正弦型序列。下下面面我我们们来来看看2/0与与T及及T0的的关关系系，从从而而讨讨论论上上面面所所述述正正弦弦型序列的型序列的周期性的条件意味着什么？周期性的条件意味着什么？这这表表明明，若若要要2/0为为整整数数，就就表表示示连连续续正正弦弦信信号号的的周周期期T0应应为为采采样样时时间间间间隔隔T的的整整数数倍倍；若若要要2/0为为有有理理数数，就就表表示示T0与与T是是互互为为互素的整数，互素的整数，且有且有(1-13)式中，式中，k和和N皆为正整数，从而有皆为正整数，从而有即即N个采样间隔应等于个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。个连续正弦信号的周期。离散信号的周期是每个周期的采样点数。离散信号的周期是每个周期的采样点数。周期周期N总是整数。总是整数。对于组合信号，对于组合信号，N是各周期的最小公倍数。是各周期的最小公倍数。例：若例：若F=0.32，那么那么x(n)=cos(2Fn)是否具有周是否具有周期性？若期性？若F=呢？如果是周期的，那么它的呢？如果是周期的，那么它的周期周期N是多少？是多少？解：若解：若F=0.32，因为因为F=0.32=32/100=8/25=k/N，所所以以x(n)具有周期性，它的周期具有周期性，它的周期N=25；若若F=，因为因为F是一个无理数，不能表示为整数是一个无理数，不能表示为整数的比率，所以它不具有周期性。的比率，所以它不具有周期性。1.1.4用单位采样序列来表示任意序列用单位采样序列来表示任意序列用用单单位位采采样样序序列列来来表表示示任任意意序序列列对对分分析析线线性性时时不不变变系系统统（下下面即将讨论）是很有用的。面即将讨论）是很有用的。设设x(m)是是一一个个序序列列值值的的集集合合，其其中中的的任任意意一一个个值值x(n)可可以以表示成单位采样序列的移位加表示成单位采样序列的移位加权和，即权和，即(1-14)由于由于则则因此，式（因此，式（1-14）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。1.1.5序列的能量序列的能量序列序列x(n)的能量的能量E定义为序列各采样样本的平方和，定义为序列各采样样本的平方和，即即(1-15)例：计算信号例：计算信号x(n)=的能量，这的能量，这是一个一侧衰减的指数函数，它的信号能量是：是一个一侧衰减的指数函数，它的信号能量是：1.2离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析一一个个离离散散时时间间系系统统是是将将输输入入序序列列变变换换成成输输出出序序列列的的一一种种运运算算。若若以以T来来表表示示这这种种运运算算，则则一一个个离离散散时时间间系系统统可可由由图图1-2-1来表示，即来表示，即离散时间系统中最重要、离散时间系统中最重要、最常用的是最常用的是“线性时不变系统线性时不变系统”。图1-2-1离散时间系统1.2.1线性系统线性系统满满足足叠叠加加原原理理的的系系统统称称为为线线性性系系统统，即即若若某某一一输输入入是是由由N个个信信号号的的加加权权和和组组成成，则则输输出出就就是是系系统统对对这这几几个个信信号号中中每每一一个个的的响响应的同样加权和组成。应的同样加权和组成。如如果果系系统统在在x(n)和和x2(n)单单独独输输入入时时的的输输出出分分别别为为y1(n)和和y2(n)即即:那么当且仅当上两式都成立时，该系统是线性的那么当且仅当上两式都成立时，该系统是线性的.和式式中中,a为为任任意意常常数数。上上述述第第一一个个性性质质称称为为可可加加性性，第第二二个个称称为为齐齐次性或比例性次性或比例性。这两个。这两个性质合在一起就成为性质合在一起就成为叠加原理叠加原理，写成，写成式式中中对对任任意意常常数数a1和和a2都都成成立立。该该式式还还可可推推广广到到多多个个输输入入的的叠加，叠加，即即式中式中,yk(n)就是系统对输入就是系统对输入xk(n)的响应。的响应。例例1-1以下系统是否为线性系统：以下系统是否为线性系统：y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的，很容易证明这个系统不是线性的，因为此系统不满足叠加原理。因为此系统不满足叠加原理。证证很明显，很明显，在一般情况下在一般情况下所以此系统不满足叠加性，所以此系统不满足叠加性，故不是线性系统。故不是线性系统。同样可以证明，同样可以证明，1.2.2时不变系统时不变系统若若系系统统响响应应与与激激励励加加于于系系统统的的时时刻刻无无关关，则则这这种种系系统统称称为为时时不不变变系系统统（或或称称移移不不变变系系统统）。这这个个性性质质可可用用以以下下关关系系表表达达：若若输输入入x(n)的的输输出出为为y(n)，则则将将输输入入序序列列移移动动任任意意位位后后，其其输输出序列除了跟着移位外，出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即若数值应该保持不变，即若Tx(n)=y(n)则则 Tx(n-m)=y(n-m)（m为任意整数）为任意整数）满足以上关系的系统就称为时不变系统。满足以上关系的系统就称为时不变系统。例例1-2证明证明不是时不变系统。不是时不变系统。证证由于二者不相等，故不是时不变系统。由于二者不相等，故不是时不变系统。同同时时具具有有线线性性和和时时不不变变性性的的离离散散时时间间系系统统称称为为线线性性时时不不变变（LTI）离离散散时时间间系系统统，简简称称LTI系系统统。除除非非特特殊殊说说明明，本本书书都都是是研究研究LTI系统。系统。习题习题:不具有线性但有时不变性不具有线性但有时不变性.是线性的是线性的,但随时间变化但随时间变化.具有线性和时不变性具有线性和时不变性.是非线性的是非线性的,但具有时不变性但具有时不变性.是线性的是线性的,但随时间变化但随时间变化.1.2.3单位脉冲响应与系统的输入输出关系单位脉冲响应与系统的输入输出关系线线性性时时不不变变系系统统可可用用它它的的单单位位脉脉冲冲响响应应来来表表征征。单单位位脉脉冲冲响响应应是是指指输输入入为为单单位位脉脉冲冲序序列列时时系系统统的的输输出出。一一般般用用h(n)表表示示单单位脉冲响应，即位脉冲响应，即h(n)=T(n)有有了了h(n)我我们们就就可可以以得得到到此此线线性性时时不不变变系系统统对对任任意意输输入入的的输输出出。下面讨论这个问题：下面讨论这个问题：设设系系统统输输入入序序列列为为x(n)，输输出出序序列列为为y(n)。从从式式（1-14）已已经知道，任一序列经知道，任一序列x(n)可以写成可以写成(n)的移位加权和，的移位加权和，即即则系统的输出为则系统的输出为由于系统是线性的，由于系统是线性的，可利用叠加原理式（可利用叠加原理式（1-40），），则则又又由由于于系系统统的的时时不不变变性性，式式（1-41）对对移移位位的的单单位位脉脉冲冲的的响响应应就就是单位脉冲响应的是单位脉冲响应的移位。移位。因此因此 如如图图1-2-21-2-2所所示示。上上式式称称为为序序列列x x(n n)与与h h(n n)的的离离散散卷卷积积，为为了了同同以以后后的的圆圆周周卷卷积积相相区区别别，离离散散卷卷积积也也称称为为“线线性性卷卷积积”或或“直接卷积直接卷积”或简称或简称“卷积卷积”，并以，并以“*”表示之。表示之。图图1-2-2线性时不变系统线性时不变系统1.2.4线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质1交换律交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，即卷积服从交换律，故故这这就就是是说说，如如果果把把单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)改改作作为为输输入入，而而把把输输入入x(n)改作为系统单位脉冲响应改作为系统单位脉冲响应，则输出，则输出y(n)不变。不变。2结合律结合律可以证明卷积运算服从结合律，即可以证明卷积运算服从结合律，即这这就就是是说说，两两个个线线性性时时不不变变系系统统级级联联后后仍仍构构成成一一个个线线性性时时不不变变系系统统，其其单单位位脉脉冲冲响响应应为为两两系系统统单单位位脉脉冲冲响响应应的的卷卷积积，且且线线性性时时不不变变系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应与与它它们们的的级级联联次次序序无无关关，如如图图1-18所所示。示。3分配律分配律卷积也服从加法分配律：卷积也服从加法分配律：也也就就是是说说，两两个个线线性性时时不不变变系系统统的的并并联联等等效效系系统统的的单单位位脉脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和,如图如图1-19所示。所示。以以上上三三个个性性质质，交交换换律律前前面面已已经经证证明明了了，另另外外两两个个性性质质由由卷积的定义可以很容易加以卷积的定义可以很容易加以证明。证明。图1-2-3具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统图1-2-4线性时不变系统的并联组合及其等效系统1.3.5因果系统因果系统所所谓谓因因果果系系统统，就就是是系系统统某某时时刻刻的的输输出出y(n)只只取取决决于于此此时时刻刻，以以及及此此时时刻刻以以前前的的输输入入，即即x(n),x(n-1),x(n-2),。如如果果系系统统的的输输出出y(n)还还取取决决于于x(n+1),x(n+2),，也也即即系系统统的的输输出出还还取取决决于于未未来来的的输输入入，这这样样在在时时间间上上就就违违背背了了因因果果关关系系，因因而而是是非非因因果果系系统统，也也即即不不现现实实的的系系统统。根根据据上上述述定定义义，可可以以知知道道，y(n)=nx(n)的的系系统统是是一一个个因因果果系系统统，而而y(n)=x(n+2)+ax(n)的的系系统统是非因果系统。是非因果系统。从从卷卷积积公公式式，我我们们可可以以看看到到线线性性时时不不变变系系统统是是因因果果系系统统的的充充分必要条件分必要条件是是 h(n)=0 n0(1-47)依依照照此此定定义义，我我们们将将n0，x(n)=0的的序序列列称称为为因因果果序序列列，表表示这个因果序列可以作示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。为一个因果系统的单位脉冲响应。证证:充分条件充分条件若若n0时时h(n=0),则则因而因而必要条件必要条件利用反证法来证明。已知为因果系统，利用反证法来证明。已知为因果系统，如果假设如果假设nn时的一个时的一个x(m)值有关，这不符合值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。因而因果性条件，所以假设不成立。因而n0n0时，时，h(n)=0是必要条件是必要条件我我们们知知道道，许许多多重重要要的的网网络络，如如频频率率特特性性为为理理想想矩矩形形的的理理想想低低通通滤滤波波器器以以及及理理想想微微分分器器等等都都是是非非因因果果的的不不可可实实现现的的系系统统。但但是是数数字字信信号号处处理理往往往往是是非非实实时时的的，即即使使是是实实时时处处理理，也也允允许许有有很很大大延延时时。这这是是对对于于某某一一个个输输出出y(n)来来说说，已已有有大大量量的的“未未来来”输输入入x(n+1),x(n+2),，记记录录在在存存储储器器中中可可以以被被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统。调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统。1.2.6稳定系统稳定系统稳稳定定系系统统是是指指有有界界输输入入产产生生有有界界输输出出（BIBO）的的系系统统。如如果果对对于于输输入入序序列列x(n)，存存在在一一个个不不变变的的正正有有限限值值M，对对于于所有所有n值满足值满足|x(n)|M则则称称该该输输入入序序列列是是有有界界的的。稳稳定定性性要要求求对对于于每每个个有有界界输输入入存存在在一一个个不不变变的的正正有有限限值值P，对对于于所所有有n值值，输输出出序序列列y(n)满足满足|y(n)|P一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和冲响应绝对可和，即即证证充分条件：充分条件：若若如果输入信号如果输入信号x(n)有界，即对于所有有界，即对于所有n皆有皆有|x(n)|M，则，则即输出信号即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。有界，故原条件是充分条件。必要条件：利用反证法。已知系统稳定，假设必要条件：利用反证法。已知系统稳定，假设我们可以找到一个有界的输入我们可以找到一个有界的输入输出输出y(n)在在n=0这一点上的值为这一点上的值为也也即即y(0)是是无无界界的的，这这不不符符合合稳稳定定的的条条件件，因因而而假假设设不不成成立。所以立。所以是稳定的必要条件。是稳定的必要条件。要要证证明明一一个个系系统统不不稳稳定定，只只需需找找一一个个特特别别的的有有界界输输入入，如如果果此此时时能能得得到到一一个个无无界界的的输输出出，那那么么就就一一定定能能判判定定一一个个系系统统是是不不稳稳定定的的。但但是是要要证证明明一一个个系系统统是是稳稳定定的的，就就不不能能只只用用某某一一个个特特定定的的输输入入作作用用来来证证明明，而而要要利利用用在在所所有有有有界界输输入入下下都都产产生生有有界输出的办法来证明系统的稳界输出的办法来证明系统的稳定性。定性。显显然然，既既满满足足稳稳定定条条件件又又满满足足因因果果条条件件的的系系统统，即即稳稳定定的的因因果果系系统统是是最最主主要要的的系系统统。这这种种线线性性时时不不变变系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应该既是因果的（单边的）又是绝对可和的，应应该既是因果的（单边的）又是绝对可和的，即：即：这这种种稳稳定定因因果果系系统统既既是是可可实实现现的的，又又是是稳稳定定工工作作的的，因因而而这这种种系统正是一切数字系统设计系统正是一切数字系统设计的目标。的目标。例例：设某线性时不变系统，其单位抽样响应为：设某线性时不变系统，其单位抽样响应为（1）讨论因果性：）讨论因果性：n0时，时，h(n)=0，故此系统，故此系统是因果系统。是因果系统。（2）讨论稳定性：）讨论稳定性：习题习题1、因果性、因果性2、稳定性、稳定性非因果的非因果的因果的因果的稳定的稳定的稳定的稳定的1.3常系数线性差分方程常系数线性差分方程连连续续时时间间线线性性时时不不变变系系统统的的输输入入输输出出关关系系常常用用常常系系数数线线性性微微分分方方程程表表示示，而而离离散散时时间间线线性性时时不不变变系系统统的的输输入入输输出出关关系系常常用用以以下形式的常系数线性差下形式的常系数线性差分方程表示，分方程表示，即即所所谓谓常常系系数数是是指指决决定定系系统统特特征征的的a1,a2,aN,b1,b2,bM都都是是常常数数。若若系系数数中中含含有有n，则则称称为为“变变系系数数”线线性性差差分分方方程程。差差分分方方程程的的阶阶数数等等于于未未知知序序列列（指指y(n)）变变量量序序号号的的最最高高值值与与最最低值之差。上低值之差。上式即为式即为N阶差分方程。阶差分方程。所所谓谓线线性性是是指指各各y(n-k)以以及及各各x(n-k)项项都都只只有有一一次次幂幂且且不不存存在在它它们们的的相相乘乘项项（这这和和线线性性微微分分方方程程是是一一样样的的）;否否则则就就是是非非线性的。线性的。离离散散系系统统的的差差分分方方程程表表示示法法有有两两个个主主要要的的用用途途，一一是是从从差差分分方方程程表表达达式式比比较较容容易易直直接接得得到到系系统统的的结结构构，二二是是便便于于求求解解系统的瞬态响应。系统的瞬态响应。求求解解常常系系数数差差分分方方程程可可以以用用离离散散时时域域求求解解法法，也也可可以以用用变换域求解法。变换域求解法。离散时域求解法有两种：离散时域求解法有两种：（1）迭迭代代法法，此此法法较较简简单单，但但是是只只能能得得到到数数值值解解，不不易易直接得到闭合形式（公式）解答。直接得到闭合形式（公式）解答。（2）卷积计算法卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。，这用于系统起始状态为零时的求解。差差分分方方程程在在给给定定的的输输入入和和给给定定的的初初始始条条件件下下，可可用用递递推推迭迭代代的的办办法法求求系系统统的的响响应应。如如果果输输入入是是(n)这这一一特特定定情情况况，输输出出响响应应就就是是单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)。例例如如，利利用用(n)只只在在n=0取取值值为为1的的特特点点，可可用用迭迭代代法法求求出出其其单单位位脉脉冲冲响响应应h(0),h(1),h(n)值，下值，下面举例面举例说明。说明。例例1-3常系数线性差分方程常系数线性差分方程输入为输入为x(n)=(n)初始条件为初始条件为y(n)=0n0,可可得得n0时时h(n)=y(n)=0，将式（将式（1-53）改写为另一种递推关系改写为另一种递推关系y(n-1)=2y(n)-x(n)或或y(n)=2y(n+1)-x(n+1)又利用已得出的结果又利用已得出的结果h(n)=0(n0),则有：则有：所以所以也可表示为也可表示为这样的系统是非因果系统，这样的系统是非因果系统，而且是非稳定的。而且是非稳定的。1.4连续时间信号的取样连续时间信号的取样在在某某些些合合理理条条件件限限制制下下，一一个个连连续续时时间间信信号号能能用用其其取取样样序序列列来来完完全全给给予予表表示示，连连续续时时间间信信号号的的处处理理往往往往是通过对其取样得到的离散时间序列的处理来完成的。是通过对其取样得到的离散时间序列的处理来完成的。取取样样器器可可以以看看成成是是一一个个电电子子开开关关，设设开开关关每每隔隔T秒秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次取样实现一次取样。当当T时，取样脉冲就接近于时，取样脉冲就接近于函数性质。函数性质。图1-4-1连续时间信号的取样过程连续时间信号的采样过程1.4.1理想取样理想取样理理想想取取样样就就是是假假设设取取样样开开关关闭闭合合时时间间无无限限短短，即即0的的极极限限情情况况。此此时时，取取样样脉脉冲冲序序列列p(t)变变成成冲冲激激函函数数序序列列s(t)。这这些些冲冲激激函函数数准准确确地地出出现现在在取取样样瞬瞬间间，面面积积为为1。取取样样后后，输输出出理理想想取取样样信信号号的的面面积积（即即积积分分幅幅度度）则则准准确确地地等等于于输输入入信信号号xa(t)在在取样瞬间的幅度。取样瞬间的幅度。冲激函数序列冲激函数序列s(t)为为以以表表示示理理想想取取样样的的输输出出，以以后后我我们们都都以以下下标标a表表示示连连续续信信号号（或或称称模模拟拟信信号号），如如xa(t)；而而以以它它的的顶顶部部符符号号（）表表示示它它的理想取样，如的理想取样，如。这样我们就可将理想取样表这样我们就可将理想取样表示为示为由于由于(t-nT)只在只在t=nT时不为零，故时不为零，故1.4.2理想取样信号的频谱理想取样信号的频谱我我们们首首先先看看看看通通过过理理想想取取样样后后信信号号频频谱谱发发生生了了什什么么变变化化。由由于于在在连连续续时时间间信信号号与与系系统统中中已已学学过过，时时域域相相乘乘，则则频频域域为为卷卷积运算。积运算。若各个信号的傅里叶变换分别表示为若各个信号的傅里叶变换分别表示为:则应满足则应满足现现在在来来求求S(j)=Fs(t)。由由于于s(t)是是以以取取样样频频率率重重复复的的冲冲激激脉脉冲，冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即(1-23)此级数的基频为取样频率，即此级数的基频为取样频率，即:一一般般称称fs为为频频率率，单单位位为为赫赫兹兹(Hz)，s为为角角频频率率，单单位位为为弧弧度度/秒秒;习惯上都习惯上都统称为统称为“频率频率”。它们的区别由符号它们的区别由符号f及及来识别。来识别。根据傅氏级数的知识，根据傅氏级数的知识，系数系数ak可以通过以下运算求得可以通过以下运算求得以以上上结结果果的的得得出出是是考考虑虑到到在在|t|T/2的的积积分分区区间间内内，只只有有一一个个冲冲激激脉脉冲冲(t)，其其他他冲冲激激(t-nT)，n0都都在在积积分分区区间间之之外外，且且利利用用了了以下关系以下关系:因而因而(1-24)由此得出由此得出由于由于(1-25)所以所以(1-26)将式（将式（1-26）代入式（）代入式（1-23）可得）可得根据冲激函数的性质，可得根据冲激函数的性质，可得(1-27)或者或者(1-28)一一个个连连续续时时间间信信号号经经过过理理想想取取样样后后，其其频频谱谱将将沿沿着着频频率率轴轴以以取取样样频频率率s=2/T为为间间隔隔而而重重复复，这这就就是是说说频频谱谱产产生生了了周周期期性性延延拓拓。因因此此只只要要各各延延拓拓分分量量与与原原频频谱谱分分量量不不发发生生频频率率混混叠叠，则则有有可可能能恢恢复复出出原原信信号号。也也就就是是说说，如如果果xa(t)是是限限带带信信号号，其其频频谱谱如如图图1-10（a）所所示示，且且最最高高频频谱分量谱分量h不超过不超过s/2，即即那那么么原原信信号号的的频频谱谱和和各各次次延延拓拓分分量量的的谱谱彼彼此此不不重重叠叠。这这时时采采用用一一个个截截止止频频率率为为s/2的的理理想想低低通通滤滤波波器器，就就可可得得到到不不失失真真的的原原信信号号频频谱谱。也也就就是是说说，可可以以不不失失真真地地还还原出原来的连续信号。原出原来的连续信号。图1-4-2时域取样后，频谱的周期延拓0txa(t)hfs22f h111 h如如果果信信号号的的最最高高频频谱谱h超超过过s/2，则则各各周周期期延延拓拓分分量量产产生生频频谱谱的的交交叠叠，称称为为混混叠叠现现象象。由由于于Xa(j)一一般般是是复复数数，所所以以混混叠叠也也是是复复数数相相加加。为为了了简简明明起起见见，在在图图1-10中中我我们们将将Xa(j)作作为标量来处理。为标量来处理。我们将采样频率之半（将采样频率之半（s/2）称为称为折叠频率折叠频率，即它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。成频谱的混叠。(1-30)给出该余弦信号给出该余弦信号的傅里叶变换的傅里叶变换Xa(j)。(1-32)图图（b）是是在在0s/2时时，的的傅傅里里叶叶变变换换。（d）和和（e）则则分分别别对对应应于于0/T时时低低通通滤滤波波器器输输出出的的傅傅里里叶叶变变换换，在在没没有有混叠时（混叠时（(b)和和(d)），），恢复出的输出恢复出的输出ya(t)为为图1-11一个余弦信号取样中的混叠效果在有混叠时，则是在有混叠时，则是这这就就是是说说，作作为为取取样样和和恢恢复复的的结结果果，高高频频信信号号cos0t已已经经被被当当作作和和低低频频信信号号cos(s-0)t是是一一样样的的东东西西被被冒冒名名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特顶替了。这个讨论就是奈奎斯特取样定理的基础。取样定理的基础。图1-11一个余弦信号取样中的混叠效果例：一个例：一个100Hz的正弦信号的正弦信号x(t)的取样频率分别是的取样频率分别是240Hz、140Hz、90Hz、35Hz，在每种情况下，混叠在每种情况下，混叠是否存在？若是，求混叠频率。是否存在？若是，求混叠频率。结结论论：要要想想取取样样后后能能够够不不失失真真地地还还原原出出原原信信号号，则则取取样样频频率率必必须须大大于于两两倍倍信信号号谱谱的的最最高高频频率率（s2h），），这就是这就是奈奎斯特取样定理。奈奎斯特取样定理。即即fs2fh频频率率h一一般般称称为为奈奈奎奎斯斯特特频频率率，而而频频率率2h称称为为奈奈奎斯特率。奎斯特率。取样频率必须大于奈奎斯特率。取样频率必须大于奈奎斯特率。在在实实际际工工作作中中，为为了了避避免免频频谱谱混混淆淆现现象象发发生生，取取样样频频率率总总是是选选得得比比奈奈奎奎斯斯特特频频率率更更大大些些，例例如如选选到到(34)h。同同时时为为了了避避免免高高于于折折叠叠频频率率的的杂杂散散频频谱谱进进入入取取样样器器造造成成频频谱谱混混淆淆，一一般般在在取取样样器器前前加加入入一一个个保保护护性性的的前前置置低低通通滤滤波波器器，称称为为防防混混叠叠滤滤波波器器，其其截截止止频频率率为为s/2，以以便便滤滤除除掉掉高高于于s/2的的频频率率分分量。量。例：例：一个一个100Hz的正弦信号的正弦信号x(t)以以240Hz取样。有取样。有没有产生混叠？需要多少个没有产生混叠？需要多少个x(t)的完整周期才能的完整周期才能得到取样信号的一个周期？得到取样信号的一个周期？解：解：由于取样频率超过了由于取样频率超过了200Hz，所以没有混叠存所以没有混叠存在。数字频率在。数字频率F=100/240=5/12，因此，因此，x(t)的的5个个周期生成取样信号的周期生成取样信号的12个样本（即一个周期）。个样本（即一个周期）。同同样样方方法法，可可以以证证明明，理理想想取取样样后后，使使信信号号的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换在在S平平面面上上沿沿虚虚轴轴周周期期延延拓拓。也也就就是是说说,在在S平平面面虚虚轴轴上上是是周周期期函数。即有函数。即有(1-34)式中：式中：即即分别是分别是的双边拉普拉斯变换。的双边拉普拉斯变换。1.4.3取样的恢复取样的恢复如果理想取样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频如果理想取样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率率小于折叠频率则取样后不会产生频谱混叠，已知则取样后不会产生频谱混叠，已知故故将将通通过过一一个个理理想想低低通通滤滤波波器器，这这个个理理想想低低通通滤滤波波器器应应该该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率。只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率。图1-4-4取样的恢复取样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱取样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱因此，在输出端可以得到原模拟信号因此，在输出端可以得到原模拟信号理理想想低低通通滤滤波波器器虽虽不不可可实实现现，但但是是在在一一定定精精度度范范围围内内，可可用用一个可实现的滤波器来逼一个可实现的滤波器来逼近它。近它。1.4.4由取样信号序列重构带限信号由取样信号序列重构带限信号理想低通滤波器的冲激响应为理想低通滤波器的冲激响应为由由与与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为这里这里h(t-nT)称为内插函数：称为内插函数：(1-35)它它的的波波形形如如图图1-4-5所所示示，其其特特点点为为：在在取取样样点点nT上上，函函数数值为值为1;其余取样点上其余取样点上，函数值都为零。，函数值都为零。图图1-4-5内插函数内插函数由于由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为因此以上卷积结果也可以表示为称称为为取取样样内内插插公公式式，即即信信号号的的取取样样值值xa(nT)经经此此公公式式而而得得到到连连续续信信号号xa(t)。