系统的稳定性精选课件.ppt

关于系统的稳定性第一页，本课件共有85页熟悉熟悉BodeBode稳定判据的基本原理和应用方法。稳定判据的基本原理和应用方法。熟悉系统的相对稳定性概念及其应用熟悉系统的相对稳定性概念及其应用 。掌握稳定性的概念；掌握掌握稳定性的概念；掌握RouthRouth稳定判据稳定判据的基本原理和应用方法；掌握的基本原理和应用方法；掌握Nyquist稳定稳定判据基本原理和应用方法。判据基本原理和应用方法。内容提要内容提要第二页，本课件共有85页5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 1 1、系统不稳定现象的发生、系统不稳定现象的发生（1 1）线性系统不稳定现象发生与否，取）线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。决于系统内部条件，而与输入无关。（2 2）系统发生不稳定现象必有适当的反）系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。馈作用。（3 3）控制理论中所讨论的稳定性是指自由）控制理论中所讨论的稳定性是指自由振荡下的稳定性。振荡下的稳定性。第三页，本课件共有85页2 2稳定的概念和定义稳定的概念和定义 指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后，系统能够以足够精度逐渐恢复到除之后，系统能够以足够精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的或具有稳原来的状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。否则，系统是不稳定的。定性。否则，系统是不稳定的。5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 系统的稳定性：系统的稳定性：从空间尺度来考察。从空间尺度来考察。第四页，本课件共有85页2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 xo(0)xo(t)平衡状态平衡状态xo(0)xo(t)平衡状态平衡状态稳定稳定不稳定不稳定第五页，本课件共有85页2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 若系统在初始状态的影响下，由它所引起的若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，若在初始状态的影响下，为稳定的；反之，若在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。该系统为不稳定的。稳定性的定义：稳定性的定义：从时间尺度来考察。从时间尺度来考察。第六页，本课件共有85页2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 稳定稳定不稳定不稳定txo(t)txo(t)第七页，本课件共有85页2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 若系统稳定，则在初始条件不超出允许区域若系统稳定，则在初始条件不超出允许区域 ()的的条件下，系统的输出响应条件下，系统的输出响应xo(t)xo(t)最终只能在原平衡最终只能在原平衡工作点附近变化，而与原平衡工作点的偏差不超出工作点附近变化，而与原平衡工作点的偏差不超出预先指定的正数预先指定的正数 ，则系统称为在李雅普诺夫意义，则系统称为在李雅普诺夫意义下的稳定；反之，若对任意给定的正数下的稳定；反之，若对任意给定的正数 ，找不到，找不到不为零的正数不为零的正数 满足下式，则系统称为在李雅普诺满足下式，则系统称为在李雅普诺夫意义下的不稳定。夫意义下的不稳定。李雅普诺夫稳定性：李雅普诺夫稳定性：第八页，本课件共有85页2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为则系统称为“在大范围内渐近稳定在大范围内渐近稳定”。渐近稳定性是对线性系统定义的稳定性，它要渐近稳定性是对线性系统定义的稳定性，它要求初态引起的响应最终衰减到零。求初态引起的响应最终衰减到零。渐近稳定性：渐近稳定性：渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳定性渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳定性要求高；渐近稳定的一定是李雅普诺夫稳要求高；渐近稳定的一定是李雅普诺夫稳定，反之则不尽然。定，反之则不尽然。第九页，本课件共有85页2 2稳稳定定的的概概念念和和定定义义5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 用线性化方程来研究系统的稳定性时，用线性化方程来研究系统的稳定性时，就只限于讨论初始偏差不超出某一微小就只限于讨论初始偏差不超出某一微小范围时的稳定性，称为范围时的稳定性，称为“小偏差小偏差”稳定稳定性，又称性，又称“小稳定小稳定”或或“局部稳定性局部稳定性”。小偏差稳定性：小偏差稳定性：第十页，本课件共有85页5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 系统的全部特征根都具有负实部。系统的全部特征根都具有负实部。3 3稳定的条件稳定的条件系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：或者说：系统传递函数或者说：系统传递函数G G(s s)的全部极点的全部极点均位于均位于SS平面的左半平面。平面的左半平面。第十一页，本课件共有85页3 3稳稳定定的的条条件件5.1 5.1 系统稳定的初步概念系统稳定的初步概念 确定系统稳定性的方法有两种类型：确定系统稳定性的方法有两种类型：直接计算或间接得知系统特征方程式直接计算或间接得知系统特征方程式的根；的根；确定保证特征方程的根具有负实部的确定保证特征方程的根具有负实部的系统参数的区域；包括：系统参数的区域；包括：包括：包括：直接求解特征根；直接求解特征根；根轨迹法。根轨迹法。RouthRouth稳定判据，稳定判据，NyquistNyquist稳定判据稳定判据。第十二页，本课件共有85页1 1系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 设线性系统的特征方程为设线性系统的特征方程为 式中式中si(i=1,2,3,n)为线性系统的特为线性系统的特征根。征根。第十三页，本课件共有85页1 1系系统统稳稳定定的的必必要要条条件件5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 高阶代数方程的根与系数的关系为高阶代数方程的根与系数的关系为 第十四页，本课件共有85页1 1系系统统稳稳定定的的必必要要条条件件5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 可求得线性系统特征根可求得线性系统特征根si(i=1,2,3,n)具具有负实部的必要条件为：有负实部的必要条件为：特征方程的各项系数特征方程的各项系数 ai(i=1,2,3,n)都不等于都不等于0 0；特征方程的各项系数特征方程的各项系数ai ai 的符号都相的符号都相同。同。第十五页，本课件共有85页2 2系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 列出列出RouthRouth表，确定表，确定RouthRouth稳定判据。稳定判据。应用应用RouthRouth稳定判据分析系统稳定性的步骤是：稳定判据分析系统稳定性的步骤是：第一步，将给定的线性系统特征方程的第一步，将给定的线性系统特征方程的系数按下列形式排成两行：系数按下列形式排成两行：第十六页，本课件共有85页2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 第二步，根据上面的系数排列，通过规定第二步，根据上面的系数排列，通过规定的运算求取如下的劳斯计算表。的运算求取如下的劳斯计算表。第十七页，本课件共有85页2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 第十八页，本课件共有85页2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 在排列特征方程的系数时，空位需要以在排列特征方程的系数时，空位需要以零来填补；零来填补；凡在运算过程中出现的空位，也必须置凡在运算过程中出现的空位，也必须置零，从而构成一个完整矩阵形式的计算零，从而构成一个完整矩阵形式的计算表。表。注意：注意：第十九页，本课件共有85页2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 第三步，根据劳斯计算表第一列各元素第三步，根据劳斯计算表第一列各元素符号的改变次数确定特征根中具有正实符号的改变次数确定特征根中具有正实部根的个数。部根的个数。若第一列各元间依次序数下来，符号的改变若第一列各元间依次序数下来，符号的改变次数为零，则具有正实部特征根的个数为零，次数为零，则具有正实部特征根的个数为零，系统是稳定的；系统是稳定的；若第一列各元符号不同，则系统是不稳定若第一列各元符号不同，则系统是不稳定的，其各元间符号依次改变的次数等于具的，其各元间符号依次改变的次数等于具有正实部特征根的个数。有正实部特征根的个数。第二十页，本课件共有85页2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件系统稳定的充要条件为：系统稳定的充要条件为：5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 RouthRouth表中第一列各元的符号均为正，且值表中第一列各元的符号均为正，且值不为。不为。第二十一页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 系统特征方程为系统特征方程为举例举例1 1 判别其稳定性。判别其稳定性。解：解：根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下：改变改变1 1次符号次符号;又改变又改变1 1次符号次符号;2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件有有2 2个具有正实部的特征根，所以系统不稳个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。定。第二十二页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 举例举例2 2 系统特征方程为系统特征方程为试确定试确定K K取何值时，系统稳定。取何值时，系统稳定。解：解：根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下：2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件第二十三页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 能使系统稳定的参数能使系统稳定的参数 K 的取值范围为：的取值范围为：解得解得 解得解得 由系统稳定的充要条件，要求：由系统稳定的充要条件，要求：2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件第二十四页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 2 2系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件二阶系统稳定的充要条件是：二阶系统稳定的充要条件是：三阶系统稳定的充要条件是：三阶系统稳定的充要条件是：第二十五页，本课件共有85页3 3应用应用RouthRouth判据的特殊情况判据的特殊情况 5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 （1 1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一个表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地为元为零，而其后各元均不为零或部分地为零，则在计算下一行第一个元时，该元必零，则在计算下一行第一个元时，该元必将趋于无穷大，于是将趋于无穷大，于是RouthRouth表计算将无法进表计算将无法进行。行。为了克服这一困难，可用一个很小的正数为了克服这一困难，可用一个很小的正数 来代替第一列等于的元，然后计算来代替第一列等于的元，然后计算RouthRouth表表的其余各元。的其余各元。第二十六页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 系统特征方程为系统特征方程为举例举例3 3 判别其稳定性。判别其稳定性。解：解：根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下：改变改变1 1次符号次符号;又改变又改变1 1次符号次符号;3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 有有2 2个具有正实部的特征根，所以系统不个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。稳定。第二十七页，本课件共有85页3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 （2 2）如果当）如果当RouthRouth表的任意一行中的所有元表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存在两个符均为零时，系统的特征根中，或存在两个符号相异，绝对值相同的实根；或存在一对共号相异，绝对值相同的实根；或存在一对共轭纯虚根；或上述的两种类型的根同时存在；轭纯虚根；或上述的两种类型的根同时存在；或存在实部符号相异，虚部数值相同的两对或存在实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复数根。共轭复数根。第二十八页，本课件共有85页3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 在这种情况下，可利用该行的上一行的元在这种情况下，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数组成程导数的系数组成RouthRouth计算表的一行代替计算表的一行代替全行的元，便可按全行的元，便可按RouthRouth稳定判据的要求稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完成的继续运算下去，直到得出完成的RouthRouth计算计算表。这些数值相同，符号相异的成对的特表。这些数值相同，符号相异的成对的特征根，可通过解辅助方程得到，即征根，可通过解辅助方程得到，即p p阶阶的辅助多项式有这样的的辅助多项式有这样的p p对特征根。对特征根。第二十九页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 系统特征方程为系统特征方程为举例举例4 4 用用RouthRouth表判别其稳定性。表判别其稳定性。解：解：根据特征方程的系数列根据特征方程的系数列RouthRouth表如下：表如下：3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 第三十页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 将系数带入将系数带入RouthRouth表第三行，继续进行运算表第三行，继续进行运算 3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 辅助方程辅助方程 求导得求导得 第三十一页，本课件共有85页5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 3 3应应用用劳劳斯斯判判据据的的特特殊殊情情况况 改变改变1 1次符号次符号;有有1 1个具有正实部的特征根，所以系统个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。不稳定。第三十二页，本课件共有85页5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 闭环系统的传递函数为闭环系统的传递函数为 则闭环系统特征方程为则闭环系统特征方程为 开环传递函数为开环传递函数为 闭环系统稳定的充要条件是其特征方程闭环系统稳定的充要条件是其特征方程的全部特征根位于的全部特征根位于 S S 平面的左半部。平面的左半部。第三十三页，本课件共有85页NyquistNyquist稳定判据是通过闭环系统的开稳定判据是通过闭环系统的开环频率响应环频率响应G(j)H(j)与闭环特征方程与闭环特征方程 1+G(j)H(j)=0 的根在的根在 s 平面上分平面上分布之间的联系布之间的联系,根据开环频率响应根据开环频率响应G(j)H(j)判别闭环系统稳定性的一种判别闭环系统稳定性的一种准则。准则。5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 第三十四页，本课件共有85页1.1.幅角原理幅角原理5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 引入辅助函数，令引入辅助函数，令 式中，式中，pi为闭环系统的开环极点，为闭环系统的开环极点，zi 为闭为闭环系统的闭环极点环系统的闭环极点 第三十五页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 F(s)具有以下特点：具有以下特点：（1 1）F(s)与与 G(s)H(s)只相差只相差1 1；（2 2）F(s)的极点的极点 pi 为开环系统的为开环系统的开环极开环极点点；其零点；其零点 zi 为闭环系统的为闭环系统的闭环极点闭环极点；（3 3）对于物理可实现系统，其开环传递函数）对于物理可实现系统，其开环传递函数 G(s)H(s)G(s)H(s)分母多项式的阶数分母多项式的阶数n n大于或等于其大于或等于其分子多项式的阶数分子多项式的阶数m m，因此，因此，F(s)F(s)的极点、的极点、零点数目相同，都等于零点数目相同，都等于n n。第三十六页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 幅角原理幅角原理：设设F(s)是复变函数，以是复变函数，以F复平面上的复平面上的s为复变量，以为复变量，以s平面上的平面上的表示。表示。表示。表示。第三十七页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 幅角原理幅角原理：如果在如果在s平面任取一个不穿过平面任取一个不穿过F(s)的零点和的零点和极点的封闭轨线极点的封闭轨线LS，它包围的，它包围的零点数和极零点数和极点数分别为点数分别为Z和和P，封闭轨线封闭轨线 LS 通过通过F(s)映映射到射到F平面上也是一条封闭轨线平面上也是一条封闭轨线 LF。那么，那么，当复变量当复变量s在在s平面中以顺时针方向沿平面中以顺时针方向沿 LS旋转旋转一周时，复变函数一周时，复变函数 F(s)在在F平面上的映射轨平面上的映射轨迹迹 LF 将按顺时针的方向包围原点将按顺时针的方向包围原点 N=Z-P 次。次。第三十八页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 ImReF(s1)LFF(s2)Fjs1Lss2s第三十九页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 jsLssImReF(s)LFFz1z2s-z1s z2第四十页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 向量向量F(s)F(s)的相位为的相位为：假设假设 LS 内只包围了内只包围了 F(s)的一个零点的一个零点 zi，其，其他零点和极点均在他零点和极点均在 LS 之外，当之外，当s沿沿LS 顺时针顺时针方向移动一周时，向量（方向移动一周时，向量（s-zi）的相位角变）的相位角变化化-2弧度，而其他各向量的相位角变化为弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即零。即 F(s)在在 F 平面上沿映射轨迹平面上沿映射轨迹 LF 绕绕原点顺时针转了一周。原点顺时针转了一周。第四十一页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 若若s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 LS 内包围着内包围着 F(s)的的 Z 个零点，则在个零点，则在F平面上的映射曲平面上的映射曲线线 LF 将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转 Z 周。同理，若周。同理，若s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 LS 内包围着内包围着 F(s)的的 P 个极点，则在个极点，则在F平面上的映射曲线平面上的映射曲线 LF 将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转 P周。若周。若LS 包围了包围了 F(s)的的 Z 个零点和个零点和 P 个极点，则个极点，则 F(s)平平面上的映射曲线面上的映射曲线 LF 将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转 N=Z-P 周周。第四十二页，本课件共有85页1 1幅幅角角原原理理 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 N，表示，表示 LF 按顺时针方向包围原点按顺时针方向包围原点 N 次；次；N，表示，表示 LF 按逆时针方向包围原点按逆时针方向包围原点 N 次；次；N=，表示，表示 LF 不包围原点。不包围原点。第四十三页，本课件共有85页5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 2 2NyquistNyquist稳定判据稳定判据（1 1）s s 平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹轨迹 设在设在ss平面上有封闭的曲线平面上有封闭的曲线 L LS S，其中，其中，L L1 1 段由段由到到的整个虚轴组成，的整个虚轴组成，L L2 2 段是由半径为段是由半径为R R趋于无穷大的圆弧组成。趋于无穷大的圆弧组成。因此因此 L LS S 就封闭的包围了整个就封闭的包围了整个ss平面的平面的右半平面。右半平面。第四十四页，本课件共有85页j0sLsR5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 j-j2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 第四十五页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 由于应用幅角原理时，由于应用幅角原理时，L LS S 不能通过函数的任不能通过函数的任何极点，所以当函数何极点，所以当函数 F F(s)(s)有若干个极点处有若干个极点处于于ss平面的虚轴或原点上时，平面的虚轴或原点上时，L LS S 应被认为应被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向从这些点的右侧绕过。由于这些小逆时针方向从这些点的右侧绕过。由于这些小段圆弧紧贴极点绕过，因此，可以认为段圆弧紧贴极点绕过，因此，可以认为 L LS S 曲曲线包围了整个线包围了整个ss平面的右半平面，这一平面的右半平面，这一 L LS S 封闭曲线即为封闭曲线即为ss平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹，轨迹，当当由由变到变到时，轨迹的方向为顺时，轨迹的方向为顺时针方向。时针方向。第四十六页，本课件共有85页jsLsR5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 j-j00+0-2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 第四十七页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 F平面上的平面上的Nyquist轨迹按轨迹按 F(s)函数作出，由函数作出，由前述可知，前述可知，系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是 Z=0。已知的已知的F(s)函数，可以先求得函数，可以先求得F(s)位于位于s平面平面的右半平面的极点数的右半平面的极点数 P，从而可求得，从而可求得 Z=N+P。为保证系统稳定，应使。为保证系统稳定，应使Z=0，即，即 N=Z-P=-P。也就是，。也就是，当当F平面的平面的Nyquist轨轨迹迹 LF 逆时针包围原点的圈数为逆时针包围原点的圈数为N等于等于F(s)函函数位于数位于s平面的右半平面的极点数平面的右半平面的极点数P时，系统时，系统稳定稳定。（2 2）FF平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹轨迹第四十八页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （可见可见GH平面是将平面是将F平面的虚轴右移平面的虚轴右移1个个单位之后所构成的新复平面。单位之后所构成的新复平面。GH平面平面上的（上的（-1,j0）点就是）点就是F平面上的原点。所平面上的原点。所以在以在GH平面上包围点（平面上包围点（-1,j0）的圈数）的圈数 N，就等于在，就等于在F平面上平面上 LF 包围原点的圈数包围原点的圈数 N。（3 3）GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹轨迹由由可得可得第四十九页，本课件共有85页5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 0ImReGHLGH1G(s)H(s)(-1,j0)0ImReFLF1F(s)(1,j0)第五十页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 s 平面上半径为平面上半径为的半圆映射到的半圆映射到 GH 平面上为原点或实轴上的一点。平面上为原点或实轴上的一点。s 平面上的虚轴平面上的虚轴 j 映射到映射到GHGH平面上平面上的开环的开环NyquistNyquist轨迹轨迹 G(j)H(j)作为包作为包围点（围点（-1-1，j0j0）的评判依据。）的评判依据。第五十一页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 NyquistNyquist稳定判据：稳定判据：当当由由-到到+时，若在时，若在GH平面的开环平面的开环频率特性频率特性 GK(j)，即，即G(j)H(j)逆时针方逆时针方向包围点（向包围点（-1,j0-1,j0）P P圈，则闭环系统稳定。圈，则闭环系统稳定。第五十二页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （1 1）当当P=0，从从-变到变到+时，若时，若GH平面上平面上的的G(j)H(j)不包围原点（不包围原点（-1,j0），即，即N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。（2）当）当P0，从从-变到变到+时，若时，若GH平平面面上的上的G(j)H(j)逆时针包围点（逆时针包围点（-1,j0）P圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（-1,j0）的圈数不到）的圈数不到P圈或顺时针包围点（圈或顺时针包围点（-1,j0），），则闭环系统不稳定。则闭环系统不稳定。第五十三页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 举例举例 稳定稳定不稳定不稳定ImRe(-1,j0)=00 GH=p=0=-ImRe(-1,j0)=00 GH=p=0=-第五十四页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （1 1）Nyquist 稳定判据不是在稳定判据不是在s平面，平面，而而是在是在 GH平面判别系统的稳定性平面判别系统的稳定性。是通。是通过幅角原理将过幅角原理将 s 平面的平面的Nyquist轨迹（虚轴）轨迹（虚轴）映射为映射为 GH 平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹 G(j)H(j),然后根据然后根据 G(j)H(j)轨迹包围轨迹包围（-1,j0）点的情况来判别闭环系统的稳定）点的情况来判别闭环系统的稳定性，而性，而G(j)H(j)正是系统的开环频率特正是系统的开环频率特性性GK(j)。几点说明几点说明 第五十五页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （2 2）NyquistNyquist判据的证明比较复杂，但应用简判据的证明比较复杂，但应用简单。由于一般系统的开环系统多为最小相位系单。由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，当统，当P=0P=0，故只要看开环，故只要看开环NyquistNyquist轨迹是否包轨迹是否包围点（围点（-1,j0-1,j0），若不包围，则闭环系统稳定；），若不包围，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。反之，则闭环系统不稳定。（3 3）当开环系统为非最小相位系统，）当开环系统为非最小相位系统，P0P0，先求出，先求出P P，再看，再看NyquistNyquist轨迹包围点（轨迹包围点（-1,j01,j0）的圈数，并注意）的圈数，并注意由小到大的轨迹方由小到大的轨迹方向向，若是逆时针包围点（，若是逆时针包围点（-1,j0-1,j0）P P圈，则闭圈，则闭环系统稳定；反之，则系统不稳定。环系统稳定；反之，则系统不稳定。第五十六页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （4 4）在）在P=0，即即G GK K(s)(s)在在ss平面的右半平面无平面的右半平面无极点时，有时称为开环稳定；在极点时，有时称为开环稳定；在P0P0，即，即G Gk k(s)(s)在在ss平面的右半平面有极点时，有时平面的右半平面有极点时，有时称为开环不稳定。开环不稳定，闭环系统仍称为开环不稳定。开环不稳定，闭环系统仍可稳定；开环稳定可稳定；开环稳定,闭环系统也可能不稳定。闭环系统也可能不稳定。但开环稳定而其闭环不稳定的系统，在实用但开环稳定而其闭环不稳定的系统，在实用上有时是不可靠的。上有时是不可靠的。第五十七页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （5 5）开环）开环NyquistNyquist轨迹是关于实轴对称的，轨迹是关于实轴对称的，所以，一般只需绘出所以，一般只需绘出由由0 0到到+的曲线即可的曲线即可判别稳定性。判别稳定性。第五十八页，本课件共有85页2 2奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据 5.3 Nyquist5.3 Nyquist（奈奎斯特）稳定判据（奈奎斯特）稳定判据 （6 6）系统传递函数的分母反映了系统本身的系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性。现在系统传递函数的分母是固有特性。现在系统传递函数的分母是1 1+G+G(s s)H(s)H(s)，即，即F(s).F(s).而而F(s)F(s)包围包围FF平面上原点平面上原点的情况与的情况与G(G(s s)H(s)H(s)包围包围GHGH平面上（平面上（-1,j01,j0）点的情况完全一样，因此，）点的情况完全一样，因此，G(G(s s)H(s)H(s)这一开环传递函数包围这一开环传递函数包围GHGH平面平面上（上（-1,j0-1,j0）点的情况就反映了闭环系统的）点的情况就反映了闭环系统的固有特性，因此，用它来判别系统的稳定固有特性，因此，用它来判别系统的稳定性，即由性，即由NyquistNyquist判据用开环传递数判别闭判据用开环传递数判别闭环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。易解释的。第五十九页，本课件共有85页5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 1 1NyquistNyquist图和图和BodeBode图的对应关系图的对应关系 -180GHc0g20lg|GH|1234ImRe(-1,j0)=00 GH=c1234+-g第六十页，本课件共有85页1 1奈奈奎奎斯斯特特图图与与伯伯德德图图关关系系 极坐标的单位圆相当于极坐标的单位圆相当于BodeBode图上的图上的0 0分贝分贝线，即对数幅频特性图的横轴。线，即对数幅频特性图的横轴。极坐标图上的负实轴相当于极坐标图上的负实轴相当于BodeBode图上图上的的-180-180线，即对数象相频特性图的横轴。线，即对数象相频特性图的横轴。5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 第六十一页，本课件共有85页（cc为为NyquistNyquist轨迹与单位圆交点的频率，轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时的频率，称为亦即输入与输出幅值相等时的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率，幅值交界频率。剪切频率或幅值穿越频率，幅值交界频率。gg为为NyquistNyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率。为相位穿越频率或相位交界频率。1 1奈奈奎奎斯斯特特图图与与伯伯德德图图关关系系 5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 第六十二页，本课件共有85页开环开环NyquistNyquist轨迹在（轨迹在（-1-1，j0j0）点以左穿）点以左穿过负实轴称为穿越。过负实轴称为穿越。2 2穿越的概念穿越的概念 若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨迹轨迹自上而下（相位增加）穿过（自上而下（相位增加）穿过（-1-1，j0j0）点以）点以左的负实轴称为正穿越；左的负实轴称为正穿越；若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨迹自轨迹自下而上（相位减小）穿过（下而上（相位减小）穿过（-1-1，j0j0）点以左的）点以左的负实轴称为负穿越。负实轴称为负穿越。5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 第六十三页，本课件共有85页若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨轨迹自（迹自（-1-1，j0j0）点以左的负实轴开始向）点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越；下称为半次正穿越；若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨轨迹自（迹自（-1-1，j0j0）点以左的负实轴开始向上）点以左的负实轴开始向上称为半次负穿越称为半次负穿越 2 2穿穿越越的的概概念念 5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 第六十四页，本课件共有85页反之，沿频率反之，沿频率增加的方向，对数相频特增加的方向，对数相频特性曲线自上而下（相位减小）穿过性曲线自上而下（相位减小）穿过-180-180线为负穿越。线为负穿越。对应于对应于BodeBode图上，在开环对数幅频特性为图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿频率正值的频率范围内，沿频率增加的方向，增加的方向，对数相频特性曲线自下而上（相位增加）穿过对数相频特性曲线自下而上（相位增加）穿过-180-180线为正穿越；线为正穿越；2 2穿穿越越的的概概念念 5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 第六十五页，本课件共有85页反之，沿频率反之，沿频率增加的方向，对数相频增加的方向，对数相频特性曲线自特性曲线自-180-180线开始向下，为半次负线开始向下，为半次负穿越。穿越。若沿频率若沿频率增加的方向，对数相频特性曲线增加的方向，对数相频特性曲线自自-180-180线开始向上，为半次正穿越；线开始向上，为半次正穿越；2 2穿穿越越的的概概念念 5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 第六十六页，本课件共有85页2 2穿穿越越的的概概念念 5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 -180 GH正半次穿越正半次穿越负