2、空间问题的有限元法.ppt
机电工程学院机电工程学院第三章第三章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级的结构，必须按空间（三维）问题求解。的结构，必须按空间（三维）问题求解。的结构，必须按空间（三维）问题求解。的结构，必须按空间（三维）问题求解。空间问题的有限单元法中的位移仍然只有空间问题的有限单元法中的位移仍然只有空间问题的有限单元法中的位移仍然只有空间问题的有限单元法中的位移仍然只有平动平动平动平动位移，所以仍位移，所以仍位移，所以仍位移，所以仍属于属于属于属于C C C C0 0 0 0连续问题，因此构造单元并不难连续问题，因此构造单元并不难连续问题，因此构造单元并不难连续问题，因此构造单元并不难。将平面问题有限元将平面问题有限元将平面问题有限元将平面问题有限元法法法法“稍加变动稍加变动稍加变动稍加变动”并并并并“加以推广加以推广加以推广加以推广”便可用于空间问题。便可用于空间问题。便可用于空间问题。便可用于空间问题。车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要难题：难题：难题：难题：1 1 1 1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。2 2 2 2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求较高。较高。较高。较高。车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院解决问题：解决问题：解决问题：解决问题：1 1 1 1、编程建模、编程建模、编程建模、编程建模2 2 2 2、采用高精度单元、采用高精度单元、采用高精度单元、采用高精度单元由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院一、空间问题常用单元二、常应变四面体单元车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院一、空间问题常用单元2.2.2.2.按位移函数阶次分按位移函数阶次分按位移函数阶次分按位移函数阶次分1.1.1.1.按形状分：按形状分：按形状分：按形状分：四面体单元（三棱锥）四面体单元（三棱锥）四面体单元（三棱锥）四面体单元（三棱锥）五面体单元（三棱柱）五面体单元（三棱柱）五面体单元（三棱柱）五面体单元（三棱柱）六面体单元（立方体）六面体单元（立方体）六面体单元（立方体）六面体单元（立方体）线性单元：线性单元：线性单元：线性单元：四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等二阶单元：二阶单元：二阶单元：二阶单元：十结点四面体，二十结点六面体等十结点四面体，二十结点六面体等十结点四面体，二十结点六面体等十结点四面体，二十结点六面体等三阶单元：三阶单元：三阶单元：三阶单元：二十结点四面体，三十二结点六面体等二十结点四面体，三十二结点六面体等二十结点四面体，三十二结点六面体等二十结点四面体，三十二结点六面体等车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院一、空间问题常用单元4.4.4.4.构造曲面单元构造曲面单元构造曲面单元构造曲面单元3.3.3.3.形函数构造方法形函数构造方法形函数构造方法形函数构造方法：1 1 1 1）广义坐标法：仅用在常应变单元）广义坐标法：仅用在常应变单元）广义坐标法：仅用在常应变单元）广义坐标法：仅用在常应变单元等等等等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲面单元面单元面单元面单元2 2 2 2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数四面体单元的自然坐标是四面体单元的自然坐标是四面体单元的自然坐标是四面体单元的自然坐标是体积体积体积体积坐标坐标坐标坐标车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院二、常应变四面体单元1.1.1.1.基本变量基本变量基本变量基本变量单元内任一点位移单元内任一点位移单元内任一点位移单元内任一点位移:单元内任一点应变单元内任一点应变单元内任一点应变单元内任一点应变:单元内任一点应力单元内任一点应力单元内任一点应力单元内任一点应力:车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院二、常应变四面体单元1.1.1.1.基本变量基本变量基本变量基本变量单元结点单元结点单元结点单元结点位移位移位移位移:结点位移结点位移结点位移结点位移:车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院2.2.2.2.单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数：设设设设单元内任一点的位移为坐标的单元内任一点的位移为坐标的单元内任一点的位移为坐标的单元内任一点的位移为坐标的线性函数线性函数线性函数线性函数:即为即为即为即为广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标二、常应变四面体单元车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院将结点坐标代入将结点坐标代入将结点坐标代入将结点坐标代入u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z)，得结点得结点得结点得结点x x x x方向位移方向位移方向位移方向位移:（四个方程、四个未知量）（四个方程、四个未知量）2.2.2.2.单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数单元位移插值函数：二、常应变四面体单元车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院解方程组得解方程组得解方程组得解方程组得 后，可将后，可将后，可将后，可将u u u u的表达整理成：的表达整理成：的表达整理成：的表达整理成：式中式中式中式中:车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院按按按按1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3、4 4 4 4的顺序变换下标，的顺序变换下标，的顺序变换下标，的顺序变换下标，可得其它系数可得其它系数可得其它系数可得其它系数令令令令:则则则则:同样的过程可得到同样的过程可得到同样的过程可得到同样的过程可得到:形函数形函数车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）或：或：或：或：形函数矩阵形函数矩阵车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院3.3.3.3.单元单元单元单元几何方程几何方程几何方程几何方程：二、常应变四面体单元由结点位移求单元内应变由结点位移求单元内应变由结点位移求单元内应变由结点位移求单元内应变将位移表达式代入，得：将位移表达式代入，得：其中：其中：车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院 B B B B 中各元素为常数，则中各元素为常数，则中各元素为常数，则中各元素为常数，则 也为常也为常也为常也为常量量量量 常应变单元常应变单元常应变单元常应变单元车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院4.4.4.4.单元物理方程单元物理方程单元物理方程单元物理方程：二、常应变四面体单元由结点位移求单元内应力由结点位移求单元内应力由结点位移求单元内应力由结点位移求单元内应力 应力矩阵应力矩阵令令:车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院其中：其中：车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院其中：其中：车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院5.5.5.5.单元基本方程单元基本方程单元基本方程单元基本方程：二、常应变四面体单元利用变分原理建立单元平衡方程：利用变分原理建立单元平衡方程：利用变分原理建立单元平衡方程：利用变分原理建立单元平衡方程：其中：其中：单元刚度矩阵单元刚度矩阵等效结点荷载等效结点荷载车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院空间轴对称问题，采用圆柱坐标系 ，根据轴对称问题的特点，任一对称面为 面，没有 方向的位移。物体上任一点的位移、应变、应力均与 角无关，轴对称问题可以把三维问题转化为以 为自变量的二维问题。图3-4代表三角形环形单元，用在平面上的三角形 表示。轴向位移为 ，沿半径方向的位移为 。三、空间轴对称问题的有限元法车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院则，三角形单元的节点位移为：与平面问题三角形单元相仿，取位移模式：带入节点位移后，可解出 ，用形函数表达：三、空间轴对称问题的有限元法车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院三、空间轴对称问题的有限元法该式与平面问题的有限元问题中的形函数该式与平面问题的有限元问题中的形函数形式一样，系数相同，只是将平面问题的形式一样，系数相同，只是将平面问题的坐标轴坐标轴x,yx,y换成换成其中，其中，车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院 矩阵中含有变量r,z,因此，不是常数矩阵，三角形环形单元也不是常应变单元。车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院根据弹性力学理论，空间轴对称问题的弹性方程：其中，弹性矩阵为：车辆工程技教研室车辆工程技教研室机电工程学院机电工程学院轴对称问题的单元刚度矩阵三角形环形单元的积分可简化为三角形截面上的积分：其体积力，面力的表达式：车辆工程技教研室车辆工程技教研室
