相对论2-2.ppt

第二章第二章 黎曼几何黎曼几何 在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成了黎曼空间。了黎曼空间。2.1 黎曼空间和度规张量黎曼空间和度规张量 1黎曼空间黎曼空间设空间中两点的距离为ds 度规张量反映空间的性质广义相对论中的任务之一就是要找出不同空间的欧氏空间 黎曼空间特例取直角坐标,若取球坐标，闵氏空间 黎曼空间另一特例 则 2度规张量度规张量 反映空间的性质。若 为 则空间是平坦的，否则是非平坦的，（以上的欧氏空间、闵氏空间均为平坦的）一般黎曼空间是非平坦的。2.2张量指标的升降张量指标的升降 度规张量不仅可以反映空间的性质，而且可以用来升降张量的指标（即将逆变量 协变量）：一个矢量的长度可写为 2.3克里斯朵夫（克里斯朵夫（Christoffel）联络）联络1、定义：能保持平移矢量长度不变的对称联络 克氏联络2、表达式：且有 即黎曼空间度规张量的协变微分为零。3、局域惯性系广义相对论中所讨论的空间通常都是无挠的黎曼空间（即联络为对称的）定义定义：在空间任一点P的邻域内，若其联络 则该领域叫做一个局域惯性系。若 则有 为常数平坦空间可以定义惯性系！定理定理：对无挠的黎曼空间，若在坐标 下 P点的联络为 ，则总可找到一坐标变换 ，使得 2.4黎曼空黎曼空间间中的中的测测地地线线ds为不变距离 1、曲线的固有长度2、测地线 由测地线方程 将参量用固有长度参量代替，则s的切矢为 于是测地线方程写为左=右=有 又 注意到 f(s)=0 s为仿射参量故测地线方程为 黎曼空间的测地线方程 2.5黎曼空间的曲率张量黎曼空间的曲率张量1、性质 由于在黎曼空间联络是对称的（克氏联络），故有性质：（i）（ii）(iii)(反称)(iii)(反称)(iv)（反称）(v)（与 对称）(vi)（反称）2、爱因斯坦张量(i)里契（Ricci）张量 （对称）(ii）爱因斯坦张量 里契标量（坐标曲率）2.7 李微商李微商 李微商张量场在映射意义下的微商 映射一种对应操作（将空间中一点对应到另一点）设 无穷的映射 无穷小量，无穷小映射生成元 定义定义：张量T（x）的李微商可表示为 式中，表示在映射下的张量平移；为空间中映射的对应点1、标量场 ，定义 则 2、矢量场 设 式中，过P点的曲线为 则映射把 对应到 则 定义 则有故有 易得：李微商取决于被微商的张量和映射的无穷小生李微商取决于被微商的张量和映射的无穷小生成元，李微商不需要联络成元，李微商不需要联络。例例：计算度规张量的李微商，并将普通微商改为协变微商 2.8 等度规映射和凯林等度规映射和凯林（Killing）矢量场矢量场若（无穷小）映射使得空间两点（P,Q）的距离平方不变，即 则这种映射叫做等度规映射，其对应的（无穷小）生成元 叫killing矢量。又 又 由 的任意性，故有 即 或 可见，度规张量的李导数（李微商）为零。