矩阵论 线性空间一(1-3).ppt

第一章第一章 第一节第一节 线性空间线性空间主要内容：主要内容：线性空间的定义及其性质线性空间的定义及其性质向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性空间的基与向量在基下的坐标线性空间的基与向量在基下的坐标坐标变换与过渡矩阵坐标变换与过渡矩阵子空间与生成子空间子空间与生成子空间子空间的运算子空间的运算子空间的直和子空间的直和概述概述线性空间是n维向量空间R n 的推广,是矩阵理论的基础。线性空间是一类具有“线性结构线性结构”的元素集合，这种线性结构是通过两种线性运算“加法”、“数乘”在一定公理体系下给出的。数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合。定义 设V是一个非空集合，F是一个数域（如实数域R或复数域C），如果在V上规定了下列两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间1加法运算 对V的任意两个元素x、y，都有V的 唯一的“和”，且满足（1）交换律 x+y=y+x;（2）结合律 x+(y+z)=(x+y)+z;（3）存在0元 x+0=x;（4）存在负元-x x+(-x)=0.2数乘运算 对V的任一元x，及F的任一数k，都存在唯一的“积”，且满足（5）分配律 k(x+y)=k x+k y（6）分配律 (k+l)x=k x+lx（7）结合律 k(lx)=(k l)x（8）1x=x 线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛的含义。注注意意：上述定义所规定的加法运算与数乘运算也称为V的线性运算，满足“封闭性”，即对V的任意两个元素及F的任一数k，所定义的“和”与“积”仍属于V。当F是实数域时，V称为实线性空间；当F是复数域时，V称为复线性空间。n维实向量空间是线性空间，仍记作 ；n维复向量空间是线性空间，仍记作 。可以验证：线性空间实例线性空间实例例1 所有 型矩阵在矩阵加法和数乘运算下构成一个线性空间，记为例4 闭区间a,b上所有连续函数的集合在函数加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为例3 二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加法与数与函数的乘法构成一个线性空间。例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为相容的线性非齐次方程组解的全体按中的运算不构成线性空间非非线性空间举例线性空间举例所有n阶可逆矩阵在矩阵加法和数乘运算下不构成线性空间（0矩阵不可逆）。所有次数等于n 的多项式在多项式加法和数乘运算下不构成线性空间。实例5设R+为所有正实数组成的集合，其上的加法与乘法分别定义为试证R+是R上的线性空间。证明证明 设 （3）1是零元，因为（4）a的负元是1/a，因为即对所定义的加法“”与乘法“”是封闭的。且满足故故R R+是是R R上的线性空间。上的线性空间。定理定理 设设V V是数是数域域F F上的一个线性空间，则上的一个线性空间，则（1 1）V V的零元是唯一的；的零元是唯一的；（2 2）V V中任意元的负元是唯一的；中任意元的负元是唯一的；（3 3）（4 4）如果）如果 ，则，则k=0k=0或或 。线性表示线性表示则称则称x x可由可由x x1 1,x,x2 2,x ,x p p线性表示线性表示，称称x x是是x x1 1 ,x,x2 2,x ,x p p的线性组合的线性组合。例在二维空间例在二维空间R R2 2中，任意一个二维向量中，任意一个二维向量 都可由标准单位向量都可由标准单位向量e e1 1,e,e2 2 线性表示。线性表示。设设V V是一个线性空间，是一个线性空间，是是V V的向量组。的向量组。如果存在一组数如果存在一组数使得使得例例2 2、在线性空间、在线性空间中，中，例例3在三维空间R3中，求k1,k2,k3,使得求解注：注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求解问题解问题。如果向量组如果向量组 与与 可以相互表示，可以相互表示，则称向量组则称向量组 与向量组与向量组 是等价的。是等价的。给定线性空间给定线性空间V V 的两个向量组的两个向量组 与与 ，如果如果 中的每一个向量都可以由向量组中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组 可以由向量组可以由向量组 线性表示；线性表示；等价向量组具有：自反性、对称性、传递性等价向量组具有：自反性、对称性、传递性 设设 x1,x2,x p 是线性空间是线性空间V 的向量组。的向量组。如果存在一组不全为如果存在一组不全为 0 的数的数 k1,k2,kp使得使得则称向量组则称向量组 x1,x2,xp 是线性相关的；是线性相关的；否则，就称向量组否则，就称向量组 x1,x2,xp 是线性无关的。是线性无关的。线性相关线性相关命题一命题一 向量向量组组x1,x2,xp是线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是仅当是仅当k1=k2=kp=0 时时成立成立命题二命题二 向量组向量组 x1,x2,xp 是线性相关的充是线性相关的充要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表示。示。等价命题等价命题1、在线性空间、在线性空间 中，中，其中其中 表示第表示第i行元素第行元素第j列元素列元素1，其它元素为，其它元素为0的矩的矩阵。阵。线性无关。线性无关。可以证明：可以证明：2 2、在线性空间、在线性空间中，中，线性无关。线性无关。并称并称 r r 为向量组的秩，记为为向量组的秩，记为则称则称 是向量组是向量组 的极大无关组；的极大无关组；(2)(2)任一向量任一向量 可由可由 线性表示；线性表示；（1）是线性无关组，是线性无关组，说说明明：一一般般地地，向向量量组组的的极极大大无无关关组组不不是是唯唯一一的的，但但向向量量组组的的每每一一个个极极大大无无关关组组都都与与向向量量组组自自身身是是等等价价的的，并并且且向向量量组组的的每每一一个个极极大大无无关关组组中中所所含含有有的的向向量量的的个个数数都都等于向量组的秩。等于向量组的秩。定义定义 设设 是线性空间是线性空间V V的向量组的向量组,如果如果设设x x1 1,x,x2 2,x ,x n n是线性空间是线性空间V V的向量组的向量组,如果如果 （1 1）x x1 1,x,x2 2,x ,x n n是是V V的线性无关组，的线性无关组，（2 2）V V的任一向量的任一向量x x可由可由x x1 1,x,x2 2,x ,x n n线性表示；线性表示；则称则称x x1 1,x,x2 2,x ,x n n是线性空间是线性空间V V 的一组基。的一组基。称称n n是线性空间是线性空间V V 的维数，记作的维数，记作dimVdimV。或称线性空间或称线性空间V V 是是n n维线性空间维线性空间即：即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数。线性空间的维数是其基中所含向量的个数。一、线性空间的基与向量在基下的坐标一、线性空间的基与向量在基下的坐标若在若在V V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V V是是无限维线性空间无限维线性空间例例1 1、证明：在三维向量空间证明：在三维向量空间R R3 3中中 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3 与与y y1 1,y,y2 2,y,y3 3都是线性空间都是线性空间R R3 3的一组基的一组基说明：线性空间的基不唯一说明：线性空间的基不唯一这是因为：这是因为：从而它们各自都线性无关，从而它们各自都线性无关，而而对于任意向量对于任意向量分别有：分别有：例例2 2、PxPxn n表示所有次数不超过表示所有次数不超过n n 的多项式所构的多项式所构成的一个线性空间成的一个线性空间,则则:可以验证：可以验证：1,x,x1,x,x2 2,x xn n是线性空间是线性空间PxPxn n的一组基的一组基,PxPxn n的维数是的维数是n+1n+1。PxPxn n是是n+1n+1维线性空间维线性空间PxPx 表示实系数多项式所构成的一个线性空间，表示实系数多项式所构成的一个线性空间，则则:PxPx 是是无限维线性空间无限维线性空间因为对于任何整数因为对于任何整数N，多有多有N个线性无关的向量个线性无关的向量1 1,x,x,x,x2 2,x xN N。则则 E Eijij:i:i=1,2,m;j=1,2,n=1,2,m;j=1,2,n是线性空间是线性空间则则 是是mn mn 维线性空间维线性空间令令E E ijij为第为第(i,j)(i,j)元为元为1 1，其余元为，其余元为0 0的的 mnmn矩阵矩阵,的维数是的维数是 mn mn。例例3 3、表示所有表示所有mn mn 矩阵构成一个线性空间，矩阵构成一个线性空间，的一组基的一组基,引理引理1 1设设x x1 1,x,x2 2,x xn n是线性空间是线性空间V V 的一组基，则对于的一组基，则对于V V的的任一元任一元x x，x x可由可由x x1 1,x,x2 2,x xn n唯一线性表示。唯一线性表示。证明证明 设设x x可由可由x x1 1,x,x2 2,x xn n有两种线性表示：有两种线性表示：x x1 1,x,x2 2,x xn n是线性空间是线性空间V V 的一组基，它们线性无关，的一组基，它们线性无关，坐标坐标 设设x x1 1,x,x2 2,x xn n是线性空间是线性空间V V 的一组基，的一组基，则称则称x x由由x x1 1,x,x2 2,x xn n唯一线性表示的系数为向唯一线性表示的系数为向量量x x在基在基x x1 1,x,x2 2,x xn n下的坐标，记下的坐标，记为为X.X.即设即设则则引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的数组向量联系起来了。数组向量联系起来了。说明：说明：在在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐标一般是不同的。例如：标一般是不同的。例如：例例4 4、在、在R R3 3中，中，x x1 1,x,x2 2,x,x3 3是与是与y y1 1,y,y2 2,y,y3 3都是都是线性空间线性空间R R3 3 的一组基的一组基向量向量在这两组基下的坐标分别为在这两组基下的坐标分别为引理引理2 n2 n维线性空间维线性空间V V 的任意的任意n n个线性无关的向量个线性无关的向量x x1 1 ,x,x2 2,x xn n都可构成线性空间都可构成线性空间V V 的一组基。的一组基。证明证明 设设x x1 1,x,x2 2,x xn n 是是n n维线性空间维线性空间V V 的任意一组的任意一组线性无关的向量，线性无关的向量，x x是是V V的的任一向量，只要证明：任一向量，只要证明：设存在一组不全为设存在一组不全为0 0的数的数k k,l1 1,l2 2,ln n使使由于由于x x1 1,x,x2 2,x xn n 是线性无关的，故是线性无关的，故所以所以X X可由可由x x1 1,x,x2 2,x xn n是线性表示。是线性表示。X X可由可由x x1 1,x,x2 2,x xn n是线性表示即可是线性表示即可进而进而因此因此x x1 1,x,x2 2,x xn n可构成可构成V V 的一组基的一组基 推论推论1 1 在在n n维线性空间中，任意维线性空间中，任意m(mn)m(mn)个个向量必是线性相关的向量必是线性相关的 推论推论2 2 在在n n维线性空间中，任意两组基维线性空间中，任意两组基中所含的向量的数目相同。中所含的向量的数目相同。下面，讨论当线性空间的基改变时，向量的坐标下面，讨论当线性空间的基改变时，向量的坐标如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念。如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念。二、基变换与过渡矩阵二、基变换与过渡矩阵 x x1 1,x,x2 2,x xn n与与y y1 1,y,y2 2,y yn n是是n n维线性空间维线性空间V V的两组不同基。则由基的定义，有的两组不同基。则由基的定义，有称称P P是由基是由基x x1 1,x,x2 2,x xn n到基到基y y1 1,y,y2 2,y yn n的过渡的过渡矩阵。矩阵。记作：记作：其中其中过渡矩阵结论过渡矩阵结论(1)(1)过渡矩阵过渡矩阵P P是可逆矩阵；是可逆矩阵；同一向量在不同基下的坐标是不同的。设同一向量在不同基下的坐标是不同的。设得坐标变换公式得坐标变换公式(2)(2)设设P P是由基是由基x x1 1,x,x2 2,x xn n到基到基y y1 1,y,y2 2,y yn n的过的过渡矩阵，则渡矩阵，则P P-1-1是由基是由基y y1 1,y,y2 2,y yn n到基到基x x1 1,x,x2 2,x xn n的过渡矩阵。的过渡矩阵。由于基向量线性无关，则由于基向量线性无关，则例例5 5、求向量、求向量 在基在基x x1 1,x,x2 2,x,x3 3下的坐标下的坐标解法解法1 1：由由向量坐标的定义，可设：向量坐标的定义，可设：得得方程组方程组解方程组即可解方程组即可由自然基到基由自然基到基x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的过渡矩阵为的过渡矩阵为解法解法2 2：求得求得利用坐标变换公式，则基利用坐标变换公式，则基x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的坐标为的坐标为 1 1、定义：设、定义：设V V是一个线性空间，是一个线性空间，S S是是V V的一个子集，的一个子集，如果如果S S关于关于V V的加法及数乘也构成一个线性空间，则的加法及数乘也构成一个线性空间，则称称S S是是V V的一个子空间。记为的一个子空间。记为 定理定理 :线性空间线性空间V V的一个子集的一个子集S S是是V V的一个子空间的一个子空间当且仅当当且仅当S S关于关于V V的加法及数乘是封闭的，即的加法及数乘是封闭的，即说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为零子空间。零子空间。一、子空间与生成子空间一、子空间与生成子空间 设设x x1 1,x,x2 2,x xk k 是是线性空间线性空间V V的任意一组向量，的任意一组向量，则称所有则称所有x x1 1,x,x2 2,x xk k线性表示的集合构成的子空间线性表示的集合构成的子空间（可以验证其为（可以验证其为V V的子空间）为生成子空间，的子空间）为生成子空间，记记例例 在三维向量空间在三维向量空间R R3 3中，中，e e1 1,e,e2 2,e,e3 3是自然基。是自然基。则则 e e1 1,e,e2 2的生成子空间是的生成子空间是x x1 1-x-x2 2 平面；平面；e e2 2,e,e3 3的生成子空间是的生成子空间是x x2 2xx3 3 平面；平面；e e1 1,e,e3 3的生成子空间是的生成子空间是x x1 1xx3 3 平面；平面；2 2、生成子空间、生成子空间例例1、n元齐次方程组元齐次方程组 的解的集合构成线性空间，的解的集合构成线性空间，称为解空间，记为称为解空间，记为若若设设 则则即即称称 为为A的核空间，的核空间，A的核空间的维数称为的核空间的维数称为A的零度。的零度。例例2、矩阵、矩阵Amn的列空间：的列空间：矩阵矩阵A的列空间又称为的列空间又称为A的的值域，记为值域，记为设矩阵设矩阵则则有有生成子空间的维数生成子空间的维数 x x1 1,x,x2 2,x xk k 的任一极大无关组构成生成子空间的任一极大无关组构成生成子空间L L(x(x1 1,x,x2 2,x xk k )的基。的基。基的扩充定理基的扩充定理 n n维线性空间维线性空间V V 的任意一组线性无关的任意一组线性无关的向量的向量x x1 1,x,x2 2,x xr r 都可扩充为线性空间都可扩充为线性空间V V 的一组的一组基。（可用归纳法证明）基。（可用归纳法证明）记记dim L(xdim L(x1 1,x,x2 2,x xk k)=r )=r r r为向量组为向量组x x1 1,x,x2 2,x xk k的秩的秩.从而有：从而有：二、子空间的运算二、子空间的运算 设设S S1 1,S,S2 2 是线性空间是线性空间V V 的的两个子空间，定义子两个子空间，定义子空间的交空间与和空间（仍为空间的交空间与和空间（仍为V V的子空间）：的子空间）：例如，在线性空间例如，在线性空间R3中，中，v v1 1 表示过原点的直线表示过原点的直线L L1 1 上上所有所有向量形成的子空间，向量形成的子空间，v v2 2 表示另一条过原点的直线表示另一条过原点的直线L L2 2 上所上所有向量形成的子空间，则有向量形成的子空间，则是由原点（是由原点（L L1 1 与与L L2 2的交点）构成的零子空间；的交点）构成的零子空间；是由是由 L L1 1 与与L L2 2所决定的平面上全体向量构成的所决定的平面上全体向量构成的子空间。子空间。子空间的维数公式子空间的维数公式要证明要证明设设S S1 1,S,S2 2 是线性空间是线性空间V V的两个子空间，则的两个子空间，则证明证明记记将它分别扩充为将它分别扩充为S S1 1,S,S2 2的基的基x x1 1,x,x2 2,x xt t ,y,y1 1,y,y2 2,y,yr-t r-t 与与x x1 1,x,x2 2,x xt t ,z z1 1,z,z2 2,z zs-ts-t 事实上，取事实上，取 的一组基的一组基x x1 1,x,x2 2,x xt t,只需证明只需证明S S1 1+S+S2 2的基恰好是的基恰好是x x1 1,x,x2 2,x xt t ,y y1 1,y,y2 2,y,yr-t r-t,z z1 1,z,z2 2,z zs-ts-t 设设记记则则从而可设从而可设由由进而得进而得x=0,x=0,及及 故向量组故向量组x x1 1,x,x2 2,x xt t ,y y1 1,y,y2 2,y,yr-t r-t,z z1 1 ,z,z2 2,z zs-ts-t 线性无关，并构成线性无关，并构成S S1 1+S+S2 2的基。的基。得得由由x x1 1,x,x2 2,x xt t ,z z1 1,z,z2 2,z zs-ts-t 为为S S2 2的基知的基知例例3 3、求、求的交空间与和空间的维的交空间与和空间的维数与基数与基解解 由于由于并且并且是是的极大线性无关组，故的极大线性无关组，故是和空间是和空间L L的一组基。的一组基。由维数公式得交空间的维数是由维数公式得交空间的维数是1 1，现在要求交空间，现在要求交空间的一组基。的一组基。得出基础解系（得出基础解系（1 1，-4-4，3 3，-1-1）T T是交空间的一组基。是交空间的一组基。设设，则则解齐次线性方程组解齐次线性方程组则则例例4 4、设、设 的两个子空间为的两个子空间为试试将将 表示为生成子空间表示为生成子空间提示：首先将提示：首先将表示为生成子空间：表示为生成子空间：方程方程的的基础解系为基础解系为它们对应着它们对应着 的一组基：的一组基：即即从而从而求得求得5个矩阵对应的个矩阵对应的5个向量的一个极大无关组即可。个向量的一个极大无关组即可。设设S S1 1,S,S2 2 是线性空间是线性空间V V 的两个子空间，如果交空的两个子空间，如果交空间间=0=0，则称和空间为直和，记做，则称和空间为直和，记做三、子空间的直和三、子空间的直和 定定理理:设设S S1 1 ,S,S2 2是是线线性性空空间间V V的的两两个个子子空空间间，则则下下列列命命题等价题等价可唯一表示成可唯一表示成的任意元的任意元 （2 2）和空间）和空间为直和；为直和；（1 1）和空间）和空间（3 3）若）若 是是S S1 1的基，的基，是是S S2 2的基，的基，则则 是是的基。的基。命题命题 设设S S是是n n维线性空间维线性空间V V 的一个子空间，则存在子空的一个子空间，则存在子空间间T,T,使得使得并称并称T T是是S S的补空间。的补空间。证明：证明：设设x x1 1,x,x2 2,x xk k是是S S的一组基，则它可扩充为的一组基，则它可扩充为V V的一组基的一组基x x1 1,x,x2 2,x xk k，x xk+1k+1，,x xn n,令令则则从而从而说明：线性空间可做直和分解，但直和分解不是惟一的。说明：线性空间可做直和分解，但直和分解不是惟一的。