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第第3章章 线性离散系统数学描述线性离散系统数学描述 本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法，本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法，它们是分析和设计数字控制系统的基础。它们是分析和设计数字控制系统的基础。3.1 引言引言 离散系统（离散系统（Discrete system），），又称离散时间系统又称离散时间系统（Discrete-time system)。本章研究本章研究线性定常线性定常离散系统的离散系统的数学描述数学描述及及求解方法求解方法，这是分析和综合数控系统的基础。，这是分析和综合数控系统的基础。数数学学模模型型 连续系统连续系统 离散系统离散系统微分方程微分方程 差分方程差分方程脉冲过渡函数脉冲过渡函数 脉冲响应脉冲响应S传递函数传递函数 Z传递函数传递函数状态空间表达式状态空间表达式 离散状态空间表达式离散状态空间表达式主要内容：主要内容：线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换；线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换；线性定常离散系统的求解方法。线性定常离散系统的求解方法。3.2 线性常系数差分方程线性常系数差分方程(时域表达式时域表达式)Difference equation3.2.1 差分方程表达式差分方程表达式连续定常系统的连续定常系统的n阶微分方程阶微分方程（mn）第二种形式：称为（第二种形式：称为（n，m)阶差分方程，其中阶差分方程，其中mn，是在输入是在输入输出的最低阶上统一。输出的最低阶上统一。第一种形式：表示第一种形式：表示y(kT)与本时刻及前与本时刻及前m个时刻输入、前个时刻输入、前n个个时刻时刻 的输出有关，称为的输出有关，称为n阶常系数差分方程，是在输入输出阶常系数差分方程，是在输入输出的最高阶上统一。的最高阶上统一。3.2.2 差分方程解差分方程解=通解通解+特解特解通解通解是齐次方程的解，是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力为零输入解，代表系统在无外力作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。特解特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解，是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解，反映了系统在外作用下的强迫运动反映了系统在外作用下的强迫运动。差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。解法一：解法一：递推法递推法从初始值递推求解从初始值递推求解解法二：解法二：解析法解析法差分方程通解求法差分方程通解求法特解求法特解求法试探法，略试探法，略对照：连续系统微分方程解析法求通解对照：连续系统微分方程解析法求通解3.3 脉冲响应与卷积和脉冲响应与卷积和Impulse response convolution summation*(t)离散系统离散系统*(t)h*(t)h*(t)tt反过程：已知离散系统的阶跃响应反过程：已知离散系统的阶跃响应y(k)，可求得离散可求得离散系统的脉冲响应系统的脉冲响应h(k)为为3.4 Z变换变换3.4.1 Z变换定义变换定义注：若两个信号具有相同的采样点，则其注：若两个信号具有相同的采样点，则其Z变换相同。变换相同。Z变换存在必须满足收敛性，即上式极限存在。变换存在必须满足收敛性，即上式极限存在。3.4.2 求求Z变换变换1 级数求和法级数求和法根据根据Z变换定义变换定义2 部分分式法部分分式法已知连续信号已知连续信号f(t)的的L氏变换氏变换F(s)，若可分解为部分分式，若可分解为部分分式，则由则由Z变换表求变换表求F(z)。3 留数计算法留数计算法3.4.3 Z变换性质变换性质3 移位定理移位定理回顾：拉氏变换的重要性质回顾：拉氏变换的重要性质线线性性叠叠加加定定理理实实 微微 分分 定定 理理实实 积积 分分 定定 理理复复 微微 分分 定定 理理复复 积积 分分 定定 理理实实 位位 移移 定定 理理复复 位位 移移 定定 理理周周 期期 函函 数数相相似似变变换换初初值值定定理理终终值值定定理理实实 卷卷 积积 定定 理理复复 卷卷 积积 定定 理理3.4.4 Z反变换反变换3.4.5 用用Z变换法解差分方程变换法解差分方程（应用移位定理）（应用移位定理）3.5 脉冲传递函数脉冲传递函数Z传函传函（Pulse transfer function）3.5.1 定义定义3.5.2 求求Z传递函数传递函数1 已知差分方程，求已知差分方程，求Z传函。传函。2 已知脉冲响应已知脉冲响应h*(t)，求求Z传函。传函。3 已知系统的传递函数已知系统的传递函数G(s)，求求Z传函（部分分式法）。传函（部分分式法）。注意，由注意，由Z变换的定义可知，变换的定义可知，Z变换与采样周期变换与采样周期T 密切密切相关，在计算中必须考虑相关，在计算中必须考虑T 的影响。的影响。3.5.3 脉冲传递函数中脉冲传递函数中Z的意义的意义数值积分问题数值积分问题 所谓的差分，即是两相邻采样点输出值之间的差异，所谓的差分，即是两相邻采样点输出值之间的差异，对应着数值微分（求导）的近似求法：对应着数值微分（求导）的近似求法：采样周期采样周期T 越小，数值积分越接近连续积分；越小，数值积分越接近连续积分；0 T 2T 3T tu(t)1 前向矩形积分前向矩形积分 0 T 2T 3T tu(t)2 后向矩形积分后向矩形积分对应的数值微分的近似求法对应的数值微分的近似求法后向差分后向差分3 梯形积分梯形积分-T 0 T 2T 3T tu(t)-T 0 T 2T 3T tu(t)3.6 离散状态空间表达式（时域描述）离散状态空间表达式（时域描述）3.6.1 一般表达式一般表达式 对于一定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但变对于一定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但变量的数目应该是相等的。量的数目应该是相等的。式中式中 n阶状态向量阶状态向量x(k)，是表征系统内部状态特性的是表征系统内部状态特性的一组变量，一组变量，n个变量说明系统是个变量说明系统是n阶的。阶的。z-1ADCB+u(k)x(k+1)x(k)y(k)图图3-6-2 离散系统状态空间描述离散系统状态空间描述3.6.2 由差分方程求状态空间表达式由差分方程求状态空间表达式 只讨论单输入单输出由差分方程描述的只讨论单输入单输出由差分方程描述的n阶离散系统。阶离散系统。3.6.3 特征方程特征方程 同一系统可以选择不同的状态变量，但其特征方程同一系统可以选择不同的状态变量，但其特征方程不变。不变。3.6.4 传递矩阵传递矩阵3.6.5 离散状态方程求解离散状态方程求解1 递推法求解递推法求解2 Z变换求解变换求解思考与练习思考与练习