平面图形的镶嵌01.ppt
有些地板的拼有些地板的拼合图案如右图，它合图案如右图，它是用正方形的地砖是用正方形的地砖铺成的，为什么用铺成的，为什么用这样形状的地砖能这样形状的地砖能铺成无缝隙的地板铺成无缝隙的地板呢？呢？这些图形在拼接时有什么特点这些图形在拼接时有什么特点?观察思考观察思考如果你是设计师，如果你是设计师，让你设计几种地板让你设计几种地板图案，你如何设计图案，你如何设计呢？呢？用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖。从数学角度看，这些工作就是全部覆盖。从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边多边形覆盖平面形覆盖平面（或（或平面镶嵌平面镶嵌）的问题。）的问题。用形状和大小完全相同的一种或几种用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密密铺铺，又称平面图形的，又称平面图形的镶嵌镶嵌.平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）定定 义义:特别注意：特别注意：多边形能进行平面镶嵌的条件：多边形能进行平面镶嵌的条件：1 1、形状、大小完全相同的一种或几种、形状、大小完全相同的一种或几种平面图形；平面图形；拼接在同一点的各个角的度拼接在同一点的各个角的度数和是数和是360360。2 2、无空隙、不重叠铺成一片。要求、无空隙、不重叠铺成一片。要求相相邻的多边形有公共边。邻的多边形有公共边。必记内容必记内容用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？探究探究606060606060 每个顶点由每个顶点由6个正三角形依次环绕而成个正三角形依次环绕而成 （3，3，3，3，3，3）（1 1）正三角形的平面镶嵌正三角形的平面镶嵌形状、大小完全相同的任意三角形形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形：能镶嵌成平面图形：小结小结1.任意全等的三角形都任意全等的三角形都_密铺。密铺。2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，个角，而这而这_个角的和恰好是这个三个角的和恰好是这个三角形的内角和的角形的内角和的_倍，也就是倍，也就是它们的和为它们的和为_。可以可以六六六六两两360360o o用形状、大小完全相同的四边形能否密铺？探究探究90（2 2）正方形的平面镶嵌正方形的平面镶嵌 每个顶点由每个顶点由4个正方形依次环绕而成个正方形依次环绕而成 （4，4，4，4）909090 2.2.正六边形能密铺吗？说说理由。正六边形能密铺吗？说说理由。1.1.正五边形能密铺吗？说说理由。正五边形能密铺吗？说说理由。3.3.还能找到能密铺的其他图形吗？还能找到能密铺的其他图形吗？思考思考正五边形可以密铺吗？正五边形可以密铺吗？123？正五边形的每个正五边形的每个内角为内角为108度，度，故故1083=324？=360-324=36正六边形可以密铺吗？正六边形可以密铺吗？120 120 120 每个顶点由每个顶点由3个正六边形依次环绕而成个正六边形依次环绕而成 （6，6，6）（3 3）正六边形的平面镶嵌正六边形的平面镶嵌 理一理理一理6 6 6060 0 0 9090 0 0 108108 0 0 120120 0 04 43 33 3能拼好能拼好能拼好能拼好不能不能拼拼好好有缺口有缺口能拼好能拼好60 6=360 0 0 0 090 4=360 0 0 0 0108 3360 0 0 0 0120 3=360 0 0 0 0实实 验验 结结 果果正正n n边形边形拼图拼图每个内角度数每个内角度数 多边形个数多边形个数结果结果 n=3n=3 n=4n=4 n=5n=5 n=6n=6对于给定的某种正多边形，它能否对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点平地面的正多边形的内角特点.当围绕当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角加在一起恰好组成一个周角360时，时，就铺成一个平面图形就铺成一个平面图形.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360360，在正多边形里，正三角形的每个内角，在正多边形里，正三角形的每个内角都是都是6060，正四边形的每个内角都是，正四边形的每个内角都是9090，正，正六边形的每个内角都是六边形的每个内角都是120120，这三种多边形，这三种多边形的一个内角的倍数都是的一个内角的倍数都是360360，而其他的正多，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是边形的每个内角的倍数都不是360360，所以说：，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺多边形不可密铺 还能找到能密铺的其他正多边形吗？还能找到能密铺的其他正多边形吗？思考思考归纳归纳1 1、可以用同一种正多边形密铺的图、可以用同一种正多边形密铺的图形只有形只有正三角形，正四边形，正六边正三角形，正四边形，正六边形形.2 2、用一种形状、大小完全相同的任、用一种形状、大小完全相同的任意意三角形三角形，任意，任意四边形四边形也能进行平也能进行平面镶嵌。面镶嵌。归纳:2 2、注意、注意:只用只用正五边形、正正五边形、正八边形八边形一种图形不能一种图形不能镶嵌镶嵌.1、拼接在同一个点的各个角拼接在同一个点的各个角的和等于的和等于360度度1 1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是(）A.A.三角形三角形 B.B.正方形正方形 C.C.任意四边形任意四边形 D.D.正八边形正八边形2 2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（个顶点周围的正方形的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.63 3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有一个正多边形的每一个顶点周围都有6 6个正多边形，个正多边形，则该正多边形的边数为（则该正多边形的边数为（）A.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.6DBA练习练习用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?探究探究知识归纳：知识归纳：多边形能进行平面镶嵌的条件：多边形能进行平面镶嵌的条件：1 1、形状、大小完全相同的一种或几种、形状、大小完全相同的一种或几种平面图形；平面图形；拼接在同一点的各个角的度拼接在同一点的各个角的度数和是数和是3603600 0。2 2、无空隙、不重叠铺成一片。、无空隙、不重叠铺成一片。相邻的相邻的多边形有公共边。多边形有公共边。解得：解得：仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为要求在公共顶点上所有内角和为360360度。令正多边形度。令正多边形的边数为的边数为n,n,个数为个数为m,m,则有则有课外延伸
