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逻辑学0 引论1 逻辑学的对象 n n1.1 逻辑的定义 n n“逻辑”一词是英语“logic”的音译。它来源于古希腊语“”（逻各斯）。n n在现代汉语中，“逻辑”是个多义词。n n逻辑学是一个相当庞大而又多层次的学科系统。n n逻辑学是研究思维的逻辑形式及其基本规律和简单逻辑方法的科学。n n1.2 什么是“思维”n n感性认识阶段 n n理性认识阶段 n n概念、命题、推理 n n思维有两个基本特征：一是思维具有概括性，二是思维具有间接性。n n思维对客观事物的反映是借助于语言来实现的。n n逻辑主要研究思维的逻辑形式 n n以命题为例：以命题为例：n n （l l）所有商品都是有价值的。）所有商品都是有价值的。n n （2 2）所有金属都是导电体。）所有金属都是导电体。n n （3 3）所有科学知识都是从实践中发源的。）所有科学知识都是从实践中发源的。n n 共同逻辑形式就是：共同逻辑形式就是：n n 所有所有S S都是都是P Pn n思维的基本规律有三条，即：同一律、矛盾律、思维的基本规律有三条，即：同一律、矛盾律、排中律排中律 n n还研究一些逻辑方法还研究一些逻辑方法 2 学习逻辑学的意义 n n2.1 逻辑学的性质 n n 工具性的科学 n n2.2 学习逻辑的意义n n(1)有助于人们正确地认识事物，获取新知识。n n(2)有助于人们准确地表达思想，严格地论证思想。n n(3)有助于人们识别、驳斥谬误与诡辩。n n(4)有助于人们学习和掌握其他各门科学知识。n n(5)有助于提高人们的办事效率。n n2.3 怎样学习逻辑学n n明确学习的目的，提高学习的自觉性和积极性。n n在理解和掌握基本的逻辑概念和逻辑理论上下功夫。n n要注意多练、多用。3 逻辑简史 n n3.1 逻辑学的产生 n n中国 墨家 墨经提出了“以名举实，以辞抒意，以说出故”的思想 n n古代印度的逻辑学说，名曰“因明”。n n 宗：此山有火n n 因：此山有烟n n 喻：凡有烟的地方都有火n n 例如厨房n n古代希腊是逻辑学的主要诞生地。古希腊哲学家亚里士多德。他著有：范畴篇、解释篇、前分析篇、后分析篇、论辩篇和辩谬篇，后来合称工具论。亚里士多德的逻辑，由于是以对概念（即词项）的研究为基础的，所以，现在人们把它称为“词项逻辑”。n n3.2 逻辑学的发展n n 古希腊斯多噶学派 “命题逻辑”n n17世纪，英国哲学家弗兰西斯培根提出了科学归纳法。新工具。“三表法”和“排除法”。所谓“三表”，就是“存在和具有表”、“差异表”、“程度表”。通过这些表，把观察到的事物现象加以整理和排列。所谓“排除”，就是从三表中把那些不相干的性质舍弃掉，进而找到事物之间的因果联系，发现事物的一般规律。英国哲学家约翰穆勒继承并发展了培根的归纳逻辑。n n17世纪末，德国哲学家莱布尼兹就提出了用数学方法处理演绎逻辑、把推理变成逻辑演算的光辉思想，因而他成为数理逻辑（即现代形式逻辑）的奠基人。n n英国数学家布尔建立了“逻辑代数”（即布尔代数）。n n弗雷格、罗素和怀德海等人建立了命题演算和谓词演算这样两个数理逻辑基础演算，使数理逻辑进一步系统和完善起来，发像成为一门新兴的学科。n n18世纪到19世纪，德国古典哲学家康德、黑格尔等人也曾研究了逻辑问题。n n黑格尔批评了旧逻辑中的形式主义和形而上学，用极大的精力研究了人类辩证思维的形式和规律，在逻辑史上提出了第一个辩证逻辑的体系。1 复合命题及其推理 命题是反映思维对象的思想形态。思想是用语言表达的，命题的语言形式是陈述句。命题的真假。命题的种类：简单命题和复合命题。1.1 复合命题n n1.11 联言命题n n联言命题是陈述若干事物情况同时存在的命题。n n p并且qn n p q（p 合取 q）p q p q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假112 选言命题 n n选言命题分为两种：相容选言命题和不相容选言命题。n n（一）相容选言命题n n 相容选言命题是陈述选言支中至少有一真的选言命题。n n p或者qn n p q（p 析取 q）p q p q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假n n（二）不相容选言命题（二）不相容选言命题 不相容选言命题是陈述选言支中有而且仅有一不相容选言命题是陈述选言支中有而且仅有一真的选言命题。真的选言命题。n n具有两个选言支的不相容选言命题，其命题形式具有两个选言支的不相容选言命题，其命题形式为：为：n n 要么要么p p要么要么q q n n p q p q（p p 严格严格析取析取 q q）p q p q 真 真 假 真 假 真 假 真 真 假 假 假n n113 假言命题 n n假言命题是陈述某一事物情况是另一事物情况的条件的命题。n n假言命题由两个支命题组成，其中位于前面表示条件的支命题叫做前件，位于后面表示依赖条件而成立的支命题叫做后件。n n（一）充分条件假言命题n n 充分条件假言命题是指前件是后件的充分条件的假言命题。充分条件是指：前件（p）存在，后件（q）必存在，即有p必有q。n n 如果p，那么q n n p q（p 蕴涵 q）p q p q 真 真 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真n n（二）必要条件假言命题n n 必要条件假言命题是指前件是后件的必要条件的假言命题。必要条件是指：前件（q）不存在，后件（q）必不存在，即无q必无q。n n 只有p，才q n n p q（p 逆蕴涵 q）p q p q 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真n n充分条件命题与必要条件命题之间的转换n n1.“如果p，那么q”等值于“只有q，才p”n n（p q）（q p）n n2.“只有p，才q”等值于“如果非p，那么非q”n n（p q）（p q）n n（三）充分必要条件假言命题n n 充分必要条件假言命题是指前件是后件的充分必要条件的假言命题。充分必要条件就是同时具有充分条件和必要条件的含义，即前件（P）存在，后件（q）必存在；前件（p）不存在，后件（q）必不存在。n n p当且仅当qn n p q（p 等值 q）p q p q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 真n n114负命题n n 负命题是否定一个命题所得到的命题。n n 命题形式为：n n 并非p n n p p p p p 真真 假假 假假 真真n n每个负命题都有与其对应的等值命题。n n 下面分别介绍复合命题的负命题及其相对应的等值命题。n n（一）联言命题的负命题及其相对应的等值命题n n“并非（p并且q）”等值于“非p或者非q”n n用符号表示则为：n n （p q）（p q）n n（二）相容选言命题的负命题及其相对应的等值命（二）相容选言命题的负命题及其相对应的等值命题题 n n“并非（并非（p p或者或者q q）”等值于等值于“非非p p并且非并且非q”q”n n用符号表示则为：用符号表示则为：n n （p p q q）（p p q q）n n（三）不相容选言命题的负命题及其相对应的等值（三）不相容选言命题的负命题及其相对应的等值命题命题n n“并非（要么并非（要么p p，要么，要么q q）”等值于等值于“（p p并且并且q q）或）或者（非者（非p p并且非并且非q q）”n n（p p q q）（p p q q）（p p q q）n n（四）充分条件假言命题的负命题及其等值命题 n n“并非（如果p那么q）”等值于“p并且非q”n n（p q）（p q）n n（五）必要条件假言命题的负命题及其等值命题n n“并非（只有p才q）”等值于“非p并且q”n n（p q）（p q）n n（六）充分必要条件假言命题的负命题及其等值命题 n n“并非（p当且仅当q）”等值于“（p并且非q）或者（非p并且q）”n n（p q）（p q）（p q）n n（七）负命题的负命题及其等值命题n n 并非并非“p”等值于“p”n n p p 12 复合命题的推理 n n 推理分成演绎推理和归纳推理两大类。上一章提到过必然性推理和或然性推理，演绎推理是必然性推理，归纳推理是或然性推理。必然性推理的特点是由真前提必然得出真结论。或然性推理的特点是前提真结论不必然真。n n 本章讲的复合命题推理是演绎推理，它是根据复合命题的逻辑性质进行推演的。复合命题推理主要有联言推理、选言推理、假言推理和二难推理。n n121 联言推理n n 联言推理就是前提或结论为联言命题，并根据联言命题的逻辑性质进行推演的复合命题推理。n n1分解式n n p并且q p并且qn n 所以，p 或 所以，q n n（p q）p （p q）q 2合成式n n Pn n q （p，q）p qn n 所以，p并且q n n122选言推理n n 选言推理是前提中有一个选言命题，并根据选言命题的逻辑性质进行推演的复合命题推理。n n（一）相容选言推理n n 相容选言推理是以相容选言命题为前提进行推演的选言推理。n n相容选言推理有以下两条规则：n n（1）否定一部分选言支就要肯定另一部分选言支。n n（2）肯定一部分选言支不能否定另一部分选言支。n n否定肯定式 n n p或者q p或者qn n 非p 或 非qn n 所以，q 所以，p n n （p q）p qn n（二）不相容选言推理n n 不相容选言推理是以不相容选言命题为前提进行推演的选言推理。n n不相容选言推理有以下两条规则：n n（1）肯定其中一个选言支就要否定其他选言支。n n（2）否定一部分选言支就要肯定其中一个选言支。n n1 1肯定否定式肯定否定式 n n 要么要么p p要么要么q q 要么要么p p要么要么q qn n p p 或或 q qn n 所以，非所以，非q q 所以，非所以，非p pn n（p qp q）p p q qn n（p qp q）q q p pn n2 2否定肯定式否定肯定式 n n 要么要么p p要么要么q q 要么要么p p要么要么q qn n非非p p 或或 非非q qn n 所以，所以，q q 所以，所以，p pn n（p qp q）p p q qn n（p qp q）q q p p123 假言推理n n（一）充分条件假言推理n n 充分条件假言推理是前提中有一个充分条件假言命题进行推演的假言推理。n n充分条件假言推理有以下的规则：n n（1）肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。n n （2）否定前件不能否定后件，肯定后件不能肯定前件。n n1肯定前件式 n n 如果p，那么qn n Pn n 所以，q n n （p q）p qn n2否定后件式 n n 如果p，那么qn n 非qn n 所以，非p n n （p q）q pn n（二）必要条件假言推理n n 必要条件假言推理是前提中有一个必要条件假言命题进行推演的假言推理。n n必要条件假言推理有以下规则：n n（1）否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件。n n（2）肯定前件不能肯定后件，否定后件不能否定前件。n n1否定前件式 n n 只有p，才qn n 非Pn n 所以，非qn n（p q）p qn n2肯定后件式 n n 只有p，才qn n qn n 所以，pn n（p q）q pn n（三）充分必要条件假言推理n n 充分必要条件假言推理是前提中有一个充分必要条件假言命题进行推演的假言推理。n n充分必要条件假言推理有以下规则：n n（1）肯定前件就要肯定后件，肯定后件就要肯定前件。n n（2）否定前件就要否定后件，否定后件就要否定前件。n n充分必要条件假言推理就有四种有效的推理形式。n n 1肯定前件式。n n p当且仅当qn n Pn n 所以，q n n（p q）p qn n（p q）q pn n（p q）p qn n（p q）q p124 二难推理 n n二难推理是一种假言选言推理。这种推理的第一个前提包含两个并列的充分条件假言命题，第二个前提是一个含有两个选言支的选言命题。n n（一）二难推理的推理形式 n n二难推理有两种推理形式：肯定式和否定式。n n 1肯定式n n 如果p那么qn n 如果r那么sn n p或者rn n 所以，q或者s（p q）（r s）（p r）（q s）（p r）（q r）（p q）rn n2否定式n n 如果p那么qn n 如果r那么sn n 非 q或者非 sn n 所以，非p或者非 r（p q）（r s）（q s）（p r）（p q）（p r）（q r）pn n（二）破斥二难推理的方法n n 破斥二难推理的方法，通常有三种：n n 1指出该二难推理的推理形式无效 n n 2指出该二难推理的前提不真实 n n 3提出一个与原二难推理结论相反的二难推理 2 命题演算 n n21 命题演算基础知识n n211 命题 命题公式 n n复合命题是由命题和命题联结词构成的。最基本的命题联结词有五个：否定（）、析取（）、合取（）、蕴涵（）、等值（）。按照习惯用法，命题联结词的结合力依下面顺序递弱：n n 、n n运用命题联结词将命题变项结合起来，可以构成各种各样的符号式。只有符合下面要求的符号式才是有意义的，有意义的符号式又称为命题公式或合式公式，简称为公式。n n 1命题变项是公式。n n 2如果A和B是公式，那么A，AB，n n AB，AB以及AB都是公式。n n 3只有按照以上两点组成的符号式才是n n 公式。n n重言式 n n可满足公式 n n矛盾式 n n（一）真值表法 n n 构造真值表和判定的方法如下：n n 1列出命题变项各种可能的真假组合情况。n n 2将被判定的公式分解为各个组成部分，按照从左至右、由简到繁的顺序排列出来，而被判定的公式列在最后。n n3根据五个基本真值表，依次给出表中所有公式的真值。n n4根据表中最右边一列的值来判定。如果这一列的值均为真，则该公式是重言式，否则就不是重言式。n n（二）简化真值表法 n n 1列出被判定的公式。n n 2假定该公式为假，在公式的主联结词下面标上表示假值的符号，如假、F、0等。n n 3根据五个基本真值联结词的真值表，从后到前，从支命题到命题变项，依次对公式中的各部分公式赋值。n n n n4检查赋值中是否出现矛盾。如果其中有一个变项既取真值又取假值，即出现pp这种形式的逻辑矛盾，证明被判定的公式不可能为假，只能为真，即该公式为重言式；反之，如果没有出现矛盾，证明被判定的公式在某种赋值情况下为假，因此，该公式不是重言式。n n（三）真值树法 n n在使用真值树法之前，应先会使用以下等值变换公式：n n （1）p pn n （2）pq pq n n （3）（pq）pqn n （4）（pq）pqn n （5）（pq）pqn n （6）（pq）（pq）n n （pq）n n具体方法如下：n n 1写出被判定的蕴涵式。n n 2列出该蕴涵式的前件。假如前件是一合取式，则要把合取支分行列出。n n 3列出被判定的蕴涵式的后件的否定。n n 4把分行列出的子公式按以下规定拆成命题变项或命题变项的否定。n n （1）如果被拆公式是合取式，去掉合取n n符号，将合取支写成竖行，并用竖线相联。n n （2）如果被拆公式是析取式，去掉析取符号，将析取支并列写出，并用线把它们同上行的公式相联。n n （3）如果被拆公式是否定式、蕴涵式或等值式，则按前面6个等值变换式将其变成析取式或合取式，按上面的方法列出。n n5自下而上考察各个“叉”。如果发现同一枝叉上出现矛盾，即出现某变项及其否定。则在其下端记上*，表示这个枝叉已经封闭。假如所有的枝叉都是封闭的，说明被判定的公式是重言式，如果还有枝叉未封闭，则说明被判定的公式不是重言式。三、范式和优范式 n n“范式”，就是仅由命题变元及其否定使用合取和析取所构成的公式。n n范式有两种，一种是合取范式，一种是析取范式。n n合取范式是一合取式，其支命题都是简单析取。n n 简单析取是其支命题是一个命题变项或者一个命题变项的否定的析取式。n n 一简单析取式是否为重言式可以用非常简单的方法进行判断。一个简单析取式是重言式，当且仅当它至少含有一个变项以及这个变项的否定为其析取支。n n合取范式是运用合取逻辑联结词将若干个简单析取式组合起来而构成的。n n合取范式可用来判定一公式是否为重言式。一个合取范式是重言式，当且仅当构成这一合取范式的每个简单析取式都是重言式。n n由于简单析取不能判定矛盾式，所以，合取范式不能用来判定矛盾式。n n析取范式是一析取式，其支命题都是简单合取。n n简单合取是其支命题是一个命题变项或者一个命题变项的否定的合取式。n n一简单合取式是否为矛盾式可以用非常简单的方法进行判断。一个简单合取式是矛盾式，当且仅当它至少含有一个变项以及这个变项的否定为其合取支。n n析取范式是运用析取逻辑联结词将若干个简单合取式组合起来而构成的。n n析取范式可用来判定一公式是否为矛盾式。一个析取范式是矛盾式，当且仅当构成这一析取范式的每个简单合取式都是矛盾式。n n范式存在定理就是：命题逻辑中的任何一个合式公式都有与之等值的合取范式和析取范式。n n范式存在定理可以这样来证明。只要将命题公式中的蕴涵、等值、双重否定以及非命题变项的否定等值替换为合取、析取以及命题变项的否定，那么可将任一公式变成与其等值的范式。事实上，根据下面等值式，可以将任一公式变为范式，这些等值式是：n n（1）双重否定律 p pn n（2）蕴涵律 p q p qn n（3）等值消除律（p q）（p q）n n （p q）n n（4）德摩根律 （p q）p qn n （p q）p qn n （5）分配律 p（q r）n n （p q）（p r）n n p（q r）n n （p q）（p r）n n 具体方法如下：n n 第一，运用蕴涵律和等值消除律消除公式中的蕴涵和等值符号。n n 第二，运用德摩根律和双重否定律将否定符号内移或消除。n n 第三，运用分配律得到合取范式和析取范式。n n优范式是具有唯一性的范式，分为优合取范式和优析取范式。n n 一个范式是优范式，必须满足下面的条件：n n （1）须是简化合取范式或简化析取范式。n n （2）范式中每个子公式都应包含该公式的所有命题变项。n n （3）命题变项及其否定按字母顺序排列，其顺序一般如下：n n p，p，q，q，r，r n n求优范式的方法如下：n n （1）先求该公式的简化范式；n n （2）根据两条重言等值式展开；n n p（q q）pn n p（q q）pn n把不包含某一命题变项的子公式置换为含有该命题变项的子公式，并且消去重复的子公式。n n （3）把命题变项及其否定，以及简单范式按字母顺序排列。命题逻辑自然推理系统 n n（一）形式语言n n 1初始符号。n n（1）命题变项：p，q，r，s，p1，n n （2）联结词：否定，析取，合取，蕴涵，等值。n n （3）辅助符号：（，）。n n2形成规则。n n （1）命题变项是合式公式。n n （2）如果A是合式公式，则A是合式公式。n n （3）如果A和B是合式公式，那么AB，AB，AB，AB也都是合式公式。n n （4）只有符合以上三条的是合式公式。n n（二）推理规则n n（1）假设引入规则（p）n n 可按推演需要随时引入一个假设 A为前 提。n n（2）重复规则n n 先前已出现的前提可在以后的证明过程中重复引用。n n（3）合取引入规则（）n n 从A和B可推出A B。n n（4）合取消除规则（）n n 从A B中可推出A，也可推出B。n n（5）析取引入规则（）n n 由A或由B可推出A B。n n（6）析取消除规则（）n n 设C为求证的公式，A B为前提。假如能证明从A可推出C，从B也可以推出C，则C得证。n n（7）蕴涵引入规则（）：在一个前提集合P的基础上加进一个假设，而推出B，那么从这个前提集合可以推出A B。（8）蕴涵消除规则（）n n 从A和A B可得B。n n（9）等值引入规则：（）n n 从A B和B A可推出A B。n n（10）等值消除规则（）n n 从A B可推出A B或B A。n n（11）否定引入规则（）n n 在给定前提下，引入假设A，由此推出B和 B。那么原来的前提可推出 A。（12）否定消除规则（）n n 从 A可推出A。n n（三）定理的证明 23 命题逻辑公理系统P n n（一）初始符号（一）初始符号n n1 1p p，q q，r r，s s，p p1 1，q q1 1，n n2 2，。n n3 3（，）。（，）。n n（二）形成规则（二）形成规则n n1 1一个表示命题变项的初始符号一个表示命题变项的初始符号 是合式公式。是合式公式。n n 2 2如果符号序列如果符号序列A A是合式公式，那么是合式公式，那么 A A是合是合式公式。式公式。n n3如果符号序列A和B是合式公式，那么A B是合式公式。n n4只有符合上面三条的符号序列是合式公式。n n（三）定义n n 定义1：AB df （A B）n n 定义2：ABdf A Bn n 定义3：AB df（A B）（B n n A）n n（四）公理n n 公理1：p p Pn n 公理 2：p p qn n 公理3：p q q pn n 公理4：（q r）（p q p n n r）n n（五）推理规则n n 1代入规则。将合式公式A中出现的某初始符号全部代以某一合式公式 B，从而得到合式公式 A（B），即从 A可得 A（B）。n n 2分离规则。从A和A B可推出B。n n 3定义置换规则。定义两边的定义项可互相替换。n n 以上是P系统的出发点。n n（五）定理的证明n n 导出规则 24 命题演算的一致性和完全性 n n（一）命题演算的一致性 n n1一致性的语义定义：命题演算是语义一致的，其系统内的定理都是重言式。n n2一致性的语法定义：命题演算是语法一致的，并非任一公式在其中可证。n n3一致性的古典定义：命题演算是古典意义下一致的，不存在任何公式A，A与非A皆可证。（二）命题演算的完全性 n n1完全性的语义定义：所有重言式在命题演算中都是可证的。n n2完全性的语法定义：命题演算是语法完全的，如果一不可证的公式作为公理，会使系统不一致。n n2.5 命题逻辑的非形式证明3 直言命题及其推理 n n31 词项与概念n n 谓词逻辑要对简单命题的结构作出分析，简单命题是由词项构成的，词项是表达概念的语词，在简单命题中词项就是充当主项和谓项的概念，因此说，谓词逻辑分析的最小单位是词项。n n概念是反映对象固有属性的思想形态。n n任何概念都是由语词表达的。概念是语词的思想内容，语词是概念的语言表达形式。n n概念和语词也有不对应的方面。n n第一，并非所有语词都表达概念。n n第二，同一个概念可以用不同的语词表达。n n第三，同一个语词可以表达不同的概念。n n311 概念的内涵和外延n n 概念反映对象的固有属性，也就反映了具有这些固有属性的个体对象。n n概念的内涵就是反映在概念中的对象的固有属性。n n概念的外延就是反映在概念中的具有固有属性的个体。n n概念的内涵与外延之间存在反变关系：一个概念的内涵越多，其外延越窄；一个概念的外延越宽，其内涵越少。n n3 12 概念的种类n n 依据概念在内涵或外延方面的特征，概念可分成不同的类型。n n（一）单独概念与普遍概念n n（二）集合概念与非集合概念n n（三）正概念与负概念 n n3 13 概念外延间的关系n n（一）全同关系 n n（二）真包含关系n n（三）真包含于关系 n n 属种关系 n n（四）交叉关系 n n（五）全异关系n n 反对关系n n 矛盾关系 n n33 直言命题n n331 直言命题的结构和种类n n（一）直言命题的结构n n直言命题由四个部分组成：主项、谓项、联项和量项。n n主项是直言命题中表示对象的概念。n n谓项是直言命题中用以表示对象的性质的概念。n n联项是联接主项和谓项的概念：肯定的和否定的。n n量项是直言命题中表示主项数量的概念：全称、特称和单称。n n（二）直言命题的种类 n n 全称肯定命题 所有S都是P SAPn n 全称否定命题 所有S都不是P SEPn n 特称肯定命题 有的S是P SIP n n 特称否定命题 有的S不是P SOP n n 单称肯定命题 这个S是Pn n 单称否定命题 这个S不是P s s p p P P s s A A 真真 真真 假假 假假 假假 E E 假假 假假 假假 假假 真真 I I 真真 真真 真真 真真 假假 O O 假假 假假 真真 真真 真真spspspn n A 反 对 关 系 E n n 差 差n n 矛 矛n n 等 盾 盾 等n n n n 关 关 关 关n n 系 系n n 系 系 n n I 下 反 对 关 系 O 主项 谓项 A A 周延 不周延 E E 周延 周延 I I 不周延 不周延 O O 不周延 周延n n35 直言命题的负命题 n n（一）“并非所有S是P”等值于“有的S不是P”n n（二）“并非所有S不是P”等值于“有的S是P”n n（三）“并非有的S是P”等值于“所有S不是P”n n（四）“并非有的S不是P”等值于“所有S是P”n n（五）“并非这个S是P”等值于“这个S不是P”n n（六）“并非这个S不是P”等值于“这个S是P”34 直言命题的推理3 41 对当关系推理 n n（一）从一个命题真推出另一个命题假（一）从一个命题真推出另一个命题假 n n根据矛盾关系进行推演根据矛盾关系进行推演 SAPSAPSOPSOPn n SEP SEP SIP SIPn n SIP SIP SEP SEPn n SOP SOP SAP SAPn n根据反对关系进行推演根据反对关系进行推演n n SAP SAP SEP SEPn n SEP SEP SAP SAPn n（二）从一个命题真推出另一个命题真n n根据差等关系进行推演n n SAPSIPn n SEPSOPn n（三）从一个命题假推出另一个命题假n n根据差等关系进行 n n SIPSAPn n SOPSEPn n（四）从一个命题假推出另一个命题真n n 根据矛盾关系进行推演 n n SAP SOPn n SEP SIPn n SIP SEPn n SOP SAPn n 根据下反对关系进行推演n n SIP SOPn n SOP SIPn n342 命题变形推理n n（一）换质法n n 换质法就是通过改变原命题的质，从而推出一个新命题的推理。n n换质法有如下两条规则：n n 第一，只改变命题的质，不改变命题的量。n n 第二，结论中的谓项与前提中的谓项必须是矛盾关系。n n SAPSEPn n SEPSAPn n SIPSOPn n SOPSIP n n（二）换位法n n 换位法是通过调换主项和谓项的位置，从而推出一个新命题的推理。n n 换位法有如下两条规则：n n 第一，只调换主项和谓项的位置，不改变命题的质。n n n n第二，前提中不周延的项，换位后不得变为周延。n n SAPPISn n SEPPESn n SIPPISn n SOP不能换位。n n（三）换质法与换位法的综合运用 3 43 三段论n n（一）三段论的组成 n n 三段论是由两个包含着一个共同词项的直言命题推出一个新的直言命题的演绎推理。n n 所有的整数都是有理数，n n 所有的奇数都是整数，n n 所以，所有的奇数都是有理数。n n 任何一个三段论都是由三个不同的词项组成的。在结论中充当主项的词项是小项，用“S”表示，在结论中充当谓项的词项是大项，用“P”表示，在前提中出现而在结论中不再出现的词项是中项，用“M”表示。n n 三段论由三个不同的命题组成。其中，包含大项（P）和中项（M）的命题叫大前提，包含小项（S）和中项（M）的命题叫小前提，包含小项（S）和大项（P）的命题叫结论。n n（二）三段论的规则 n n 三段论的规则是检验一个三段论是否有效的标准。n n规则1：只能有三个项。n n “四概念”n n规则2：中项在前提中至少周延一次。n n “中项不周延”n n规则3：前提中不周延的词项在结论中不得周延。n n “大项不当周延”或“小项不当周延”n n规则4：从两个否定的前提推不出结论。n n “两个否定”n n规则5：如果前提有一否定，则结论否定；如果结论否定，则前提必有一否定。n n规则6：从两个特称前提推不出结论。n n规则7：如果前提有一特称，则结论必特称。n n（三）三段论的格及其特殊规则 n n1三段论的格。n n 三段论的格是指中项在两个前提中所处的不同位置而形成的三段论结构形式。n n第一格：n n M Pn n S Mn n S P n n第二格：n n P Mn n S Mn n S P n n第三格：n n M Pn n M Sn n S P n n第四格：n n P Mn n M Sn n S P n n2三段论各格的特殊规则。n n第一格的特殊规则：n n （1）小前提肯定。n n （2）大前提全称。n n第二格的特殊规则：n n （1）两个前提中必有一个是否定的。n n （2）大前提全称。n n第三格的特殊规则：n n （1）小前提肯定。n n （2）结论特称。n n第四格的特殊规则：n n （1）如果两个前提中有一否定，则大前提全称。n n （2）如果大前提肯定，则小前提全称。n n（3）如果小前提肯定，则结论特称。n n（4）任何一个前提都不能是特称否定命题。n n（5）结论不能是全称肯定命题。n n n n 第一格 “完善格”n n 第二格 “区别格”n n 第三格 “反驳格”n n（四）三段论的式 n n三段论的式是指命题的组合形式。n n 第一格：AAA、AII、EAE、EIO、（AAI）、（EAO）n n 第二格：AEE、EAE、EIO、AOO（AEO）、（EAO）n n 第三格：AAI、AII、EAO、EIO、IAI、OAOn n 第四格：AAI、AEE、EAO、EIO、IAI、（AEO）n n n n这24个式中，带有括号的叫弱式。所谓弱式，是指能得出全称结论却得出特称结论的式。如果把“从全称前提不能得出特称结论”这一规则考虑进来，就只有15个有效式。n n（五）省略三段论n n（六）三段论的文恩图解4 谓词演算n n41 谓词逻辑的命题形式 n n4 11 个体词 谓词n n （一）个体词n n 1个体常项n n a、b、c、d n n a1、b1、a2、b2nn 2个体变项n n u、v、w、xn n u1、v1、u2、v2n n（二）谓词n n谓词是表示个体的性质或个体之间关系的词项。n n表示一个个体具有某性质的谓词称为一元谓词，表示两个个体之间关系的谓词称为二元谓词，表示三个个体之间关系的谓词称为三元谓词，表示n个个体之间关系的谓词称为n元谓词。一般说来，二元以上的谓词称为多元谓词。n n谓词变项 F、G、H、M、P、Q、Y n n谓词常项 “=”（等于）、“”（大于）、n n “”（小于）n n一谓词逻辑公式至少是一个谓词和一个个体词符号的结合。这种结合是把个体变项或个体常项符号写在谓词符号的右下侧，形如：n n Fx、Ga、R（a，b）、R（x，y）n n其中以一个个体变项为变目的公式，如 Fx，表示某个非特定的个体有F性质；以一个个体常项为变目的公式，如 Ga，表示某个特定的个体有 G性质；以两个个体常项为变目的公式，如R（a，b），表示两个特定个体有R关系；以两个个体变项为变目的公式，如R（x，y），表示两个非特定的个体有R关系。这些是谓词逻辑最基本的公式，或称原子公式。n n 412 量词 n n 1全称量词。（）或（）n n 2存在量词。（）n n（二）量词的辖域 n n 量词的辖域是指在量词后面、紧随量词的最短公式。一般都用括号标明量词的辖域。n n（三）约束变项和自由变项 n n 1约束变项。约束变项是指被量词约束的个体变项。n n 2自由变项。在带量词的公式中，凡不是约束出现的个体变项，都称为自由出现的个体变项，而凡是自由出现的个体变项，都是自由变项。n n n n 413 普遍有效式 可满足式 不可满足式n n n n415 直言命题形式的公式化n n直言命题中的单称命题不带量词，并且主词指称的是特定个体对象，因此其符号形式是由一个个体常项和一个谓词组成，例如：n n 鲁迅是文学家n n Wan n （a表示鲁迅，W表示“是文学家”）n n如果个体域设定为全域，即最普遍的事物类，那么四种直言命题的形式是：n n 全称肯定命题（x）Fxn n 全称否定命题（x）Fxn n 特称肯定命题（x）Fxn n 特称否定命题（x）Fxn n如果个体域不是全域，而是某一个特定的对象域，直言命题的形式是：n n 全称肯定命题（x）（Sx Px）n n 全称否定命题（x）（Sx Px）n n 特称肯定命题（x）（Sx Px）n n 特称否定命题（x）（Sx Px）n n它们分别读作：n n （x）（Sx Px）“对所有x而言，如果x是S，那么x是P。”这说的就是，是S的东西都是P，所有S都是P。n n （x）（Sx Px）“对所有x而言，如果x是S，那么x不是P。”这说的就是，是S的东西都不是P，所有S都不是P。n n （x）（Sx Px）“至少存在一x，它是S并且是P。”这说的就是，至少有一S是P，有的S是P。n n （x）（Sx Px）“至少存在一x，它是S并且不是P。”这说的就是，至少有一S不是P，有的S不是P。n n 四种直言命题谓词公式的否定式及与它们等值的公式。n n n n 如果个体域为全域，有：n n n n （x）Fx （x）Fxn n （x）Fx （x）Fxn n （x）Fx （x）Fxn n （x）Fx （x）Fxn n如果个体域是特定的对象域，则有：（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）（x）（Sx Px）n n416 关系命题的命题形式 n n 关系命题是反映两个或两个以上的个体（或对象）具有某种关系的命题。n n（一）关系命题的结构成分 n n 谓词是表示个体或对象之间关系的词项。n n 主词是指承担某种关系的个体或对象。n n 量词是表示承担着某种关系的个体数量的词项。量词有两个：全称量词（），存在量词（）。n n（二）关系命题的命题形式n n1两个主词都是指称特定个体的个体词，主词都不带量词。n n R（a，b）n n2一个主词是普通名词，另一个主词是特定个体，是普通名词的主词带量词，另一个主词不带量词。这样的二元关系命题有如下形式：n n （x）（Sx R（x，a）n n （x）（Sx R（x，a）n n 或 （x）R（x，a）n n （x）R（x，a）n n两个主词都是普通名词，都带量词。在这种情况下，二元关系命题有八种形式。n n （1）（x）（y）R（x，y）n n （2）（y）（x）R（y，x）n n （3）（x）（y）R（x，y）n n （4）（y）（x）R（y，x）n n （5）（x）（y）R（x，y）n n （6）（y）（x）R（y，x）n n （7）（x）（y）R（x，y）n n （8）（y）（x）R（y，x）42 谓词逻辑的自然推理 n n421 推理规则n n（1）假设引入规则（p）n n 可按推演需要随时引入一个假设 A为前 提。n n（2）重复规则n n 先前已出现的前提可在以后的证明过程中重复引用n n（3）合取引入规则（）n n 从A和B可推出A B。n n（4）合取消除规则（）n n 从A B中可推出A，也可推出B。n n（5）析取引入规则（）n n 由A或由B可推出A B。n n（6）析取消除规则（）n n 设C为求证的公式，A B为前提。假如能证明从A可推出C，从B也可以推出C，则C得证。n n（7）蕴涵引入规则（）：在一个前提集合P的基础上加进一个假设，而推出B，那