自动控制原理 第4章 根轨迹法[4.2].ppt
4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 本本节节讨讨论论绘绘制制概概略略根根轨轨迹迹的的基基本本法法则则。重重点点放放在在基基本本法法则则的的叙叙述述和和说说明明上上。这这些些基基本本法法则则非非常常简简单单，熟熟练练地地掌掌握握它它们们，对对于于分分析析和和设设计计控控制制系统是非常有益的。系统是非常有益的。在下面讨论中，在下面讨论中，假定假定所研究的变化参数是根轨所研究的变化参数是根轨迹增益迹增益K K。这些基本规则这些基本规则同样也适用于其他参数为同样也适用于其他参数为可变的情况可变的情况。规规则则1 1 根根轨轨迹迹的的对对称称性性(Rule 1 The Symmetrical Characteristic of the Locus)实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实数或共轭复数对。它们往往在s平面上的分布是关于实轴对称的。因此根轨迹也是关于实轴对称的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以了。规规则则2 根根轨轨迹迹的的分分支支数数、起起点点和和终终点点(Rule 2 Number of Branches of the Locus,Starting Points,End Points)设系统的开环传递函数由式设系统的开环传递函数由式(4-6)(4-6)所示，则相应的闭所示，则相应的闭环特征方程式为环特征方程式为(4-13)由于由于nm，所以特征方程是，所以特征方程是n次的。当次的。当K取任何数值取任何数值时，它总有时，它总有n个根，由此便知根轨迹共有个根，由此便知根轨迹共有n条分支。条分支。根轨迹的起点是指当根轨迹的起点是指当K=0时，根轨迹的位置。由式时，根轨迹的位置。由式(4-13)可知，当可知，当K=0时，该方程便蜕化为开环特征方时，该方程便蜕化为开环特征方程，即程，即上式表明了根轨迹的起点上式表明了根轨迹的起点 就是开就是开环传递函数的极点。环传递函数的极点。根轨迹的终点是指当根轨迹增益 时根轨迹的位置。由式(4-13)得(4-14)当当 时，它将蜕化成为时，它将蜕化成为m次方程，而次方程，而mn。为了避免丢失方程的根。我们在上式中做置换为了避免丢失方程的根。我们在上式中做置换将两端同将两端同乘以乘以 ，便得便得当当 时时，它化为它化为则上式化为则上式化为这仍是这仍是n次方程，它有次方程，它有n个根：个根：可见方程可见方程(4-13)在时在时n个根应是个根应是所以，总数为所以，总数为n条的根轨迹中，有条的根轨迹中，有m条的终点就是条的终点就是开环零点，其余开环零点，其余(nm)条的终点在无穷远点。条的终点在无穷远点。规规则则3 根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分布布(Rule 3 Real-Axis Locus)在实轴上任取一实验点在实轴上任取一实验点si，若该点右方实轴上若该点右方实轴上开环极点开环极点(open-loop pole)数和零点数之和为奇数，数和零点数之和为奇数，则点则点si是根轨迹上的一个点，该点所在的线段就是是根轨迹上的一个点，该点所在的线段就是根轨迹。根轨迹。下面用相角条件说明这个规则。设系统的开环零、下面用相角条件说明这个规则。设系统的开环零、极点分布如图极点分布如图4-5所示。在实轴上任取一试验点所示。在实轴上任取一试验点si，连接所有的开环极点和零点。由图连接所有的开环极点和零点。由图4-5可得出以下可得出以下结论。结论。图图4-5 实轴上根轨迹的确定实轴上根轨迹的确定(1)(1)位于点位于点sisi右方实轴上的每一个开环极右方实轴上的每一个开环极点和零点指向该点的矢量，它们的相角分点和零点指向该点的矢量，它们的相角分别为别为和和；而位于点；而位于点sisi左方实轴上的左方实轴上的开环极点和零点指向该点的矢量，由于其开环极点和零点指向该点的矢量，由于其与实轴的指向一致，因而它们的相角都为与实轴的指向一致，因而它们的相角都为0 0。(2)一对共轭极点一对共轭极点(或共轭零点或共轭零点)指向点指向点si的矢量的的矢量的 相角分别为相角分别为 2(或或2)，因而不会影响实轴根轨，因而不会影响实轴根轨迹的确定。迹的确定。由上所述，实轴根轨迹的确定完全取决于点由上所述，实轴根轨迹的确定完全取决于点si右方实轴上开环极点数与零点数之和的数右方实轴上开环极点数与零点数之和的数目。由相由相角条件得角条件得式中，式中，mr为点为点si右方实轴上的开环零点数；右方实轴上的开环零点数；nr为为点点si右方实轴上的开环极点数。右方实轴上的开环极点数。由上式可知，只要当由上式可知，只要当(mrmr+nr)+nr)为奇数，则此为奇数，则此试验点试验点sisi就满足相角条件，表示该点是根轨就满足相角条件，表示该点是根轨迹上的一点。迹上的一点。规则规则4 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线(Rule 4 Asymptotes of Locus)基于上述，当基于上述，当n nm m时，应有时，应有(nm)(nm)条根轨迹条根轨迹分支的终点趋向于无限远。这些趋向无限远处根轨分支的终点趋向于无限远。这些趋向无限远处根轨迹分支的方位是由下述的渐近线确定的迹分支的方位是由下述的渐近线确定的。1.渐近线的倾角渐近线的倾角设试验点设试验点sisi在在s s平面的无限远处，则它到各开环平面的无限远处，则它到各开环极点和零点的矢量与实轴极点和零点的矢量与实轴(real axis)(real axis)正方向的正方向的夹角可视为都是相等的，记为夹角可视为都是相等的，记为。这样，。这样，m m个开个开环零点指向环零点指向sisi点矢量所产生的相角点矢量所产生的相角mm被被m m个开环个开环极点指向极点指向sisi点矢量所产生的相角点矢量所产生的相角mm所抵消。所抵消。余下余下(nm)(nm)个开环极点指向个开环极点指向sisi点的矢量实质上是点的矢量实质上是同一条直线，这条直线就是根轨迹的渐近线。如同一条直线，这条直线就是根轨迹的渐近线。如果点果点sisi是位于无限远处根轨迹上的一点，则其应是位于无限远处根轨迹上的一点，则其应满足相角条件，即满足相角条件，即(4-15)于是得于是得上式表示由上式表示由(nm)个开环极点出发的根轨个开环极点出发的根轨迹分支，当时迹分支，当时 ，将按式，将按式(4-15)所示所示角度的渐进线趋向于无穷远。显然，渐角度的渐进线趋向于无穷远。显然，渐近线的数目等于趋向无穷远根轨迹的分近线的数目等于趋向无穷远根轨迹的分支数，即为支数，即为(nm)。2.渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点(Real-Axis Inte-rcept of the Asymptotes)根据规则根据规则1 1可知这些渐近线必相交于实轴上。可知这些渐近线必相交于实轴上。现在来求渐近线于实轴的现在来求渐近线于实轴的交点。交点。将将式式(4-6)(4-6)的的分子和分子和分母分别乘出来，可写成分母分别乘出来，可写成(4-16)当当 时时，式，式(4-16)近似地用下式表示近似地用下式表示(4-17)由由 得渐近线方程得渐近线方程(4-18)或或根据二项式定理根据二项式定理(4-18)在在s值很大时，近似有值很大时，近似有(4-19)(4-20)现在以现在以 代入式代入式(4-20)，得，得将式将式(4-19)(4-19)代入式代入式(4-18)(4-18)，渐近线方程可表示为，渐近线方程可表示为令实部和虚部分别相等，有令实部和虚部分别相等，有从最后两个方程中解出从最后两个方程中解出式中式中在在s平面上，式平面上，式(4-22)代表直线方程，它与实轴代表直线方程，它与实轴的交角的交角为为，交点为，交点为。当。当k取不同值时，可取不同值时，可得得nm个个角，而角，而不变，因此根轨迹渐近线是不变，因此根轨迹渐近线是nm条条与实轴与实轴交点为交点为，交角为，交角为的一组射线。的一组射线。而交角而交角正是渐近线正是渐近线的倾角的倾角。(4-24)(4-24)由于开环复数极点和零点总是成对出现，因而由于开环复数极点和零点总是成对出现，因而总是一个实数。为了便于记忆，也可把式总是一个实数。为了便于记忆，也可把式(4-(4-24)24)简化为简化为规则规则5 5 根轨迹的分离点和汇合点根轨迹的分离点和汇合点(Rule 5(Rule 5 Break-away Point and Break-in Point of Break-away Point and Break-in Point of the Locus)the Locus)根据规则根据规则2 2，根轨迹必始，根轨迹必始于开环极点，而于开环极点，而终于开环终于开环零点零点。一般情况下，如果。一般情况下，如果实轴上两相邻实轴上两相邻极点间极点间的线的线段属于根轨迹，那么根轨段属于根轨迹，那么根轨迹从这两个迹从这两个极点出发极点出发并在并在某点相遇后，就必然要分某点相遇后，就必然要分开，即开，即离开实轴离开实轴而移而移向向s s平面平面。这种情况下，它们。这种情况下，它们相遇并相遇并离开实轴离开实轴的点称做的点称做分离点分离点。如图。如图4-64-6中中的的a a点点就是分离点。就是分离点。同理，如果实轴上两相邻零点之间的线段属同理，如果实轴上两相邻零点之间的线段属于根轨迹于根轨迹(这两个零点可能都是有限零点，也可能这两个零点可能都是有限零点，也可能一个是有限零点，另一个是无穷远零点一个是有限零点，另一个是无穷远零点)，则它们，则它们之间必有汇合点。之间必有汇合点。常见常见的分离点和汇合点一般都位于实轴上，但的分离点和汇合点一般都位于实轴上，但也有可能产生于共轭复数对中，如图也有可能产生于共轭复数对中，如图4-74-7所示。所示。图图4-7 根轨迹的复数分离点根轨迹的复数分离点把开环传递函数改写为把开环传递函数改写为 由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现重根的条件是重根的条件是s值必须满足下列方程，即值必须满足下列方程，即(4-25)(4-26)消去消去K K，求得，求得(4-27)式式(4-27)(4-27)就是用于确定根轨迹分离点就是用于确定根轨迹分离点(或汇合或汇合点点)的的方程。除此以外，还可以方程。除此以外，还可以用方程用方程 来来求取求取，对此，对此说明如下。由式说明如下。由式(4-25)(4-25)得得上式对上式对s求导，得求导，得(4-28)由于在根轨迹的分离点由于在根轨迹的分离点(或汇合点或汇合点)处，式处，式(4-28)右右方的分子应等于零，于是得方的分子应等于零，于是得 综上所述，式综上所述，式(4-27)(4-27)或或(4-29)(4-29)可确定根轨迹可确定根轨迹分离点和汇合点的值。这里需要注意的是，按式分离点和汇合点的值。这里需要注意的是，按式(4-27)(4-27)或或(4-29)(4-29)所求的根并非都是实际的分离点所求的根并非都是实际的分离点或汇合点，只有位于根轨迹上的那些重根才是实或汇合点，只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点或汇合点。际的分离点或汇合点。规则规则6 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角(Rule 6 Locus Angle of Departure and Approach)根轨迹离开开环复数极点处的切线与根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正实轴正方方 向的夹角，称为根轨迹的入射角。计算根轨迹向的夹角，称为根轨迹的入射角。计算根轨迹的出射角的出射角的目的在于了解复数极点或零点附近根的目的在于了解复数极点或零点附近根轨迹轨迹的变化的变化趋向，便于绘制根轨迹。趋向，便于绘制根轨迹。设一控制系统的开设一控制系统的开环零、极点分布如图环零、极点分布如图4-8所示。取试验点所示。取试验点si,并使之十分靠近开环并使之十分靠近开环复数极点复数极点 ，因而可以因而可以认为开环的零点和其认为开环的零点和其他极点指向他极点指向si点矢量点矢量的相角和它们指向点的相角和它们指向点 矢量矢量的相角相等。的相角相等。图图4-8 根轨迹出射角的确定根轨迹出射角的确定因而因而如果试验点如果试验点si在根轨迹上，则应满足相角条件，即在根轨迹上，则应满足相角条件，即式式中，中，就是就是根轨迹离开根轨迹离开复数极点复数极点 的的出射角。出射角。由上由上式可知式可知，计算出射角的一般表达式为，计算出射角的一般表达式为(4-30)式中，式中，为待求开环复数极点为待求开环复数极点 的出射角；的出射角；为除去为除去 外的其余开环极点指向极点外的其余开环极点指向极点 的矢量的的矢量的相角；相角；为开环零点指向极点为开环零点指向极点 矢量的相角。矢量的相角。同理，可得计算入射角的表达式同理，可得计算入射角的表达式(4-31)规则规则7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点(Rule 7 Imaginary Axis Crossing Point)当根轨迹与虚轴当根轨迹与虚轴(imaginary axis)相交时，相交时，表示特征方程式有纯虚根存在，此时系统处于表示特征方程式有纯虚根存在，此时系统处于等幅等幅振荡状态。因而，正确确定根轨迹与虚轴振荡状态。因而，正确确定根轨迹与虚轴的交点及其相应的参数就显得十分重要。下面的交点及其相应的参数就显得十分重要。下面介绍两种常用的计算根轨迹与虚轴交点的方法。介绍两种常用的计算根轨迹与虚轴交点的方法。已知系统的闭环特征方程式为已知系统的闭环特征方程式为(1)用劳斯判别计算。由上式列劳斯表：用劳斯判别计算。由上式列劳斯表：由劳斯表可知由劳斯表可知，当，当 时时，表中表中 行行所有的所有的元素元素均为均为零零。按照。按照 行行的元素组成的下列辅助方的元素组成的下列辅助方程式程式由于由于 ，因而该方程式的根为，因而该方程式的根为 这表示根轨迹中有两条分支分别与虚轴相交于这表示根轨迹中有两条分支分别与虚轴相交于 处，对应的处，对应的K值为值为260。(2)用用 代入方程直接求解。以代入方程直接求解。以 代代入特征方程，则得入特征方程，则得令上式的实部、虚部分别等于零，于是有令上式的实部、虚部分别等于零，于是有联立求解上述两式联立求解上述两式，得，得规则规则8 8 特征方程式根之和与根之积。特征方程式根之和与根之积。把式把式(4-6)所示的开环传递函数改写为所示的开环传递函数改写为如果如果nm2，则系统的闭环特征方程式可改写为，则系统的闭环特征方程式可改写为(4-32)式中式中 为开环极点，为开环极点，为开环零点。为开环零点。设式设式(4-32)的特征根为的特征根为 ，则上，则上 式改写为式改写为(4-33)由式由式(4-32)、(4-33)得得或或(4-34)式式(4-34)揭示了根轨迹的一个揭示了根轨迹的一个重要性质重要性质：当当K由由 变化变化时，闭环方程式的时，闭环方程式的n个根都会随之个根都会随之而变化，但它们之和却恒等于而变化，但它们之和却恒等于n个开环极点之和。个开环极点之和。如果一部分根轨迹分支随着如果一部分根轨迹分支随着K的增大向左移动，则的增大向左移动，则另一部分根轨迹将随着另一部分根轨迹将随着K的增大而向右移动，以的增大而向右移动，以保持保持 。此法则对判断根轨迹的走。此法则对判断根轨迹的走向是很有用的。向是很有用的。同理，由同理，由式式(4-32)、(4-33)的常数项相等，得的常数项相等，得(4-35)以上以上8条是绘制根轨迹的基本规则。条是绘制根轨迹的基本规则。应用这些规则，就能迅速地画出根轨应用这些规则，就能迅速地画出根轨迹的大致形状。必须指出，根轨迹的迹的大致形状。必须指出，根轨迹的最重要部分既不在实轴上，也不在无最重要部分既不在实轴上，也不在无限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点的区域。对于这个区域中根轨迹的绘的区域。对于这个区域中根轨迹的绘制一般没有什么规则可循，只能按相制一般没有什么规则可循，只能按相角条件画出。角条件画出。例例4-2 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为要求绘制系统的根轨迹。要求绘制系统的根轨迹。解：按下述步骤绘制概略根轨迹解：按下述步骤绘制概略根轨迹(1)确定实轴上的根轨迹。实轴上确定实轴上的根轨迹。实轴上3,0区域必为区域必为根轨迹。根轨迹。(2)确定根轨迹的渐近线确定根轨迹的渐近线。由于。由于 ，故有四条故有四条根根轨迹渐近线轨迹渐近线，其与正实轴的夹角分别为，其与正实轴的夹角分别为渐近线实轴的交点为渐近线实轴的交点为(3)确定分离点。确定分离点。由于系统的闭环特征方程式为由于系统的闭环特征方程式为则有则有上式上式对对s求导求导，得，得解方程解方程 ，求出实际的分离点为，求出实际的分离点为 。(4)确定出射角。确定出射角。量测各向量相角，得出射角为量测各向量相角，得出射角为(5)确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为对上式应用劳斯判据，有对上式应用劳斯判据，有 令劳斯表中令劳斯表中 行的首项为零，行的首项为零，得。根得。根据据 行的系数，得辅助方程为行的系数，得辅助方程为 代入代入 并令并令 ，解出交点坐标，解出交点坐标 根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。将征方程直接求出。将 代入特征方程，可代入特征方程，可得实部方程为得实部方程为虚部方程为虚部方程为在虚部方程中在虚部方程中，显然不是欲求之解，因显然不是欲求之解，因此根轨迹与虚轴交点坐此根轨迹与虚轴交点坐标应为标应为 。将。将所得所得 值代入实部方程，值代入实部方程，解出解出 。所得结果。所得结果与劳斯表法完全一样。与劳斯表法完全一样。整个系统的概略根轨迹，整个系统的概略根轨迹，如图如图4-9所示。所示。例例4-3 已知一单位反馈系统的开环传递函数为已知一单位反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹试绘制该系统的根轨迹。解：解：由系统开环传递函数可知，系统实由系统开环传递函数可知，系统实轴上的根轨迹为轴上的根轨迹为 ，之间的区域。之间的区域。系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为令令代入上式，得代入上式，得则有则有由上式得由上式得于是得于是得即即上式表示系统根轨上式表示系统根轨迹的复数部分为一迹的复数部分为一个圆。其圆心位于个圆。其圆心位于开环传递函数的零开环传递函数的零点处，半径为点处，半径为2.828。图图4-10 例例4-3的根轨迹的根轨迹 例例4-4 一反馈控制系统如图一反馈控制系统如图4-11所示，所示，试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。图图4-11 控制系统控制系统 解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为与上式相对应的闭环特征方程式根的轨与上式相对应的闭环特征方程式根的轨迹如图迹如图4-12所示。所示。图图4-12 例例4-4的根轨迹的根轨迹 显然，图显然，图4-12所所示的并不是系统示的并不是系统闭环特征方程式闭环特征方程式全部根的轨迹，全部根的轨迹，由于开环传递函由于开环传递函数中存在零、极数中存在零、极点相消的缘故。点相消的缘故。对此说明如下。对此说明如下。图图4-11所示控制系统的闭环传递函数为所示控制系统的闭环传递函数为其闭环特征方程式为其闭环特征方程式为不难看出，上式中不难看出，上式中 这个根与参变量这个根与参变量 无关或者说它不受无关或者说它不受 的控制；而方括号的控制；而方括号内多项式的两个根随着参变量内多项式的两个根随着参变量 的变化而的变化而变化。图变化。图4-12仅描述了这两个根的轨迹。仅描述了这两个根的轨迹。为为了完整地表示系了完整地表示系统统的的输输出响出响应应，这这个个闭环闭环极点不能极点不能丢丢掉。因此，常把掉。因此，常把图图4-11改画成改画成图图4-13所示的形式。所示的形式。图图4-13 图图4-11的等效形式的等效形式
