高三数学（理科）押题精练：专题【7】《数列求和及综合应用》.ppt

专题七 数列求和及综合应用数列求和及综合应用数列求和及综合应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题高高考考对对本本节节知知识识主主要要以以解解答答题题的的形形式式考考查查以以下下两个问题：两个问题：1.以以递递推推公公式式或或图图、表表形形式式给给出出条条件件，求求通通项项公公式式，考考查查用用等等差差、等等比比数数列列知知识识分分析析问问题题和和探探究创新的能力，属中档题；究创新的能力，属中档题；2.通通过过分分组组、错错位位相相减减等等转转化化为为等等差差或或等等比比数数列列的的求求和和问问题题，考考查查等等差差、等等比比数数列列求求和和公公式式及及转化与化归思想的应用，属中档题转化与化归思想的应用，属中档题考情解读3主干知识梳理1.数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧(1)分组转化法分组转化法有有些些数数列列，既既不不是是等等差差数数列列，也也不不是是等等比比数数列列，若若将将数数列列通通项项拆拆开开或或变变形形，可可转转化化为为几几个个等等差差、等等比比数数列列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.(2)错位相减法错位相减法这这是是在在推推导导等等比比数数列列的的前前n项项和和公公式式时时所所用用的的方方法法，这这种种方方法法主主要要用用于于求求数数列列anbn的的前前n项项和和，其其中中an，bn分分别是等差数列和等比数列别是等差数列和等比数列.(3)倒序相加法倒序相加法这这是是在在推推导导等等差差数数列列前前n项项和和公公式式时时所所用用的的方方法法，也也就就是是将将一一个个数数列列倒倒过过来来排排列列(反反序序)，当当它它与与原原数数列列相相加加时时若若有有公公式式可可提提，并并且且剩剩余余项项的的和和易易于于求求得得，则则这这样样的的数数列列可可用用倒序相加法求和倒序相加法求和.(4)裂项相消法裂项相消法利利用用通通项项变变形形，将将通通项项分分裂裂成成两两项项或或n项项的的差差，通通过过相相加加过过程程中中的的相相互互抵抵消消，最最后后只只剩剩下下有有限限项项的的和和.这这种种方方法，适用于求通项为法，适用于求通项为 的数列的前的数列的前n项和，其中项和，其中an若为等差数列，则若为等差数列，则 .常见的裂项公式：常见的裂项公式：2.数列应用题的模型数列应用题的模型(1)等等差差模模型型：如如果果增增加加(或或减减少少)的的量量是是一一个个固固定定量量时时，该模型是等差模型，增加该模型是等差模型，增加(或减少或减少)的量就是公差的量就是公差.(2)等等比比模模型型：如如果果后后一一个个量量与与前前一一个个量量的的比比是是一一个个固固定定的的数数时时，该该模模型型是是等等比比模模型型，这这个个固固定定的的数数就就是公比是公比.(3)混混合合模模型型：在在一一个个问问题题中中同同时时涉涉及及等等差差数数列列和和等等比数列的模型比数列的模型.(4)生生长长模模型型：如如果果某某一一个个量量，每每一一期期以以一一个个固固定定的的百百分分数数增增加加(或或减减少少)，同同时时又又以以一一个个固固定定的的具具体体量量增增加加(或或减减少少)时时，我我们们称称该该模模型型为为生生长长模模型型.如如分分期期付款问题，树木的生长与砍伐问题等付款问题，树木的生长与砍伐问题等.(5)递递推推模模型型：如如果果容容易易找找到到该该数数列列任任意意一一项项an与与它它的的前前一一项项an1(或或前前n项项)间间的的递递推推关关系系式式，我我们们可可以以用递推数列的知识来解决问题用递推数列的知识来解决问题.热点一 分组转化求和热点二 错位相减法求和热点三 裂项相消法求和热点分类突破热点四 数列的实际应用例1等比数列等比数列an中，中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在中的任何两个数不在下表的同一列下表的同一列.热点一 分组转化求和第一列第一列 第二列第二列 第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；思维启迪 根据表中数据逐个推敲确定根据表中数据逐个推敲确定an的通项公式；的通项公式；解当当a13时，不合题意；时，不合题意；当当a12时，当且仅当时，当且仅当a26，a318时，符合题意；时，符合题意；当当a110时，不合题意时，不合题意.因此因此a12，a26，a318，所以公比，所以公比q3.故故an23n1(nN*).(2)若若数数列列bn满满足足：bnan(1)nln an，求求数数列列bn的前的前n项和项和Sn.思维启迪 分组求和分组求和.解因为因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所所以以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当当n为偶数时，为偶数时，当当n为奇数时，为奇数时，在在处处理理一一般般数数列列求求和和时时，一一定定要要注注意意使使用用转转化化思思想想.把把一一般般的的数数列列求求和和转转化化为为等等差差数数列列或或等等比比数数列列进进行行求求和和，在在求求和和时时要要分分析析清清楚楚哪哪些些项项构构成成等等差差数数列列，哪哪些些项项构构成成等等比比数数列列，清清晰晰正正确确地地求求解解.在在利利用用分分组组求求和和法法求求和和时时，由由于于数数列列的的各各项项是是正正负负交交替替的的，所所以以一一般般需需要要对对项项数数n进进行行讨讨论论，最最后后再验证是否可以合并为一个公式再验证是否可以合并为一个公式.思维升华变式训练1已知数列已知数列an中，中，a11，anan1()n(nN*).(1)求证：数列求证：数列a2n与与a2n1(nN*)都是等比数列；都是等比数列；证明因为因为anan1()n，an1an2()n1，又又a11，a2 ，所所以以数数列列a1，a3，a2n1，是是以以1为首项，为首项，为公比的等比数列；为公比的等比数列；数数列列a2，a4，a2n，是是以以 为为首首项项，为为公公比比的的等等比数列比数列.(2)若若数数列列an的的前前2n项项和和为为T2n，令令bn(3T2n)n(n1)，求数列，求数列bn的最大项的最大项.bn13(n1)(n2)()n1，所以所以b1b4bn，所以所以(bn)maxb2b3 .例2设设数数列列an的的前前n项项和和为为Sn，已已知知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；热点二 错位相减法求和思维启迪n1时时，Sn2Sn1n两两式式相相减减得得an的的递递推推关关系系式式，然然后构造数列求通项；后构造数列求通项；解Sn12Snn1，当当n2时，时，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，又又S22S12，a1S11，an12n，即，即an2n1(nN*).(2)若若bn ，数数列列bn的的前前n项项和和为为Tn，nN*，证明：，证明：Tn0，前前n项项和和为为Sn，S36，且满足，且满足a3a1,2a2，a8成等比数列成等比数列.(1)求求an的通项公式；的通项公式；热点三 裂项相消法求和思维启迪 利用方程思想可确定利用方程思想可确定a，d，写出，写出an；解由由S36，得，得a22.a3a1,2a2，a8成等比数列，成等比数列，(2d)(26d)42，解得解得d1或或d ，d0，d1.数列数列an的通项公式为的通项公式为ann.(2)设设bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn的值的值.思维启迪 利用裂项相消法求利用裂项相消法求Tn.裂裂项项相相消消法法适适合合于于形形如如 形形式式的的数数列列，其其中中an为等差数列为等差数列.思维升华变式训练3已已知知等等差差数数列列an是是递递增增数数列列，且且满满足足a4a715，a3a88.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；解根据题意根据题意a3a88a4a7，a4a715，所所以以a4，a7是是方方程程x28x150的的两两根根，且且a480，当当n7时，由于时，由于S6570，因为因为an是递减数列，所以是递减数列，所以An是递减数列是递减数列.所以必须在第九年年初对所以必须在第九年年初对M更新更新.解解答答数数列列应应用用题题，与与函函数数应应用用题题的的求求解解过过程程类类似似，一一般般要要经经过过三三步步：(1)建建模模，首首先先要要认认真真审审题题，理理解解实实际际背背景景，理理清清数数学学关关系系，把把应应用用问问题题转转化化为为数数列列问题；问题；(2)解解模模，利利用用所所学学的的数数列列知知识识，解解决决数数列列模模型型中中的的相关问题；相关问题；(3)释释模模，把把已已解解决决的的数数列列模模型型中中的的问问题题返返回回到到实实际际问题中去，与实际问题相对应，确定问题的结果问题中去，与实际问题相对应，确定问题的结果.思维升华变式训练4设设某某商商品品一一次次性性付付款款的的金金额额为为a元元，以以分分期期付付款款的的形形式式等等额额地地分分成成n次次付付清清，若若每每期期利利率率r保保持持不不变变，按复利计算，则每期期末所付款是按复利计算，则每期期末所付款是()解析设每期期末所付款是设每期期末所付款是x元，元，则则各各次次付付款款的的本本利利和和为为x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，答案B本讲规律总结1.数数列列综综合合问问题题一一般般先先求求数数列列的的通通项项公公式式，这这是是做做好好该该类类题题的的关关键键.若若是是等等差差数数列列或或等等比比数数列列，则则直直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(2)递推关系形如递推关系形如an1anf(n)，常用累加法求通项，常用累加法求通项.(3)递推关系形如递推关系形如 f(n)，常用累乘法求通项，常用累乘法求通项.(4)递递推推关关系系形形如如“an1panq(p、q是是常常数数，且且p1，q0)”的的数数列列求求通通项项，常常用用待待定定系系数数法法.可可设设an1p(an)，经过比较，求得，经过比较，求得，则数列，则数列an是一个等比数列是一个等比数列.(5)递递推推关关系系形形如如“an1panqn(q，p为为常常数数，且且p1，q0)”的的数数列列求求通通项项，此此类类型型可可以以将将关关系系式式两两边边同同除除以以qn转化为类型转化为类型(4)，或同除以，或同除以pn1转为用迭加法求解转为用迭加法求解.2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错错位位相相减减法法求求和和时时，将将问问题题转转化化为为等等比比数数列列的的求求和问题求解和问题求解.(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和并项求和时，将问题转化为等差数列求和.(3)分分组组求求和和时时，将将问问题题转转化化为为能能用用公公式式法法或或错错位位相相减减法法或或裂裂项项相相消消法法或或并并项项法法求求和和的的几几个个数数列列的的和和求求解解.提醒：运运用用错错位位相相减减法法求求和和时时，相相减减后后，要要注注意意右右边边的的n1项项中中的的前前n项项，哪哪些些项项构构成成等等比比数数列列，以以及及两两边边需需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.3.数数列列应应用用题题主主要要考考查查应应用用所所学学知知识识分分析析和和解解析析问问题题的的能能力力.其其中中，建建立立数数列列模模型型是是解解决决这这类类问问题题的的核核心心，在在解解题题中中的的主主要要思思路路：首首先先构构造造等等差差数数列列或或等等比比数数列列模模型型，然然后后用用相相应应的的通通项项公公式式与与求求和和公公式求解；式求解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解通过归纳得到结论，再用数列知识求解.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2013湖湖南南)设设Sn为为数数列列an的的前前n项项和和，Sn(1)nan ，nN*，则：，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.12真题感悟解析anSnSn112真题感悟根据以上根据以上an的关系式及递推式可求的关系式及递推式可求.12真题感悟真题感悟212.(2014课课标标全全国国)已已知知数数列列an满满足足a11，an13an1.(1)证明证明an 是等比数列，并求是等比数列，并求an的通项公式；的通项公式；证明(1)由由an13an1，真题感悟21真题感悟21因为当因为当n1时，时，3n123n1，真题感悟21押题精练1231.如如图图，一一个个类类似似杨杨辉辉三三角角的的数数阵阵，则则第第n(n2)行行的第的第2个数为个数为_.押题精练123解析由由题题意意可可知知：图图中中每每行行的的第第二二个个数数分分别别为为3,6,11,18，即即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.答案n22n3押题精练1232.秋秋末末冬冬初初，流流感感盛盛行行，特特别别是是甲甲型型H1N1流流感感.某某医医院院近近30天天每每天天入入院院治治疗疗甲甲流流的的人人数数依依次次构构成成数数列列an，已已知知a11，a22，且且an2an1(1)n(nN*)，则该医院，则该医院30天入院治疗甲流共有天入院治疗甲流共有_人人.押题精练123解析由于由于an2an1(1)n，所以所以a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为构成公差为2的等差数列，的等差数列，所以所以a1a2a29a3015152 2255.故该医院故该医院30天入院治疗甲流的人数为天入院治疗甲流的人数为255.答案255押题精练1233.已知数列已知数列bn满足满足3(n1)bnnbn1，且，且b13.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；即数列即数列bn的通项公式的通项公式bnn3n.押题精练123押题精练123