高三数学（理科）押题精练：专题【24】《直线与圆》.ppt

专题24 直线与圆直线与圆直线与圆主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题考考查查重重点点是是直直线线间间的的平平行行和和垂垂直直的的条条件件、与与距距离离有有关关的的问问题题直直线线与与圆圆的的位位置置关关系系(特特别别是是弦弦长长问问题题)，此此类类问问题题难难度度属属于于中中等等，一一般般以以选选择择题题、填填空空题题的的形形式式出出现现，有有时时也也会会出出现现解解答答题题，多考查其几何图形的性质或方程知识多考查其几何图形的性质或方程知识考情解读3主干知识梳理1.直线方程的五种形式直线方程的五种形式(1)点点斜斜式式：yy1k(xx1)(直直线线过过点点P1(x1，y1)，且且斜斜率为率为k，不包括，不包括y轴和平行于轴和平行于y轴的直线轴的直线).(2)斜斜截截式式：ykxb(b为为直直线线l在在y轴轴上上的的截截距距，且且斜斜率率为为k，不包括，不包括y轴和平行于轴和平行于y轴的直线轴的直线).(5)一般式：一般式：AxByC0(其中其中A，B不同时为不同时为0).2.直线的两种位置关系直线的两种位置关系当不重合的两条直线当不重合的两条直线l1和和l2的斜率存在时：的斜率存在时：(1)两直线平行两直线平行l1l2k1k2.(2)两直线垂直两直线垂直l1l2k1k21.提提醒醒当当一一条条直直线线的的斜斜率率为为0，另另一一条条直直线线的的斜斜率率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.提提醒醒应应用用两两平平行行线线间间距距离离公公式式时时，注注意意两两平平行行线线方程中方程中x，y的系数应对应相等的系数应对应相等.4.圆的方程的两种形式圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).5.直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直直线线与与圆圆的的位位置置关关系系：相相交交、相相切切、相相离离，代代数数判判断断法法与几何判断法与几何判断法.(2)圆圆与与圆圆的的位位置置关关系系：相相交交、相相切切、相相离离，代代数数判判断断法法与与几何判断法几何判断法.热点一 直线的方程及应用热点二 圆的方程及应用热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系热点分类突破例1(1)过过点点(5,2)，且且在在y轴轴上上的的截截距距是是在在x轴轴上上的的截距的截距的2倍的直线方程是倍的直线方程是()A.2xy120B.2xy120或或2x5y0C.x2y10D.x2y10或或2x5y0热点一 直线的方程及应用思维启迪 不不要要忽忽略略直直线线过原点的情况；过原点的情况；解析当直线过原点时方程为当直线过原点时方程为2x5y0，再由过点再由过点(5,2)即可解出即可解出2xy120.答案B(2)“m1”是是“直直线线xy0和和直直线线xmy0互互相相垂垂直直”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件思维启迪 分分别别考考虑虑充充分分性和必要性性和必要性.解析因因为为m1时时，两两直直线线方方程程分分别别是是xy0和和xy0，两两直直线线的的斜斜率率分分别别是是1和和1，两两直直线线垂垂直，所以充分性成立；直，所以充分性成立；当当直直线线xy0和和直直线线xmy0互互相相垂垂直直时时，有有11(1)m0，所所以以m1，所所以以必必要要性性成成立立.故故选选C.答案C(1)要要注注意意几几种种直直线线方方程程的的局局限限性性.点点斜斜式式、两两点点式式、斜斜截截式式要要求求直直线线不不能能与与x轴轴垂垂直直.而而截截距距式式方方程程不不能能表表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2)求求解解与与两两条条直直线线平平行行或或垂垂直直有有关关的的问问题题时时，主主要要是是利利用用两两条条直直线线平平行行或或垂垂直直的的充充要要条条件件，即即“斜斜率率相相等等”或或“互互为为负负倒倒数数”.”.若若出出现现斜斜率率不不存存在在的的情情况况，可考虑用数形结合的方法去研究可考虑用数形结合的方法去研究.思维升华变式训练1已知已知A(3,1)，B(1,2)，若，若ACB的平分线方程为的平分线方程为yx1，则，则AC所在的直线方程为所在的直线方程为()A.y2x4B.y x3C.x2y10D.3xy10解析由题意可知，直线由题意可知，直线AC和直线和直线BC关于直线关于直线yx1对称对称.设点设点B(1,2)关于直线关于直线yx1的对称点为的对称点为B(x0，y0)，因为因为B(1,0)在直线在直线AC上，上，即即x2y10.故故C正确正确.答案C热点二 圆的方程及应用例2(1)若若圆圆C经经过过(1,0)，(3,0)两两点点，且且与与y轴轴相相切切，则圆则圆C的方程为的方程为()A.(x2)2(y2)23B.(x2)2(y )23C.(x2)2(y2)24D.(x2)2(y )24思维启迪 确确定定圆圆心心在在直直线线x2上上，然然后后待待定定系数法求方程；系数法求方程；解析因为圆因为圆C经过经过(1,0)，(3,0)两点，两点，所以圆心在直线所以圆心在直线x2上，上，又圆与又圆与y轴相切，所以半径轴相切，所以半径r2，设圆心坐标为设圆心坐标为(2，b)，则则(21)2b24，b23，b ，所以选，所以选D.答案D(2)已已知知圆圆M的的圆圆心心在在x轴轴上上，且且圆圆心心在在直直线线l1：x2的的右右侧侧，若若圆圆M截截直直线线l1所所得得的的弦弦长长为为2 ，且且与与直直线线l2：2x y40相切，则圆相切，则圆M的方程为的方程为()A.(x1)2y24B.(x1)2y24C.x2(y1)24D.x2(y1)24思维启迪 根据弦长为根据弦长为2 及及圆圆与与l2相相切切列列方方程组程组.所以圆所以圆M的方程为的方程为(x1)2y24.故选故选B.答案B圆圆的的标标准准方方程程直直接接表表示示出出了了圆圆心心和和半半径径，而而圆圆的的一一般般方方程程则则表表示示出出了了曲曲线线与与二二元元二二次次方方程程的的关关系系，在在求求解解圆圆的的方方程程时时，要要根根据据所所给给条条件件选选取取适适当当的的方方程程形形式式.解解决决与与圆圆有有关关的的问问题题一一般般有有两两种种方方法法：(1)几几何何法法，通通过过研研究究圆圆的的性性质质、直直线线和和圆圆、圆圆与与圆圆的的位位置置关关系系，进进而而求求得得圆圆的的基基本本量量和和方方程程；(2)代代数数法法，即即用用待待定定系系数数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.思维升华变式训练2(1)已已知知圆圆C：x2(y3)24，过过点点A(1,0)的的直直线线l与与圆圆C相相交交于于P、Q两两点点，若若|PQ|2 ，则则直直线线l的的方程为方程为()A.x1或或4x3y40B.x1或或4x3y40C.x1或或4x3y40D.x1或或4x3y40解析当直线当直线l与与x轴垂直时，易知轴垂直时，易知x1符合题意；符合题意；当直线当直线l与与x轴不垂直时，轴不垂直时，设直线设直线l的方程为的方程为yk(x1)，线段，线段PQ的中点为的中点为M，故所求直线故所求直线l的方程为的方程为x1或或4x3y40.故选故选B.答案B(2)已已知知圆圆C的的圆圆心心与与抛抛物物线线y24x的的焦焦点点关关于于直直线线yx对对称称，直直线线4x3y20与与圆圆C相相交交于于A，B两两点点，且且|AB|6，则圆，则圆C的方程为的方程为_.解析设设所所求求圆圆的的半半径径是是r，依依题题意意得得，抛抛物物线线y24x的焦点坐标是的焦点坐标是(1,0)，故圆故圆C的方程是的方程是x2(y1)210.x2(y1)210例3如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，中，点点A(0,3)，直线，直线l：y2x4.设圆设圆C的半的半径为径为1，圆心在，圆心在l上上.(1)若圆心若圆心C也在直线也在直线yx1上，过点上，过点A作圆作圆C的切线，求切线的方程；的切线，求切线的方程；热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系思维启迪 先求出圆先求出圆C的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；解由由题题设设，圆圆心心C是是直直线线y2x4和和直直线线yx1的交点，解得点的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在于是切线的斜率必存在.设过设过A(0,3)的圆的圆C的切线方程为的切线方程为ykx3，故所求切线方程为故所求切线方程为y3或或3x4y120.(2)若若圆圆C上上存存在在点点M，使使|MA|2|MO|，求求圆圆心心C的的横横坐标坐标a的取值范围的取值范围.思维启迪 将将|MA|2|MO|化化为为M点点坐坐标标满满足足的的条条件件后后，可可知知点点M是两圆的交点是两圆的交点.解因为圆心在直线因为圆心在直线y2x4上，上，所以圆所以圆C的方程为的方程为(xa)2y2(a2)21.设点设点M(x，y)，因为，因为|MA|2|MO|，化简得化简得x2y22y30，即，即x2(y1)24，所以圆心所以圆心M在以在以D(0，1)为圆心，为圆心，2为半径的圆上为半径的圆上.由题意，点由题意，点M(x，y)在圆在圆C上，所以圆上，所以圆C与圆与圆D有公共点，有公共点，则则21|CD|21，由由5a212a80，得，得aR；(1)讨讨论论直直线线与与圆圆及及圆圆与与圆圆的的位位置置关关系系时时，要要注注意意数数形形结结合合，充充分分利利用用圆圆的的几几何何性性质质寻寻找找解解题题途途径径，减减少少运运算算量量.研研究究直直线线与与圆圆的的位位置置关关系系主主要要通通过过圆圆心心到到直直线线的的距距离离和和半半径径的的比比较较实实现现，两两个个圆圆的的位位置置关关系系的的判判断断依依据据是是两两圆圆心心距距离离与与两半径差与和的比较两半径差与和的比较.思维升华(2)直直线线与与圆圆相相切切时时利利用用“切切线线与与过过切切点点的的半半径径垂垂直直，圆圆心心到到切切线线的的距距离离等等于于半半径径”建建立立切切线线斜斜率率的的等等式式，所所以以求求切切线线方方程程时时主主要要选选择择点点斜斜式式.过过圆圆外外一一点点求求解解切切线线段段长长可可转转化化为为圆圆心心到到圆圆外点距离，利用勾股定理处理外点距离，利用勾股定理处理.思维升华变式训练3(1)(2014重重庆庆)已已知知直直线线axy20与与圆圆心心为为C的的圆圆(x1)2(ya)24相相交交于于A，B两两点点，且且ABC为为等等边边三三角形，则实数角形，则实数a_.因为因为ABC为等边三角形，所以为等边三角形，所以|AB|BC|2，(2)两两个个圆圆C1：x2y22axa240(aR)与与C2：x2y22by1b20(bR)恰恰有有三三条条公公切切线线，则则ab的最小值为的最小值为()A.6 B.3 C.3 D.3解析两两个个圆圆恰恰有有三三条条公公切切线线，则则两两圆圆外外切切，两两圆圆的标准方程为圆的标准方程为圆C1：(xa)2y24，圆圆C2：x2(yb)21，即即a2b29.所所以以3ab3，当当且且仅仅当当“ab”时时取取“”.”.所所以选以选C.答案C1.由由于于直直线线方方程程有有多多种种形形式式，各各种种形形式式适适用用的的条条件件、范范围围不不同同，在在具具体体求求直直线线方方程程时时，由由所所给给的的条条件件和和采采用用的的直直线线方方程程形形式式所所限限，可可能能会会产产生生遗遗漏漏的的情情况况，尤尤其其在在选选择择点点斜斜式式、斜斜截截式式时时要要注注意意斜斜率率不不存存在在的的情况情况.本讲规律总结2.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直直线线与与圆圆相相交交时时应应用用垂垂径径定定理理构构成成直直角角三三角角形形(半半弦弦长长，弦心距，圆半径弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆圆的的对对称称性性：圆圆关关于于圆圆心心成成中中心心对对称称，关关于于任任意意一一条条过圆心的直线成轴对称过圆心的直线成轴对称.3.直线与圆中常见的最值问题直线与圆中常见的最值问题圆圆上上的的点点与与圆圆外外点点的的距距离离的的最最值值问问题题，可可以以转转化化为为圆圆心心到到点点的的距距离离问问题题；圆圆上上的的点点与与直直线线上上点点的的距距离离的的最最值值问问题题，可可以以转转化化为为圆圆心心到到直直线线的的距距离离问问题题；圆圆上上的的点点与与另另一一圆圆上上点点的的距距离离的的最最值值问问题题，可可以以转转化化为为圆圆心心到到圆圆心心的的距离问题距离问题.4.过过两两圆圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的的交交点点的的圆圆系系方方程程为为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.5.两两圆圆相相交交，将将两两圆圆方方程程联联立立消消去去二二次次项项，得得到到一一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014江江苏苏)在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOy中中，直直线线x2y30被圆被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为截得的弦长为_.解析圆心为圆心为(2，1)，半径，半径r2.真题感悟212.(2014课课标标全全国国)设设点点M(x0,1)，若若在在圆圆O：x2y21上上存存在在点点N，使使得得OMN45，则则x0的的取取值值范范围围是是_.解析如图，过点如图，过点M作作O的切线，的切线，切点为切点为N，连接，连接ON.M点的纵坐标为点的纵坐标为1，MN与与O相切于点相切于点N.真题感悟21x0的取值范围为的取值范围为1,1.答案1,1押题精练1231.在在直直角角坐坐标标系系xOy中中，已已知知A(1,0)，B(0,1)，则则满满足足|PA|2|PB|24且在圆且在圆x2y24上的点上的点P的个数为的个数为_.解析设设P(x，y)，则由，则由|PA|2|PB|24，得得(x1)2y2x2(y1)24，xy2，满满足足条条件件的的点点P的的个个数数转转化化为为直直线线xy2和和圆圆x2y24的交点个数，的交点个数，直线与圆相交，直线与圆相交，点点P有有2个个.2押题精练1232.如如果果圆圆C：x2y22ax2ay2a240与与圆圆O：x2y24总相交，则实数总相交，则实数a的取值范围是的取值范围是_.解析将将圆圆C：x2y22ax2ay2a240变变形形为为(xa)2(ya)24，可知圆心为可知圆心为C(a，a)，半径为，半径为r2.圆圆O：x2y24的圆心为的圆心为O(0,0)，半径为，半径为R2.押题精练1233.若若圆圆x2y2r2(r0)上上有有且且只只有有两两个个点点到到直直线线xy 2 0的的 距距 离离 为为 1，则则 实实 数数 r的的 取取 值值 范范 围围 是是_.要要使使圆圆上上有有且且只只有有两两个个点点到到直直线线xy20的的距距离离为为1，押题精练123