选修222椭圆的简单几何性质.ppt
复习：复习：1.椭圆的定义:平面内，到两定点平面内，到两定点F1、F2的距离之和为常数的距离之和为常数（大于（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时F2F1Oxy椭圆关于y轴对称。椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质F2F1Oxy椭圆关于x轴对称。A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称。椭圆的对称性椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象方程不变，图象 关于原点成中心对称。关于原点成中心对称。yxOP(x,y)P1(-x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)对称性对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。已知点（已知点（3，2）在椭圆）在椭圆上，则还有那些点也在椭圆上？上，则还有那些点也在椭圆上？看图看图2、椭圆的顶点、椭圆的顶点令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质 -axa,-byb 知知 椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab3、范围：、范围：aF2F1OB2B1A1A2xycb容易算得：容易算得：B2F2=a B B2 2F F2 2O O叫椭圆的叫椭圆的特征三角形特征三角形。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 观察观察上面椭圆的形状有什么变化？Oxy扁平的程度不同扁平的程度不同Oxy如图，a不变，也即，a不变，把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率离心率，用e表示，即b越小越小，椭圆越扁扁。c越大越大，椭圆越扁扁。总结：总结：椭圆的离心率椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度的量)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。2离心率的取值范围：离心率的取值范围：3离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0eb)b.(ab)a2=b2+c2(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)-b x b,-a ya-b x b,-a ya例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成：的两部分，且经过点的两部分，且经过点方法二：设方程为方法二：设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），），将点的坐标方将点的坐标方程，求出程，求出m1/9,n1/4。解解：方法一：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交方法一：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定型；定型；定量定量或或 或或练习：练习：1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。根据下列条件，求椭圆的标准方程。长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8和和6 6，焦点在，焦点在x x轴上轴上 长轴和短轴分别在长轴和短轴分别在y y轴，轴，x x轴上，经过轴上，经过P(-2,0)P(-2,0)，Q(0,-3)Q(0,-3)两点两点.一焦点坐标为（一焦点坐标为（3 3，0 0）一顶点坐标为（）一顶点坐标为（0 0，5 5）两顶点坐标为（两顶点坐标为（0 0，6），且经过点（），且经过点（5，4）焦距是焦距是1212，离心率是，离心率是0.60.6，焦点在，焦点在x x轴上。轴上。2.2.已知椭圆的一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）点）点B B，C C是短是短轴的两端点，轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭圆的是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。标准方程。练习练习3.已知椭圆已知椭圆 的离心率的离心率 求求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。标、顶点坐标。例例3 (1)椭圆椭圆 的左焦点的左焦点 是两个顶点，如果到直线是两个顶点，如果到直线AB的距的距 离为离为 ，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率e=。(2)设设M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，为椭圆的焦为椭圆的焦 点，如果点，如果 ，求椭圆的离心，求椭圆的离心率。率。P为椭圆为椭圆 上任意一点，上任意一点，F1、F2是焦点，则是焦点，则F1PF2的最大值是的最大值是_。观察观察例例4 4 已知已知x x轴上的一定点轴上的一定点A A（1,01,0），），Q Q为椭圆为椭圆 上的动点，求上的动点，求AQAQ中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程.MAQ2-2xOy解：设动点解：设动点M的坐标为的坐标为(x,y)，则，则Q的坐标为的坐标为(2x-1,2y)因为因为Q点为椭圆点为椭圆 上上的点的点 所以有 即 所以点M的轨迹方程是 小结：小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个了解了研究椭圆的几个基本量基本量a a，b b，c c，e e及顶点、及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握握数与形数与形的联系。在本节课中，我们运用了的联系。在本节课中，我们运用了几何性几何性质质，待定系数法待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了准确体现了函数与方程函数与方程以及以及分类讨论分类讨论的数学思想。的数学思想。
