角平分线的性质.pptx
15.4 角平分线的性质角平分线的性质八年级数学沪科版八年级数学沪科版安徽省太湖县弥陀初中安徽省太湖县弥陀初中 陈四亚陈四亚2.叫做全等三角形。互相重合的角叫做互相重合的边叫做 其中：互相重合的顶点叫做 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点知识回顾知识回顾 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求全等于全等于字母位置对应知识回顾：知识回顾：三角形三角形 全等的条件：全等的条件：1 1）定义（重合）法；）定义（重合）法；SSSSSS；SASSAS；ASAASA；AAS.AAS.2 2）解题中）解题中常用的常用的4 4种种方法方法3）HL直角三角形全等用直角三角形全等用复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长思考：思考：复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点 到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。PABO我的我的长度长度探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角三角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)2)结论结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）DP PEAOBC角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说AOBPED用符号语言表示为：用符号语言表示为：1=2 1=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角角的的平分线上的点到角的两边的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。1、如图，、如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）2、如图，、如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）3、AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已（已知）知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等4、如图，、如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，又又 _ PD=PE ()PD OA，PE OBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离到角的两边的距离相等相等)【类型一】利用角平分线的性质求线段的长度例例1：如图，在：如图，在ABC中，中，C90，ACBC，BAC的平分线的平分线AD交交BC于于D，DE AB于于E，若，若AB7cm，则，则DBE的周长是的周长是_【类型一】利用角平分线的性质求线段的长度例例2：如图，：如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DE AB，垂足为，垂足为E，S ABC7，DE2，AB4，则，则AC的长是的长是()A.6 B.5 C.4 D.3【类型二】角平分线的性质和三角形面积的综合【类型三】利用角平分线的性质证明线段相等例例3：如图，在：如图，在ABC中，中，C90，AD是是BAC的平分线，的平分线，DE AB于于E，F在在AC上，上，BDDF.求证：求证：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等逆命题角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.你能证明吗？如图，PDOA、PEOB,垂足分别是 D、E，PD=PE求证：点P在AOB的角平分线上证明：作射线OP,PDOA,PEOB,PDO=PEO=90.在RtPDO和RtPEO中，OP=OP,PD=PE,RtPDORtPEO(HL).BADOPEAOP=BOP ,点P在AOB角平分线上.所以该逆命题成立1、如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F BM为为ABC的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF.PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等你能得出什么结论？你能得出什么结论？结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上如图，如图，的的的外角的平分线与的外角的平分线与的外的外角的平分线相交于点角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相求证：点到三边，所在直线的距离相等等F FGH更上一层楼！更上一层楼！思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路例例4：如图，已知点：如图，已知点P到到BE，BD，AC的距离恰好的距离恰好相等，则点相等，则点P的位置：的位置：在在B的平分线上；的平分线上；在在DAC的平分线上；的平分线上；在在ECA的平分线上；的平分线上；恰恰是是B，DAC，ECA三条角平分线的交点，上三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有述结论中，正确结论的个数有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个【类型一】判断点是否在角平分线上 例例5：如图，：如图，BECF，DE AB交交AB的延长线的延长线于点于点E，DF AC于点于点F，且，且DBDC，求证：，求证：AD是是BAC的平分线的平分线【类型二】角平分线的判定例6：已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？回味无穷回味无穷w定理（文字语言）定理（文字语言）:角平分线上的点角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到这个角的两边的距离相等.w符号语言：符号语言：w1 12 PDOA,PEOB(2 PDOA,PEOB(已知）已知）PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE，1 1、在、在RtABCRtABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如如图图,OC,OC是是AOBAOB的的平平分分线线,点点P P在在OCOC上上,PD,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂垂 足足 分分 别别 是是 D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用1.1.如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F，DE=DFDE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABC ABC 的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习
