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第第2222章章 二次函数二次函数 数学活动课数学活动课2 江西省江西省广丰区永丰中学广丰区永丰中学 纪志强纪志强2.已知线段已知线段AB,作出线段作出线段AB的垂直平分线的垂直平分线 ，在，在 上任取一点上任取一点P，连接，连接PA,PB,则则PA与与PB 数量关系是数量关系是 一、复习引入一、复习引入1.请你说说角平分线的判定定理请你说说角平分线的判定定理 PA=PB你的根据是什么？你的根据是什么？3.如图在平面直角坐标系中有一些点，请回答：如图在平面直角坐标系中有一些点，请回答：点B（3，2）到x轴的距离是 ；2点C（-2，3）到y轴的距离是 _ 2点D(-1,4)到原点的距离是 ；点C（-2，3）到点A（0，2）的距离是 ；坐标系中任意一点P（x,y)到x轴的距离可以表示为 _ y到y轴的距离可以表示为 ，x到原点的距离可以表示为 ，到点A（0，2）的距离可以表示为 。（1）如图，在平面直角坐标系）如图，在平面直角坐标系中，点中，点A的坐标是（的坐标是（0，2）。）。完成以下作图步骤：完成以下作图步骤：在在x轴上任取一点轴上任取一点M，连接连接AM,作线段作线段AM的垂直平的垂直平分线分线 ,过点过点M作作x轴的垂线轴的垂线 ,记记 ,的交点为的交点为P.在在x轴上多次改变点轴上多次改变点M的位置，的位置，用用 的方法得到相应的点的方法得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线连接把这些点用平滑的曲线连接起来。起来。观察画出的曲线观察画出的曲线L，猜想它是，猜想它是我们学过的哪种曲线。我们学过的哪种曲线。活动（活动（动手操作动手操作 合作交流）合作交流）（2）对于曲线）对于曲线L上任意上任意一点一点P，线段，线段PA与与PM有有什么关系？设点什么关系？设点P的坐的坐标是（标是（x,y)，你能由，你能由PA与与PM的关系得到的关系得到x,y满满足的关系式吗？你能由足的关系式吗？你能由此确定曲线此确定曲线L是哪种曲是哪种曲线吗？线吗？你得出的结论与先前你你得出的结论与先前你的猜想一样吗的猜想一样吗反馈展示反馈展示 观察猜想观察猜想反馈展示反馈展示 观察猜想观察猜想 探究验证探究验证1，若是抛物线，它是不是对应着一个二次函数？你能不能确立它，若是抛物线，它是不是对应着一个二次函数？你能不能确立它的解析式？的解析式？2，这样是否意味着，我们所有求作的点这样是否意味着，我们所有求作的点P，包括按作图要求，包括按作图要求能作出但还未来得及作出的所有点能作出但还未来得及作出的所有点P都在二次函数都在二次函数y=上的图像上呢，或者说它们的坐标都满足上的图像上呢，或者说它们的坐标都满足y=对于曲线对于曲线L上上 的任意一点的任意一点P，它在线段，它在线段AM的的 垂直垂直 平分线平分线上，则上，则线段线段PA与与PM的数量关系是的数量关系是 PA=P M，你的根据是，你的根据是 设点P的坐标是（x,y),由M在x轴上，且PMx轴，则PM可表示为 ，由A（0，2），PA是指点P到点A的距离可表示为 ，请根据和试着得到x,y满足的关系式。根据得到的x,y之间的关系式，它与之前求得的解析式一样吗？你能由此最终确定曲线L是哪种曲线吗所得的结论与之前猜想一样吗?-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 xy54321-1-2-3-4-5 A（0，2）MPO如何证明这条曲线如何证明这条曲线就是抛物线呢？如何确就是抛物线呢？如何确定解析式呢？在坐标系定解析式呢？在坐标系中，如何能将横、纵坐中，如何能将横、纵坐标联系在一起呢？标联系在一起呢？l1l2L-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 xy54321-1-2-3-4-5 A（0，2）MPO过点过点 A 作作 ABPM，连接，连接PA在在 RtPAB 中，中，有有PB 2+AB 2=PA 2 是线段是线段AM的垂直平分线，的垂直平分线，P在在 上，上，PA=PM=y，PM x轴，轴，P（x,y)AB=x,PB=y-2 即即整理得整理得从而说明曲线从而说明曲线 L 是抛物线是抛物线l1l2LB（y-2）+x 2=y 22 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+2的图像的图像,该该抛物线上任取一点抛物线上任取一点M，请按如下步骤完成作图：，请按如下步骤完成作图：连接OM确定线段OM的中点，并描出，标记为点P.在抛物线上多次改变点M的位置，按照至的步骤得到相应点P，把标记的所有点P用平滑的曲线连接起来。观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线。对于曲线L上的任意一点P，PO与PM有什么数量关系，设点P的坐标（m,n),由PO与PM 关系，你能写出的M的坐标吗？（用m,n的式子表示），由此你得到m,n满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？所得的结论与之前猜想一样吗？活动小结活动小结 本节课我们探讨了关于二次函数的数本节课我们探讨了关于二次函数的数学活动课学活动课.经历了操作、经历了操作、观察、猜想、探究验证发观察、猜想、探究验证发现数学图形的奇妙与美感！现数学图形的奇妙与美感！在本次活动中在本次活动中，你还有哪些疑惑，你还有哪些疑惑？你还体验到了收获吗你还体验到了收获吗？有哪些？有哪些？青春寄语青春寄语 我们珍惜，让飞翔的梦想在六月张我们珍惜，让飞翔的梦想在六月张开翅膀；开翅膀；我们奋斗，让青春的智慧在六月发出我们奋斗，让青春的智慧在六月发出光芒；光芒；我们拼搏，让父母恩师在六月畅想希我们拼搏，让父母恩师在六月畅想希望；望；只有想不到的，没有做不到的，没有只有想不到的，没有做不到的，没有比人更高的山，没有比脚更长的路！比人更高的山，没有比脚更长的路！教科书复习题教科书复习题 22第第 9 题题 另见本节课的课后作业另见本节课的课后作业课课后作后作业业
