13.4课题学习最短路径问题课件.ppt

八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题西四中学西四中学 张琪张琪 两点之间两点之间,线段最短线段最短情境引入情境引入测量跳远成绩，运用的是我们学过的什么测量跳远成绩，运用的是我们学过的什么数学知识？数学知识？情境引入情境引入垂线段最短唐朝诗人在古从军行中写道：唐朝诗人在古从军行中写道：“白日登山望峰火，白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到家地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到家B地，到河边地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAlABlC为什么？探索新知探索新知后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？呢？探索新知探索新知BAl这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两两地抽象为两个点，将河个点，将河l 抽象为一条抽象为一条直线直线 BAl追问追问你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？当点当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小的和最小 BAlC探索新知探索新知提示二：提示二：你能利用轴对称你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合的有关知识，找到上问中符合条件的点条件的点B吗？吗？如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一是直线上的一个动点，当点个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA提示一：提示一：如何将如何将B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上上的任意一点的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？小组讨论小组讨论作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一个是直线上的一个动点，当点动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC除了作点除了作点B B关于直线关于直线l l的对称点以外，的对称点以外，还有没有别的作法？还有没有别的作法？BlABC证明：如图，在直线证明：如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC 在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCCBlABC若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就说明，就说明AC+BC 最小最小 BlABCC证明证明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取任取一点一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的意义是什么？的意义是什么？如图，如果将军从指挥部如图，如果将军从指挥部A A地出发，先到河边地出发，先到河边a a某一处饮马，再到草地边某一处饮马，再到草地边b b某一处牧马，然后某一处牧马，然后来到军营来到军营B B地，请画出最短路径地，请画出最短路径.回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？助什么解决问题的？轴对称轴对称BlABC【练习【练习1 1】如图，直线】如图，直线L L是一条河，是一条河，P P、Q Q是两个村庄，欲在是两个村庄，欲在L L上的某处修建一个水泵站，向上的某处修建一个水泵站，向P P、Q Q两地供水，现有四种铺两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）D勇攀高峰勇攀高峰勇攀高峰勇攀高峰练习练习2 2如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥QR【思考【思考1 1】已知如图，点】已知如图，点A A和两条直线和两条直线m m和和n n，你能在直线你能在直线m m、n n上分别找一点上分别找一点P P、Q Q，使得，使得AP+PQ+AQAP+PQ+AQ的值最小吗？的值最小吗？【思考【思考2 2】已知如图，点】已知如图，点A A、点、点B B和两条直线和两条直线m m和和L L，你还能在直线，你还能在直线m m、l l上分别找一点上分别找一点P P、Q Q，使得，使得AP+PQ+BQAP+PQ+BQ的值最小吗？的值最小吗？小结小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。论，最后再将结论运用到实际问题里。利用轴对称将最短路径问题转化为利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”问题问题练习练习3布置作业布置作业【题目题目A A】1.1.如图如图1,1,在边长为在边长为1 1的等边三角形的等边三角形ABCABC中中,点点D D是是ACAC的中点的中点,AEBC,AEBC，点，点P P是是AEAE上任一点上任一点,则则PC+PDPC+PD的最小的最小值为值为 。2.2.如图如图2 2，正方形，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8，M M在在DCDC上，且上，且DMDM2 2，N N是是ACAC上的一动点，上的一动点，DNDNMNMN的最小值为的最小值为 。【题目题目B B】在在AOBAOB内有一点内有一点P P，在射线，在射线OAOA上找一点上找一点M M，在，在射线射线OBOB上找一点上找一点N N，使，使的周长最短。的周长最短。PAOB已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.AMONBC分析：当分析：当AB、BC和和AC三条边的长度恰好能够体三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小现在一条直线上时，三角形的周长最小练习三练习三如图，在锐角如图，在锐角ABC中，中，AB4 ，BAC45，BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D，M、N分别是分别是AD和和AB上的动上的动点，则点，则BM+MN的最小值是的最小值是 勇攀高峰勇攀高峰