判定平行四边形地五种方法.doc

'' 判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判 别 例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,且 AE=CF,试说明四边形 DEBF 是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角 线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接 BD. 解：连接 BD 交 AC 于点 O. 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AO=CO,BO=DO. 又 AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF,即 EO=FO. 所以四边形 DEBF 是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例 2 如图 2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形， 请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形 的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形 是平行四边形”进行判别. 解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形 ABCF 是平行四边形. 同样可知四边形 FCDE、四边形 ACDF 都是平行四四边形. 因为 AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形 ABDE 也是平行四 边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判 别 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两 点，AE=CF,DF=BE,DFBE，试说明四边形 ABCD 是平行四 边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形 ABCD 是平 行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADF CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且 相等” 的条件. 解：因为 DFBE，所以AFD=CEB. 因为 AE=CF,所以 AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.又 DF=BE, 所以ADFCBE，所以 AD=BC，DAF=BCE， 所以 ADBC.所以四边形 ABCD 是平行四边形.A C图 2B C图 2C C图 2D C图 2O C图 2E C图 2F C图 2图 1图 2ABCDEFA 图 3CDEFB''四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，DAB、BCD 的平分线分别交 BC、AD 边于点 E、F，则四边形 AECF 是平 行四边形吗？为什么？ 分析：由平行四边形的性质易得 AFEC，又题目中给出 的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考 虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别. 解：四边形 AECF 是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，DAB=BCD，所以 AFEC.又因为1=DAB，2=BCD，21 21所以1=2.因为 ADBC，所以2=3， 所以1=3，所以 AECF. 所以四边形 AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行； （2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等； （4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以 近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行 如图 1，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CFAFBDCE 图 1ABCDEF图 4132''(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证BDEFEC 证明：ABC 是等边三角形， BC=AC，ACD=60° CD=CE，BD=AE，EDC 是等边三角形 DE=EC，CDE=DEC=60°BDE=FEC=120° 又EF=AE，BD=FE，BDEFEC （2）四边形 ABDF 是平行四边形 理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF 都是 等边三角形CDE=ABC=EFA=60° ABDF，BDAF 四边形 ABDF 是平行四边形。 点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证 截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时， 可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平 行四边形。 二、一组对边平行且相等 例 2已知：如图 2，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上 一点，延长 BC 到 E，使 CE=CG，连结 BG 并延 长交 DE 于 F (1)求证：BCGDCE；(2)将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90°得到DAE，判 断四边形 EBGD 是什么特殊四边形？并说明理由。 分析：（2）由于 ABCD 是正方形，所以有 ABDC，又通过旋转 CE=AE已知 CE=CG，所以 EA=CG，这样就有 BE=GD，可证 EBGD 是平行 四边形。 解：（1）ABCD 是正方形， BCD=DCE=90°又CG=CE，BCGDCE （2）DCE 绕 D 顺时针 旋转 90°得到DAE， CE=AE，CE=CG，CG=AE， 四边形 ABCD 是正方形 BEDG，AB=CD''AB-AE=CD-CG，即 BE=DG 四边形 DEBG 是平行四边形 点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相 等，即可得这个四边形是平行四边形 三、两组对边分别相等 例 3如图 3 所示，在ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边ABD，等边ACE， 等边BCF。 求证：四边形 DAEF 是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形 DAEF 的两组 对边分别相等，从而四边形 DAEF 是平行四边形。 解：ABD 和FBC 都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60° DBF=ABC 又BD=BA，BF=BC ABCDBF AC=DF=AE 同理ABCEFCAB=EF=AD 四边形 ADFE 是平行四边形 点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。 四、对角线互相平分 例 4 已知：如图 4，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，AEBD 于 E，BFAC 于 F，CGBD 于 G，DHAC 于 H，求证：四边形 EFGH 是平行四边 形。图 4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这 些条件与四边形 EFGH 的对角线有关，若能证出 OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。''证明：AEBD，CGBD， AEO=CGO， AOE=COG，OA=OC AOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH 四边形 EFGH 是平行四边形 点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对 角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。 五、两组对角相等 例 5 将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一 起四边形 ABCD 是平行四边形吗？理由 。 (1)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt B1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？ 说出你的结论和理由： 。 分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形 的两组内角相等解决问题。 解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30°+90°=120°，ADC=ADB+CDB=90°+30°=120° 又A=60°，C=60°， ABC=ADC，A=C （2）四边形 ABC1D1是平行四边形，理由如下： 将 RtBCD 沿射线方向平移到 RtB1C1D1的位置''时，有 RtC1BB1RtADD1 C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1 有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1= BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB 所以四边形 ABC1D1是平行四边形 点评：（2）也可这样证明：由（1）知 ABCD 是平 行四边形，ABCD，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置 时，始终有 ABC1D1，故 ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的 判定问题，可从以下几个方面去考虑： 一、考虑“对边”关系 思路 1：证明两组对边分别相等 例 1 如图 1 所示，在ABC 中，ACB90°，BC 的垂 直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且 AFCE.求证：四边形 ACEF 是平行四边形. 证明：DE 是 BC 的垂直平分线， DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90°. DFAC .CE = AE =AB.211 = 2 . =ABCDEF（图 1）123''又EFAC，AF = CE = AE ，2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF . 四边形 ACEF 是平行四边形. 思路 2：证明两组对边分别平行 例 2 已知：如图 2，在ABC 中，ABAC，E 是 AB 的 中点，D 在 BC 上，延长 ED 到 F，使 ED = DF = EB. 连结 FC. 求证：四边形 AEFC 是平行四边形. 证明：ABAC，B =ACB. ED = EB，B =EDB.ACB =EDB. EFAC. E 是 AB 的中点，BD = CD. EDB =FDC，ED = DF，EDBFDC. DEB =F. ABCF. 四边形 AEFC 是平行四边形. 思路 3：证明一组对边平行且相等 例 3 如图 3，已知平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，AE = CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点. 求证：四边形 ENFM 是平行四边形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD = BC，A =C . 又AE = CF，ADECBF. 1 =2，DE = BF . M、N 分别是 DE、BF 的中点，EM = FN . DCAB，3 =2.1 =3. EM FN . 四边形 ENFM 是平行四边形.二、考虑“对角”关系 思路：证明两组对角分别相等 例 4 如图 4，在正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别是 AD、BC 的中点. 求证：（1）ABECDF； （2）四边形 BFDE 是平行四边形. 证明：（1）在正方形 ABCD 中，AB = CD，AD = ABC DEFEABCD1234（图 4）FABCDEFMN3321''BC，A =C =90°，AE =AD，CF =BC，21 21AE = CF. ABECDF. （2）由（1）ABECDF 知，1 =2，3 =4. BED =DFB. 在正方形 ABCD 中，ABC =ADC，EBF =EDF. 四边形 BFDE 是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分 例 5 如图 5，在平行四边形 ABCD 中， P1、P2是对角 线 BD 的三等分点. 求证：四边形 AP1CP2是平行四边形. 证明：连结 AC 交 BD 于 O. 四边形 ABCD 是平行四边形， OA = OC，OB = OD. BP1 = DP2 ，OP1 = OP2 . 四边形 AP1CP2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边 形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了 更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件 总结如下。 1 利用定义或定理直接识别平行四边形 1.1 两组对边分别平行，如图 1,ABCD,ADBC。 1.2 两组对边分别相等，如图 1,AB=CD,AC=BC。 1.3 两组对角分别相等， 如图 1,ABC=ADC,BAD=BCD。 1.4 一组对边平行且相等，如图 1,ABCD,AB=CD。 1.5 两条对角线互相平分，如图 1,OA=OC,OB=OD。 2 利用定义和定理间接识别平行四边形 2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图 1,ABCD,ABC=ADC。ABCDOP1P2（图 5）图 1ODCBA''证明：ABCD ABC+BCD=180° 又 ABC=ADC ADCBCD180° ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行) 2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如 图 1, ABCD，OA=OC。 证明：ABCD BAC=DCA 在AOB 和 COD 中，BAC=DCA，OA=OC，AOB=COD AOBCOD(ASA) AB=CD 四边形 ABCD 是平行 四边形（一组对边平行且相等） 2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角， 如图 1,DAB+ABC=180°,ABC+BCD=180°。 证明：DAB+ABC=180° ADBC 又ABC+BCD=180° ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边平 行） 3 不能识别为平行四边形 3.1 两组不同的邻角互补， 如图 2,A+B=180°, C+D=180°,可以画出梯形。 3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对 边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条 件。两组邻边相等，如图 3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边 形。两对邻角相等，如图 4, A=D,B=C,可以画出等腰 梯形。 3.3 一组对边平行且另一组对边相等， 如图 4,ADBC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。 3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边 形。反例作图方法,如图 5：作ABC,在边 BA 上确定点 A,在边 BC 上确定点 C,过点 A、B、C 作O1,以点 C 为圆心，以线段 AB 长为半径作C,以 AC 为弦作O1 的等圆O2,交C 于 D、E 两点，则四边形 ABCD 为平行 四边形，而四边形 ABCE 即为符合条件的非平行四边形， 即 AB=CE,ABC=AEC。 3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对 角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图 6：作线段 AB,过线段 AB 的中点 O 作直线 CD,过点 B 作 BECD,垂足为 E,以点 E 为圆 心，小于线段 OE 的长为半径作E,交 CD 于 F、G 两点，以点 A 为圆心，BF 长为半径作 A,交直线 CD 于 H、I 两点，则四边形 AGBH图 4DCBA图 2DCBA图 3DCBA图 5O2O1EDCBA图 6IHGFE D C OBA''和四边形 AFBI 为平行四边形，而四边形 AGBI 和四边形 AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形 AGBI 中， AI=BG,OA=OB。 说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤 平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四 边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路 进行说明 一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用 “两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形” 例 1 如图 1，在ABC 中，AD 是角的平分线，DE/AC 交 AB 于点 E，EF/BC 交 AC 于点 F，试说明 AE=CF''图 1 分析：由 AD 是角的平分线，可知1=2，由 DE/AC， 可知2=3，所以1=3，即可得 AE=ED，要说明 AE=CF，可转化为说明 ED=EC，因此，只需说明四边形 EDCF 是平行四边形就可以了 解：因为1=2，2=3，所以1=3，所以 AE=ED， 又因为 DE/AC，EF/BC，所以四边形 EDCF 是平行四边形 （两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 所以 ED=CF，所以 AE=CF 二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两 组对角分别相等的四边形是平行四边形” 例 2 如图 2，AE、CF 分别是 ABCD 的内角 DAB、BCD 的平分线，试说明四边形 AECF 是平行四边 形图 2 解：在 ABCD 中，因为DAB=BCD，又因为1=DAB，2=BCD，21 21所以，1=2， 因为 AB/CD，所以3=1，4=2， 所以3=4，所以5=6， 所以四边形 AECF 是平行四边形 三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用 “两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”''例 3 如图 3，在ABCD 中，AC、BD 相交于 O，EF 过 O 分别交 AD、BC 于 E、F，GH 过 O 分别 AB、CD 交于 G、H试说明四边形 EGFH 是平行四边形图 3 解：在ABCD 中，因为 AB/CD，所以1=2， 因为 OA=OC，3=4，所以AOGCOH，所以 OG=OH， 同理 OE=OF， 所以四边形 EGFH 是平行四边形构造平行四边形解题山东 邹殿敏 平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分许多几何问题可以通过添加辅助 线，构造平行四边形加以解决 一、求线段的长 例如图 1，在正ABC 中，P 为边 AB 上一点，Q 为边 AC 上一点，且 AP=CQ今量得 A 点与线段 PQ 的中点 M 之 间的距离是 19cm，则 P 点到 C 点的距离等于 cm 分析：作 QD/AB，交 BC 于点 D，连接 PD，MD由 ABC 为正三角形，易知 BP=BD，AP=DQ，所以四边形 APDQ 为平行四边形所以 AMD 是平行四边形 APDQ 的对角线所 以 AD=2AM=2×19=38（cm） 由ABDCBP 可得 PC=AD所以 PC=38cmB D CPAMQ图 1E B CA D图 2''二、证明线段相等问题 例 2 如图 2，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，延长 CB 到 E，使 EB=AD，连接 AE求证：AE=AC 分析：连接 BD由 AD 与 BE 平行且相等，易知四边形 AEBD 是平行四边形，所以 BD=AE因为 AC=BD，所以 AE=AC三、证明线段和差问题 例 3 如图 3，ABC 中，D，F 是 AB 边上两点，且 AD=BF，作 DE/BC，FG/BC，分别交 AC 于点 E，G求证： DE+FG=BC 分析：作 GH/AB 交 BC 于点 H则四边形 BHGF 是平行 四边形所以 GH=BF=AD，FG=BH因为 DE/BC，GH/AB，所以1=C，A=2所以ADE GHC所以 DE=HC因为 BH+CH =BC，所以 DE+FG=BC四、证明线段倍分问题 例 4 如图 4，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延 长线上一点，且 CE=DC，连接 AE，分别交 BC，BD 于点 F，G，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF试说明：AB=2OF 分析：连接 BE易知四边形 ABEC 为平行四边形由“平B H CF G 2D 1 EA图 3EGOA DB F C图 4''行四边形的对角线互相平分”这一性质可得 BF=CF，AO=OC， 所以 OF 为CAB 的中位线，从而得出 AB=2OF 五、证明两直线平行问题 例 5 如图 5，ABC 中，E，F 分别是 AB，BC 边的中点， M，N 是 AC 的三等分点，EM，FN 的延长线交于点 D求证： AB/CD分析：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 BM，BN由 AE=BE，AM=MN 可得 ED/BN；由 BF=CF，MN=NC 可得 BM/FD所以四边形 BMDN 是平行四边形所以 OB=OD，OM=ON所以 OA=OC由此可得出四边形 ABCD 是平行四边形所以 AB/CD六、证明两直线垂直问题 例 6 如图 6，分别以ABC 的边 AB，AC 为一边在三角形 外作正方形 ABEF 和 ACGH，M 为 FH 的中点求证： MABC 分析：设 MA 的延长线交 BC 于点 D，延长 AM 至点 N， 使 MN=AM，连接 FN，HN则四边形 AHNF 为平行四边 形所以 FN=AH=AC，AFN+FAH=180°因为 BAC+FAH=180°，所以AFN=BAC因为 AF=AB，所 以AFNBAC所以1=2 因为1+3=90°，所以2+3=90°，所以 ADB=90°从而得出 MABCM EB F CA DNO图 5NHGFE2 B D C1 MA3图 6