第十七章 抽象与概括.ppt

第十七章抽象与概括第一节第一节 抽象概述与过程抽象概述与过程1 1、抽象概述抽象概述 抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。一般说来，人在思维过程中是把客观事物的某一般说来，人在思维过程中是把客观事物的某一方面特征与其他特征分别开来给予单独考虑的，一方面特征与其他特征分别开来给予单独考虑的，当然，还同时要求用概念、范畴、判断、理论等当然，还同时要求用概念、范畴、判断、理论等思维形式来固定这种思维形式来固定这种“单独考察单独考察”的结果。的结果。实际上，抽象是与具体相对应的概念，具体是实际上，抽象是与具体相对应的概念，具体是事物的多事物的多 种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另一些物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另一些性质的思维活动。性质的思维活动。抽象对于认识世界有着重要的意义，对数学认抽象对于认识世界有着重要的意义，对数学认识也具识也具有有十分重要的意义。十分重要的意义。在数学中，抽象可以用于在数学中，抽象可以用于“抽象的产物抽象的产物”、“抽象的过程抽象的过程”和和“抽象的方法抽象的方法”等几个意义。等几个意义。当我们说数学概念、数学理论等深刻地反映着当我们说数学概念、数学理论等深刻地反映着现实世界时，所指的就是抽象的产物、思维结果现实世界时，所指的就是抽象的产物、思维结果的抽象的抽象；当我们说由具体的量当我们说由具体的量“抽象抽象”出自然数的概念，出自然数的概念，由种种距离的测定中抽象出测度的概念时，所指由种种距离的测定中抽象出测度的概念时，所指的就是作为过程和方法的抽象。的就是作为过程和方法的抽象。2 2、抽象过程抽象过程 从感性认识出发，通过分析和比较，抽出共同从感性认识出发，通过分析和比较，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过综合得出简点，撇开差异性的内容和联系，通过综合得出简单的、基本的规定，这就是合理的抽象。单的、基本的规定，这就是合理的抽象。分析、比较和综合是抽象的基础，没有分析、分析、比较和综合是抽象的基础，没有分析、比较和综合，就找不到事物的异同，也不能区分比较和综合，就找不到事物的异同，也不能区分事物的本质属性和非本质属性。事物的本质属性和非本质属性。在抽象过程中，分析、比较和综合相互作用、相在抽象过程中，分析、比较和综合相互作用、相互渗透，抽象的具体过程也干差万别，但都包括互渗透，抽象的具体过程也干差万别，但都包括如下基本过程：分离、提纯、简略。如下基本过程：分离、提纯、简略。分离分离，就是暂时不考虑研究对象与其他各个对就是暂时不考虑研究对象与其他各个对象之间的种种联系。分离本身就是象之间的种种联系。分离本身就是一一种抽象，这种抽象，这是抽象的第一步。是抽象的第一步。【例】【例】研究某事物的数学现象研究某事物的数学现象，就撇开其物理、就撇开其物理、化学、生物等现象，确把特定的数学现象从总体化学、生物等现象，确把特定的数学现象从总体现象中抽取出来。现象中抽取出来。提纯，就是在思维中排除那些模糊的基本过程提纯，就是在思维中排除那些模糊的基本过程以及忽略非本质因素，在纯粹状态下对研究对象以及忽略非本质因素，在纯粹状态下对研究对象的性质和规律进行考察。这是抽象过程中最关键的性质和规律进行考察。这是抽象过程中最关键的一步。的一步。简略就是对提纯结果所作的必要处理，即对研简略就是对提纯结果所作的必要处理，即对研究结果的一种简化表达方式。简略也是一种抽象，究结果的一种简化表达方式。简略也是一种抽象，而且是抽象过程的一个必要环节。而且是抽象过程的一个必要环节。【例例】平行平行线线概念的形成概念的形成，观察观察“黑板相对的两边黑板相对的两边”、“笔直的两条铁轨笔直的两条铁轨”等等事物事物，撇开它们的不同用途、不同质地的材料、不同撇开它们的不同用途、不同质地的材料、不同的设置、不同的长短等属性，的设置、不同的长短等属性，通过分离通过分离，把黑板两边的关系把黑板两边的关系和和两条铁轨的关两条铁轨的关系抽取出来，提纯得到系抽取出来，提纯得到“在同一平面内永不在同一平面内永不相相交交”这这一一本质属性，本质属性，简略得到上面的简化表达方式简略得到上面的简化表达方式后，最后后，最后定性定定性定量地抽象表述为量地抽象表述为“在同一平面内永不相交的两条在同一平面内永不相交的两条直线叫平行线直线叫平行线”。在对事物进行抽象时还要按照以下原则进行：在对事物进行抽象时还要按照以下原则进行：规则规则l l：只有对具有确定联系的对象，或使分析：只有对具有确定联系的对象，或使分析有意义的对象才能进行比较。有意义的对象才能进行比较。【例例】实数与复数在性质上具有确定的联系，可实数与复数在性质上具有确定的联系，可以进行比较；三角形的边长和函数的可导性之以进行比较；三角形的边长和函数的可导性之间间就没有确定的联系，不能进行比较。就没有确定的联系，不能进行比较。规则规则2 2；比较应在同一标准下进行。要比较什么；比较应在同一标准下进行。要比较什么由抽象的需要决定，但在一种比较中要按同一标由抽象的需要决定，但在一种比较中要按同一标准。准。【例例】三角形可以比较它的边，也可以比较它的三角形可以比较它的边，也可以比较它的角，也可以同时比较它的边和角，但不能角，也可以同时比较它的边和角，但不能将将一个一个边边和一和一个角来进行比较。个角来进行比较。规则规则3 3：比较应能按一定的程序进行并在有限步：比较应能按一定的程序进行并在有限步内得出结果。内得出结果。这一规则保证这一规则保证“比较比较”能够能够“有效有效”的进行。的进行。【例例】自然数自然数“大小大小”的比较就是符合这条规则的比较就是符合这条规则的，它可按下述程序进行：的，它可按下述程序进行：位数不同的，位数较多的自然数较大；位数不同的，位数较多的自然数较大；位数相同的，先比较最高位的数，若不等，位数相同的，先比较最高位的数，若不等，则大小已判明；若相等，再比较下一位的数是否则大小已判明；若相等，再比较下一位的数是否相等，等等相等，等等；因为比较的两个自然数都是有限的，因此这个因为比较的两个自然数都是有限的，因此这个比较能在有限步内得出结果。比较能在有限步内得出结果。规则规则4 4：对同一性质作的比较应在所研究的所有：对同一性质作的比较应在所研究的所有对象间进行，也可以说，要进行完全比较。对象间进行，也可以说，要进行完全比较。【例例】对自然数能否被其他数整除作比较，可以对自然数能否被其他数整除作比较，可以发现发现，有的自然数除了有的自然数除了1 1和其自身外不能被其他自和其自身外不能被其他自然数整除，有的有两个以上小于其本身的然数整除，有的有两个以上小于其本身的、除、除1 1以以外的外的因数。因数。如果不比较如果不比较l l，那么这个比较就是不完全的。，那么这个比较就是不完全的。通过合乎规则的比较，就可以进一步对对象进通过合乎规则的比较，就可以进一步对对象进行分析，根据对象的共同点和不同点把对象分为行分析，根据对象的共同点和不同点把对象分为不同的类。不同的类。通过通过上例上例，我们可以进一步把自然数分为：我们可以进一步把自然数分为：1 1、质数和合数三类。质数和合数三类。第二节第二节 数学抽象的特征数学抽象的特征 数学抽象有以下特征：数学抽象有以下特征：数学抽象具有无物质性数学抽象具有无物质性 数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。数学抽象具有层次性数学抽象具有层次性 数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出数学抽象的层次性。学概念又表现出数学抽象的层次性。【例例】自然数概念是从客观事物中抽自然数概念是从客观事物中抽象象出来的，出来的，字字母母a a表示的数是在表示的数是在对对数的抽象后的结果。数的抽象后的结果。如如a a=bqbq，(a a，b b，q qz)z)就是对许多具体的整数的就是对许多具体的整数的整除性的抽整除性的抽象象的结果。的结果。如果说数的抽象是一级抽象，那么字母表示的如果说数的抽象是一级抽象，那么字母表示的数的抽象就是二级抽象，进而还有三级、四级抽数的抽象就是二级抽象，进而还有三级、四级抽象，等等。象，等等。数学抽象过程要凭借分析或直觉。数学抽象过程要凭借分析或直觉。在数学抽象中，表现为在数学抽象中，表现为分析型抽象分析型抽象的一般模式为的一般模式为:对对象象分离分离提纯提纯简略简略概念概念 分析型抽象中的分离，就是把事物的本质特征分析型抽象中的分离，就是把事物的本质特征从事物的所有属性中分离出来；从事物的所有属性中分离出来；提纯就是把分离出来的本质特征加以提炼，即提纯就是把分离出来的本质特征加以提炼，即把其中的非本质属性排除出去；把其中的非本质属性排除出去；简略就是把提纯出来的事物本质特征加以简化，简略就是把提纯出来的事物本质特征加以简化，把那些多余的属性省去。把那些多余的属性省去。直觉型抽象直觉型抽象，就是不通过分析过程或逻辑思维就是不通过分析过程或逻辑思维过程而一下子抓住事物的本质特征的一种抽象过过程而一下子抓住事物的本质特征的一种抽象过程。程。【例例】圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就是能够通过直觉去把握它的一种数学概念。对它是能够通过直觉去把握它的一种数学概念。对它的抽象要借助于直觉。的抽象要借助于直觉。但直觉并非一定正确，直觉只是发现的一种工但直觉并非一定正确，直觉只是发现的一种工具。只有经过证明的概念才是正确的。具。只有经过证明的概念才是正确的。【例例】圆锥曲线圆锥曲线的切线的切线并非一定并非一定是与是与曲线曲线只有一只有一个交点的直线，个交点的直线，有时有时与与曲线曲线只有一个交点的直线只有一个交点的直线是割线而非切线。是割线而非切线。在教学中，抽象的具体形式，按其内容特点来在教学中，抽象的具体形式，按其内容特点来划分，大致分为两大类。划分，大致分为两大类。表征性抽象表征性抽象 表征性抽象是在纯粹的理想的形态下，以可表征性抽象是在纯粹的理想的形态下，以可观察的事物现象的特征作为起点的一种抽象，数观察的事物现象的特征作为起点的一种抽象，数学中大多数概念就是表征性抽象的结果。学中大多数概念就是表征性抽象的结果。【例例】分数概念的形成。分数概念的形成。讲述讲述分数的意义时，分数的意义时，往往往往通过演示教具和操通过演示教具和操作作工工具，让学生把一个圆，具，让学生把一个圆，一个正方形，八根彩一个正方形，八根彩色小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其色小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；中的一份或几份；然后然后撇开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注撇开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注意它们等分的份数以及所取的意它们等分的份数以及所取的几几份。份。第三节第三节 抽象类型抽象类型 多次操作后，结合多次操作后，结合直直观图示得出：观图示得出：“把单位把单位1 1(可以是一个物体，也可以是几个同类的物体可以是一个物体，也可以是几个同类的物体)平均平均分成几份，表示其中的分成几份，表示其中的一一份或几份的数，叫做分份或几份的数，叫做分数数”。然后再介绍分数的表示方法及分数各部分的名然后再介绍分数的表示方法及分数各部分的名称，最后再让学生举出几个不同的分数并说出它称，最后再让学生举出几个不同的分数并说出它们表示的意义。们表示的意义。这样，通过动作思维这样，通过动作思维建立表象建立表象抽象思抽象思维维具体实例，分数的概念在学生头脑中就初具体实例，分数的概念在学生头脑中就初步形成了。步形成了。原理性抽象原理性抽象 原理性抽象是在表征性抽象的基础上形成的更原理性抽象是在表征性抽象的基础上形成的更高一个层次上的抽象。高一个层次上的抽象。原理性抽象已超出原理性抽象已超出一一般感性认识的范般感性认识的范围围，它把，它把握事物的因果关系及规律性的联系。这种抽象的握事物的因果关系及规律性的联系。这种抽象的结果则是性质、定理、原理等。结果则是性质、定理、原理等。【例例】同分母加法法则同分母加法法则的归纳的归纳。第第一一步，由观察图形的合并，抽象为分数的加步，由观察图形的合并，抽象为分数的加法运算。在这里摆脱了图形是圆或长方形等非本法运算。在这里摆脱了图形是圆或长方形等非本质特征，抽取出表示整体与部分的关系的数，并质特征，抽取出表示整体与部分的关系的数，并把把“合并合并”转化为加法运算，从图示中理解同分转化为加法运算，从图示中理解同分母加法的运算意义。母加法的运算意义。+=+=+=+=这这里里舍弃两个加法算式中具体的数舍弃两个加法算式中具体的数量量不不相相同的非本质特征，抽出它们共同的本质特同的非本质特征，抽出它们共同的本质特征征每道算式的分母相同，每道算式的分母相同，以及以及分数的单分数的单位相同，所以分母不变，分子直接相加。位相同，所以分母不变，分子直接相加。由此将上面的运算由此将上面的运算抽象概括为数学语言：抽象概括为数学语言：“同分母分数同分母分数相加相加，把分，把分子相子相加，分母不变加，分母不变”。第二步，观察思考两道算式的共同特征是第二步，观察思考两道算式的共同特征是什么什么?第三步，运用法则，开展演绎。考虑到提供抽第三步，运用法则，开展演绎。考虑到提供抽象材料的完整性，象材料的完整性，再组织再组织计算：计算：-约分约分-约分，化为整约分，化为整数数-约分，化为带分约分，化为带分数数然后进一步抽象出：然后进一步抽象出：“计算结果计算结果后后，能约分的，能约分的要约分，是假分数的要化成带分数或整数。要约分，是假分数的要化成带分数或整数。”最后综合为完整的数学结论最后综合为完整的数学结论：同分母同分母分数相加，分数相加，分分子相子相加，分母不变加，分母不变，应注意应注意结果结果，能约分的要约分，是假分数的要化成带分数能约分的要约分，是假分数的要化成带分数或整数。或整数。第四节第四节 概括概述与过程概括概述与过程 1 1、概括概述概括概述概括是一种由个别到一般的认识过程。概括是一种由个别到一般的认识过程。概括就是把同类事物的共同属性联结起来，概括就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。中去的思维方法。与抽象一样，概括这一概念也是既作为与抽象一样，概括这一概念也是既作为一种思维过程又可以作为这种思维过程所一种思维过程又可以作为这种思维过程所得到的结果来理解的。得到的结果来理解的。当我们说从个别事物的本质属性概括出同类事当我们说从个别事物的本质属性概括出同类事物的共同本质属性时，所用的就是物的共同本质属性时，所用的就是“思维过程思维过程”的含义；的含义；当我们说数学概念是对客观世界的某一领域的当我们说数学概念是对客观世界的某一领域的性质的高度概括时，所用的就是性质的高度概括时，所用的就是“思维结果思维结果”的的意义。意义。2 2、概括概括过程过程概括通常概括通常可可分为经验概括和理沦概括两种。分为经验概括和理沦概括两种。经验概括是从事实出发，以经验概括是从事实出发，以对对个别事物所做个别事物所做的观察陈述为的观察陈述为基基础，上升为普遍的认识础，上升为普遍的认识由对由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种种 的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、分析和扩张等几个主一个概括过程包括比较、分析和扩张等几个主要环节。要环节。比较和分析的具体做法与抽象过程中的一样，比较和分析的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较不过在概括过程中，通过比较和和分析要得到的是分析要得到的是某类对象的共同本质。某类对象的共同本质。扩张指的是把由比较分析得到的关于对象的扩张指的是把由比较分析得到的关于对象的共同点推广到包括这些对共同点推广到包括这些对象象的一类更的一类更广泛广泛的对象的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。括的关键。【例例】概括自然数求和公式。】概括自然数求和公式。由计算知由计算知：通过对以上通过对以上9 9个算式的比较、区分可得出一个个算式的比较、区分可得出一个共同点：连续若干个从共同点：连续若干个从1 1开始的自然数的和开始的自然数的和，等等于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。把这个共同点推广到所有的自然数，则有把这个共同点推广到所有的自然数，则有：在扩张中得到的关于更广泛的一类对象的新在扩张中得到的关于更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真的。为此，就要进行分析。的。为此，就要进行分析。分析实际上是一个演绎证明的过程，分析实际上是一个演绎证明的过程，必须必须证明证明扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对象的本质属性。象的本质属性。3 3、概括与抽象的关系概括与抽象的关系概括方法与抽象方法是不同的，但是它概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一些属性而提纯固定抽象是舍弃事物的一些属性而提纯固定出其固有的另一些属性的思维过程出其固有的另一些属性的思维过程。抽象得到的新概念与表述原来的对象的概抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。念之间不一定有种属关系。【例例】我们从现实存在的事物中抽象出我们从现实存在的事物中抽象出“重量重量”概念来，它与原来的概念来，它与原来的“物体物体”并无并无种属关系。种属关系。概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的发展到认识具有这种本质属性的一一切事物，从而切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。个属概念。【例例】在数学中可由平行四边形、菱形等图形概在数学中可由平行四边形、菱形等图形概念概括出念概括出“四边形四边形”概念，它是前几个概念的属概念，它是前几个概念的属概念，概念，还可以进一步由四边形、三角形等概念概括出还可以进一步由四边形、三角形等概念概括出“凸多边形凸多边形”的概念，它又是四边形、三角形等的概念，它又是四边形、三角形等概念的属概念。概念的属概念。概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必须的一个概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述环节，前述“提纯提纯”操作实际上也是一个操作实际上也是一个概括过程，有人就把概括过程，有人就把“提纯提纯”称之为概括，称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。属性，从而完成抽象过程。科学概念通常是抽象和概括共同采用的科学概念通常是抽象和概括共同采用的结果。结果。一般说来，概括的范围越广泛，得到的概念的一般说来，概括的范围越广泛，得到的概念的内涵就越少，即是说它所反映的事物的性质越普内涵就越少，即是说它所反映的事物的性质越普遍，实际反映的性质就越少遍，实际反映的性质就越少。因而从抽象的角因而从抽象的角度来看，其抽象程度也就越高；而概括度来看，其抽象程度也就越高；而概括范围范围较狭较狭窄的概念，也就是比较具体的概念。窄的概念，也就是比较具体的概念。反之，抽象程度越高的概念，其提纯的规范性反之，抽象程度越高的概念，其提纯的规范性就越少，反映的事物的本质属性就越多，因而其就越少，反映的事物的本质属性就越多，因而其概括的范围就越大；而较具体的概念，由于它反概括的范围就越大；而较具体的概念，由于它反映着事物的较多的规定性，因而反映的事物就越映着事物的较多的规定性，因而反映的事物就越少，其概括的范围也就越小。少，其概括的范围也就越小。由于抽象和概括是密切联系的两种方法。因此，由于抽象和概括是密切联系的两种方法。因此，人们常人们常将将抽象方法和概括方法统称为抽象概括方抽象方法和概括方法统称为抽象概括方法。法。第五节第五节 抽象与概括应用举例抽象与概括应用举例1 1、抽象分析方法及数学模型的基本思想抽象分析方法及数学模型的基本思想抽象本身就是分析的特殊形式。在数学中，我抽象本身就是分析的特殊形式。在数学中，我们常用抽象加分析构成的抽象分析方法，把实际们常用抽象加分析构成的抽象分析方法，把实际问题转化成数学模型。问题转化成数学模型。数学模型是指将一类事物或运动过程，用数学数学模型是指将一类事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系从数量上加以描述，使概念、公式以及逻辑关系从数量上加以描述，使人们能更深刻、更准确地认识其数量关系，把握人们能更深刻、更准确地认识其数量关系，把握它的结构特征。它的结构特征。数学模型的含义，从广义上讲，一切数学概念、数学模型的含义，从广义上讲，一切数学概念、数学公式、方程式、函数关系、数学理论体系，数学公式、方程式、函数关系、数学理论体系，以及由公式系列构成的算法系统，都可称为数学以及由公式系列构成的算法系统，都可称为数学模型，它们都是从各种相应的现实原型中抽象出模型，它们都是从各种相应的现实原型中抽象出来的。来的。【例】【例】自然数集是用以描述离散型数量的数学模自然数集是用以描述离散型数量的数学模型；型；函数函数y=y=kxkx(k k0)0)是一类具有正比例关系应用题是一类具有正比例关系应用题的数学模型。的数学模型。按狭义的解释，数学模型指反按狭义的解释，数学模型指反映映特定的问题或特定的问题或特定的数学关系的结构特定的数学关系的结构。【例】【例】和差、和倍问题、求平均数或行程问题、和差、和倍问题、求平均数或行程问题、按比例分配问题、鸡兔同笼问题、一笔画按比例分配问题、鸡兔同笼问题、一笔画成成、勾、勾股数等等股数等等，都，都叫做数学模型。叫做数学模型。把数学材料抽把数学材料抽象象概括成一定的关系和模式，概括成一定的关系和模式，可可以以使解题时，通过识别关系和模式，迅速找到解使解题时，通过识别关系和模式，迅速找到解题途径，从而使思维简化、推理过程缩短。题途径，从而使思维简化、推理过程缩短。这种这种将将数学材料形式化、结构化的过程，也就数学材料形式化、结构化的过程，也就是抽象概括的过程。是抽象概括的过程。2 2、实际问题转化为数学模型实际问题转化为数学模型 解答应用题的实质，是先把实际问题转化为数解答应用题的实质，是先把实际问题转化为数学模型，再研究数学模型中的数量关系，找到解学模型，再研究数学模型中的数量关系，找到解题途径，最后得到问题的解答。题途径，最后得到问题的解答。整个过程经过两次抽象：实际问题整个过程经过两次抽象：实际问题数量关数量关系的问题系的问题数学表达式。数学表达式。【例例】路线问题。路线问题。下图表示一幅道路交通图，从下图表示一幅道路交通图，从A A点点的家里的家里到到B B点点的轮渡码头，不准绕道的轮渡码头，不准绕道，只能向前，不只能向前，不能向后，只能向右，不能向左。问有几条路可能向后，只能向右，不能向左。问有几条路可走走?【分析】这是一个实际【分析】这是一个实际问题问题，由于，由于道路道路较多较多，难于逐条道路计数难于逐条道路计数，。但我们。但我们可以可以将问题将问题符号符号化、图形化化、图形化，以便，以便进行抽象分析，寻找规律。进行抽象分析，寻找规律。【思路一思路一】把路线数字化把路线数字化。在各路口交叉处标在各路口交叉处标上数码，上数码，并并进行进行分析、统计：分析、统计：第一条路线：第一条路线：1 1、2 2、3 3、4 4、8 8、1212、1616；第二条路线：第二条路线：1 1、2 2、3 3、7 7、8 8、1212、1616；第三条路线：第三条路线：1 1、2 2、3 3、7 7、1111、1212、1616；把把问题问题数字化数字化后，后，比较清楚，得到明显的解题比较清楚，得到明显的解题模型为：数字变化只能增加，不可减少。模型为：数字变化只能增加，不可减少。但由于数字较多规则不明显，难以进行统计。【但由于数字较多规则不明显，难以进行统计。【思路思路二】二】把路线图形化。把行进路线用一种直观的把路线图形化。把行进路线用一种直观的图形符号显示出来。例如向前行进一段用图形符号显示出来。例如向前行进一段用“”表表示，向右行进一段用示，向右行进一段用“”表示，于是，思路一表示，于是，思路一中的各条路线抽象成为如下形式：中的各条路线抽象成为如下形式：第一条路线：第一条路线：；第二条路线：第二条路线：；第三条路线：第三条路线：；于是路线的规律十分明显：从图形上看出，于是路线的规律十分明显：从图形上看出，每条路线都有三个每条路线都有三个“”和三个和三个“”，只要，只要把三个把三个“”和三个和三个“”进行不同的排列，进行不同的排列，就是不同的路线。就是不同的路线。从而，计算两组六个符号的排列数：由于只从而，计算两组六个符号的排列数：由于只要确定了三个要确定了三个“”的位置，另三个的位置，另三个“”的的位置也同时确定了。位置也同时确定了。可知，共可知，共有可走路有可走路线数线数【例】【例】甲、乙两个化肥厂共生产甲、乙两个化肥厂共生产9090万吨化肥，已万吨化肥，已知甲厂产量的知甲厂产量的2/52/5等于乙厂产量的等于乙厂产量的1/21/2，求两厂各，求两厂各生产多少化肥生产多少化肥?(?(列列方方程求解程求解)【解解】设甲厂产量为设甲厂产量为x x万吨，则乙厂产量为万吨，则乙厂产量为9090 x x万吨，万吨，把反映等量关系的语言把反映等量关系的语言“甲厂产量的甲厂产量的2/52/5等于等于乙厂产量的乙厂产量的1 1/2/2”译成方程，得译成方程，得解之得解之得x=50 (x=50 (万吨万吨)。数学中列方程解应用题数学中列方程解应用题的的实质实质，就是使用抽象就是使用抽象分析法，先是分析条件与问题，然后就是抽象，分析法，先是分析条件与问题，然后就是抽象，将未知量转化为字母将未知量转化为字母x x，接着进一步分析题中的数，接着进一步分析题中的数量关系，量关系，进行进行一次原理性抽象，抓住数量之一次原理性抽象，抓住数量之间间的的等量关系，并用数学语言表示出来，等量关系，并用数学语言表示出来，即即列出方程，列出方程，最后是解方程。最后是解方程。一般地，一般地，解题解题难难度产生于度产生于第二次抽象过程中，第二次抽象过程中，即即分析等量关系和列出方程分析等量关系和列出方程这两个步骤这两个步骤。从培养抽象分析能力的角度思考，列方程解应从培养抽象分析能力的角度思考，列方程解应用题应注意以下几点：用题应注意以下几点：摆脱算术解法的束缚和干扰。摆脱算术解法的束缚和干扰。应注意把要求的未知数应注意把要求的未知数x x看作已知条件，将其与看作已知条件，将其与原有的已知条件放在一起分析并参加列式。为掌原有的已知条件放在一起分析并参加列式。为掌握根据等量关系布列方程的方法，应掌握简易方握根据等量关系布列方程的方法，应掌握简易方程的一些最基本形式，如程的一些最基本形式，如ax+b=cax+b=c等。等。除注意根据题意把方程写完全的类型题外，还除注意根据题意把方程写完全的类型题外，还应注意看图列方程的类型，列方程思考过程比较应注意看图列方程的类型，列方程思考过程比较直接、明快，特别是一些需要逆向思考的问题，直接、明快，特别是一些需要逆向思考的问题，列方程求解比较容易做到。列方程求解比较容易做到。进行语言文字与方程的进行语言文字与方程的“互译互译”训练。训练。结合解方程，多进行列方程解文字叙述题的训结合解方程，多进行列方程解文字叙述题的训练。解这类题目，首先是设所求的未知数为练。解这类题目，首先是设所求的未知数为x x，再，再将文字叙述的数量关系按叙述的顺序翻译成方程将文字叙述的数量关系按叙述的顺序翻译成方程并求出其解。并求出其解。也可以进行一些把方程翻译成语言的训练，读法也可以进行一些把方程翻译成语言的训练，读法不拘一格，只求正确运用和、差、积、商、多、少、不拘一格，只求正确运用和、差、积、商、多、少、倍、分等术语，注意正确表达数量关系及运算顺序。倍、分等术语，注意正确表达数量关系及运算顺序。注意寻找等量关系、列出方程。注意寻找等量关系、列出方程。直接从题目叙述中寻找；直接从题目叙述中寻找；借助线段图寻找；借助线段图寻找；运用计算公式和联想常用数量关系寻找。运用计算公式和联想常用数量关系寻找。适当进行简单方程变形的练习。适当进行简单方程变形的练习。适当选择一些典型应用题，从不同的角度适当选择一些典型应用题，从不同的角度分析数量关系，列出形式不同的方程。分析数量关系，列出形式不同的方程。【例】买【例】买1414节节5 5号电池，付号电池，付1010元，找回元，找回3.283.28元。元。每节每节5 5号电池的价钱是多少号电池的价钱是多少?【解】设每节电池价钱【解】设每节电池价钱x x元，由题意可以按元，由题意可以按不同方式列出方程，不同方式列出方程，找回找回3.283.28元：元：10 1014x=3.2814x=3.28；原原付付1010元：元：14x+3.28=10 14x+3.28=10；1414节电池的价钱：节电池的价钱：14x=1014x=103.283.28。3 3、概括方法应用概括方法应用 (1)(1)从实际生活中引入课题从实际生活中引入课题【例例】乘法分配律的概括过程。乘法分配律的概括过程。实际问题：实际问题：“做一张桌子需要做一张桌子需要1010元，一需要元，一需要5 5元。元。计计算算：做做4 4套这样的桌椅套这样的桌椅，一，一共需要多少元共需要多少元?”。用不同的方法解答。用不同的方法解答。【解解法一】先计算一套法一】先计算一套桌椅桌椅价钱，再计算价钱，再计算4 4套桌椅套桌椅价钱：价钱：(10+5)(10+5)4=60(4=60(元元)。【解解法法二二】先计算】先计算4 4张桌子张桌子价钱，再计算价钱，再计算4 4把椅子把椅子价钱，最后求和：价钱，最后求和：lOlO4+54+54=60(4=60(元元)观察、比较两种算法，观察、比较两种算法，方法方法不同，结果相同。不同，结果相同。(10+5)(10+5)4=104=104+54+54 4 再比较再比较 1 12 2(9 9+7 7)与与1 12 29+9+1 12 27 7 又得到又得到 1 12 2(9 9+7 7)=1 12 29+9+1 12 27 7于是得到于是得到 (a a+b b)c c=a ac c+b bc c c c(a a+b b)=)=c ca a+c cb b最后概括得乘法分配律：两数和乘以第三数，等最后概括得乘法分配律：两数和乘以第三数，等于两数分别乘以第三数后的和。于两数分别乘以第三数后的和。4 4、培养抽象概括能力培养抽象概括能力 重视研究数学概念的形成过程重视研究数学概念的形成过程数学概念的形成过程，是从具体到抽象，从感数学概念的形成过程，是从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级，逐步上升发展的。性到理性，从低级到高级，逐步上升发展的。寻找寻找良好的概括素材良好的概括素材 要挖掘课本例题和习题中的思维训练因素，要挖掘课本例题和习题中的思维训练因素，掌握抽象概括的时机和程度，提供良好的概括素掌握抽象概括的时机和程度，提供良好的概括素材，以下三个方面值得探索：材，以下三个方面值得探索：着眼于揭示知识的本质特征着眼于揭示知识的本质特征 概括是将同类事物的相同属性归结在一起，概括是将同类事物的相同属性归结在一起，为了训练这种为了训练这种“异中见同异中见同”的能力，组织的教学的能力，组织的教学材料要具有鲜明的对比性和相对的完整性，以便材料要具有鲜明的对比性和相对的完整性，以便于揭示于揭示知识的本质特征。知识的本质特征。注意沟通知识间的联系注意沟通知识间的联系 数学新旧知识的关系有两种情况：数学新旧知识的关系有两种情况：(i)(i)新知识是旧知识的引申、发展；新知识是旧知识的引申、发展；(ii)(ii)新旧知识是在一定条件下的同一、综新旧知识是在一定条件下的同一、综合。合。学习中，一旦沟通了新旧知识的联系，学习中，一旦沟通了新旧知识的联系，就能促成新旧知识的转化。在这个转化过就能促成新旧知识的转化。在这个转化过程中，可以培养起从程中，可以培养起从“变中找不变，变中变中找不变，变中找规律找规律”的概括能力。的概括能力。要充分运用练习，沟通知识间的联系，要注意：要充分运用练习，沟通知识间的联系，要注意：(i)(i)学会简缩数学推理过程和相应的运算过程，学会简缩数学推理过程和相应的运算过程，简缩思维过程也就是概括的结果；简缩思维过程也就是概括的结果；(ii)(ii)灵活调动已经学过的知识，突破已经形成的灵活调动已经学过的知识，突破已经形成的解题模式，通过概括解题规律，不断提高解题水解题模式，通过概括解题规律，不断提高解题水平。平。数学问题的一题多解，反映了运用迁移方法，数学问题的一题多解，反映了运用迁移方法，建立概括手段的能力。建立概括手段的能力。要有利于形成知识结构网络要有利于形成知识结构网络 学完一部分知识后，应及时对所学进行整理归学完一部分知识后，应及时对所学进行整理归类，使分散的知识系统化，模糊的概念变得清晰类，使分散的知识系统化，模糊的概念变得清晰并形成逻辑联系。并形成逻辑联系。探索进行探索进行概括概括的途径的途径 概括能力发展的顺序，是从形象概括逐步向抽概括能力发展的顺序，是从形象概括逐步向抽象概括过渡。一般地，有以下四种方式：象概括过渡。一般地，有以下四种方式：从不同角度、不同层次、不同范围进行观察从不同角度、不同层次、不同范围进行观察比较，找出它们的相同点和不同点，以找共同点比较，找出它们的相同点和不同点，以找共同点为主，促进概括的形成。为主，促进概括的形成。如果新旧知识是属于同类的，应采用迁如果新旧知识是属于同类的，应采用迁移方法，选准新旧知识的结合，联想已学移方法，选准新旧知识的结合，联想已学过的知识与新知识有什么相同或类似的地过的知识与新知识有什么相同或类似的地方，通过分析，概括出新旧知识的共同本方，通过分析，概括出新旧知识的共同本质。质。如果新旧知识不属于同类的，要解决新如果新旧知识不属于同类的，要解决新问题，首先要揭示新旧知识的差异，分析问题，首先要揭示新旧知识的差异，分析产生差异的原因，再针对原因寻找知识间产生差异的原因，再针对原因寻找知识间的关系加以转化。的关系加以转化。在初步形成某一概念或掌握基本解法后，在初步形成某一概念或掌握基本解法后，对某些容易疏忽出错的地方，或相近、相对某些容易疏忽出错的地方，或相近、相似、相反的概念，可以进行一定的判断练似、相反的概念，可以进行一定的判断练习，加强理解并掌握概念之间的联系与区习，加强理解并掌握概念之间的联系与区别，从中概括出应用这些知识的注意点。别，从中概括出应用这些知识的注意点。