线性代数 2-3 矩阵的转置对称矩阵.ppt

2.3 矩阵的转置矩阵的转置 对称矩阵对称矩阵定义定义2.112.11把一个把一个矩阵矩阵的行列互换得到的一个的行列互换得到的一个 矩阵，称之为矩阵，称之为A 的的转置矩阵转置矩阵，记作记作.例例由定义可知由定义可知,如果记如果记则则.注注:由于由于 维列向量维列向量 可看作可看作 矩阵矩阵,所以可以记所以可以记 维列向量维列向量 为为:矩阵的转置性质矩阵的转置性质:证明证明:仅证性质仅证性质(4),其余留给同学们自证其余留给同学们自证.设设矩阵矩阵,且且这就证明了这就证明了注注:性质性质(4)可推广多个矩阵相乘的情形可推广多个矩阵相乘的情形,即即于是于是所以所以.例例 已知已知解法解法1解法解法2.方阵的行列式方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质.对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即则则称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明说明.定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.例例1设设是一个是一个 矩阵矩阵,则则 和和 都是都是对称矩阵对称矩阵.证明证明是是n 阶矩阵阶矩阵,且有且有所以所以 是是 n 阶对称矩阵阶对称矩阵.同理同理是是m阶对称矩阵阶对称矩阵.例例2设设A是阶是阶n反对称矩阵反对称矩阵,B是是 n阶对称矩阵阶对称矩阵,则则AB+BA是是n 阶反对称矩阵阶反对称矩阵.证明证明.注意注意两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例例且若且若A与与B均为对称矩阵均为对称矩阵,则则AB对称的充要条件是对称的充要条件是 AB=BA.P56例4同理可证同理可证两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵故故C上三角形矩阵上三角形矩阵.由于由于A是上三角形矩阵是上三角形矩阵,设设当当时时,所以所以,因此因此,例例 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵.故故同理可得同理可得运算性质运算性质（设设 为复矩阵，为复矩阵，为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明解解例例4 4由此归纳出由此归纳出所以对于任意的所以对于任意的 都有都有用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，