2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：6.3定点、定值、最值问题(湖北专供-数学文).ppt
第三讲 定点、定值、最值问题【考情快报考情快报】高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：(1)(1)以解答题的形式考查，以直线和圆锥曲线为载体，结合以解答题的形式考查，以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或两个参数单纯的数字问题，而是含有一个或两个参数.(2)(2)以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与圆锥曲线的位置关系，在一些定值问题，其实质是考查直线与圆锥曲线的位置关系，在一元二次方程、函数、向量、数列等知识交汇处命题，考查学生元二次方程、函数、向量、数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力、计算能力的逻辑推理能力、计算能力.(3)(3)以直线与圆锥曲线为背景，通过巧妙地设计与整合，以直线与圆锥曲线为背景，通过巧妙地设计与整合，命制背景新颖的题目，最值问题常与函数、解不等式等知识交命制背景新颖的题目，最值问题常与函数、解不等式等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力以及综合运用数学知汇，考查学生分析问题、解决问题的能力以及综合运用数学知识的能力识的能力.【核心自查核心自查】一、主干构建一、主干构建二、概念理解二、概念理解定值问题定值问题在解析几何中，有些量与参数在解析几何中，有些量与参数_，这些量就看作定值，这些量就看作定值.三、重要公式三、重要公式(1)(1)弦长公式：直线与圆锥曲线相交于弦长公式：直线与圆锥曲线相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|AB|AB|_._.提醒：提醒：上面弦长公式在方程有解时成立上面弦长公式在方程有解时成立.无关无关(2)(2)曲线曲线AxAx2 2+By+By2 2+Dx+Ey=0+Dx+Ey=0过定点过定点_._.(3)(3)直线直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0()=0(为参数为参数)过直线过直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的交点.提醒：提醒：直线直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0不可能表示直线不可能表示直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0.=0.(0(0，0)0)(4)(4)函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)，当，当 时，取得最大值为时，取得最大值为_._.(5)(5)函数函数 当且仅当当且仅当 时有时有最小值最小值_._.热点考向热点考向 一一 圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题【典例典例】1.1.设点设点C C为曲线为曲线 上任一点，以点上任一点，以点C C为圆心的为圆心的圆与圆与x x轴交于点轴交于点E E，A A，与，与y y轴交于点轴交于点E E，B.B.证明：多边形证明：多边形EACBEACB的的面积是定值，并求这个定值；面积是定值，并求这个定值；2.(20122.(2012贵阳模拟贵阳模拟)已知椭圆已知椭圆 的左、右焦点的左、右焦点分别为分别为F F1 1，F F2 2，短轴两个端点分别为，短轴两个端点分别为A A，B B，且四边形，且四边形F F1 1AFAF2 2B B是是边长为边长为2 2的正方形的正方形.(1)(1)求椭圆方程；求椭圆方程；(2)(2)若若C C，D D分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点M M满足满足MDCDMDCD，连结连结CMCM，交椭圆于点，交椭圆于点P.P.求证：求证：为定值为定值.【解题指导解题指导】1.1.可根据已知条件判断出点可根据已知条件判断出点E E的位置，然后得出的位置，然后得出多边形多边形EACBEACB的形状，最后求出面积的形状，最后求出面积.2.(1)2.(1)四边形四边形F F1 1AFAF2 2B B是边长为是边长为2 2的正方形，求出椭圆中的正方形，求出椭圆中a a，b b的的值，进而得出椭圆的方程；值，进而得出椭圆的方程；(2)(2)由已知条件，可得出由已知条件，可得出CMCM的方的方程，与椭圆方程联立得出程，与椭圆方程联立得出P P点的坐标，计算点的坐标，计算 即可得出即可得出结果结果.【解析解析】1.1.设点设点 因为以点因为以点C C为圆心的圆与为圆心的圆与x x轴交于轴交于点点E E，A A，与，与y y轴交于点轴交于点E E，B.B.所以所以,点点E E是直角坐标系原点是直角坐标系原点,即即E(0E(0，0).0).于是圆于是圆C C的方程是的方程是则则 由由|CE|=|CA|=|CB|CE|=|CA|=|CB|知知,圆心圆心C C在在RtAEBRtAEB的斜的斜边边ABAB上上,于是多边形于是多边形EACBEACB为为RtAEBRtAEB,其面积其面积所以多边形所以多边形EACBEACB的面积是定值，这个定值是的面积是定值，这个定值是4.4.2.(1)2.(1)依题意得：依题意得：a=2a=2，b=cb=c，a a2 2=b=b2 2+c+c2 2，b b2 2=2=2，椭圆方程为椭圆方程为(2)C(-2,0)(2)C(-2,0)，D(2,0)D(2,0)，设，设M(2M(2，y y0 0)，P(xP(x1 1，y y1 1)，则则直线直线CMCM的方程为：的方程为：即即代入椭圆代入椭圆x x2 2+2y+2y2 2=4,=4,得得【拓展提升拓展提升】求解定值问题的求解定值问题的“三个三个”步骤步骤(1)(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数可证明该代数式与参数(某些变量某些变量)无关；也可令系数等于零，无关；也可令系数等于零，得出定值；得出定值；(3)(3)得出结论得出结论.提醒：提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.热点考向热点考向 二二 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题【典例典例】1.(20121.(2012嘉兴模拟嘉兴模拟)在在y=2xy=2x2 2上有一点上有一点P P，它到，它到A(1A(1，3)3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P P的坐标是的坐标是()(A)(A)(2 2，1)(B)(11)(B)(1，2)2)(C)(2(C)(2，1)(D)(1)(D)(1 1，2)2)2.(20122.(2012山东高考山东高考)如图，椭圆如图，椭圆M:M:(ab0)(ab0)的离心率为的离心率为直线直线x=x=a a和和y=y=b b所围成的矩形所围成的矩形ABCDABCD的面积为的面积为8.8.(1)(1)求椭圆求椭圆M M的标准方程；的标准方程；(2)(2)设直线设直线l:y:y=x+m(mRx+m(mR)与椭圆与椭圆M M有两个不同的交点有两个不同的交点P,Q,P,Q,l与矩与矩形形ABCDABCD有两个不同的交点有两个不同的交点S,T.S,T.求求 的最大值及取得最大值的最大值及取得最大值时时m m的值的值.【解题指导解题指导】1.1.利用抛物线的定义，结合图形可直接求出点利用抛物线的定义，结合图形可直接求出点P P的坐标的坐标.2.(1)2.(1)由矩形由矩形ABCDABCD面积为面积为8 8，即，即2a2a2b=82b=8，再由离心率为，再由离心率为 可可求得椭圆的标准方程；求得椭圆的标准方程；(2)(2)可联立直线与椭圆方程，用可联立直线与椭圆方程，用m m表示出表示出PQPQ的距离，与矩形的距离，与矩形ABCDABCD有两个不同的交点有两个不同的交点S,TS,T的距离也用含的距离也用含m m的的代数式表示，再讨论求最大值代数式表示，再讨论求最大值.【解析解析】1.1.选选B.B.显然，点显然，点A A在抛物线内，由抛物线的定义可在抛物线内，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离知，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.要使要使点点P P到到A(1A(1，3)3)的距离与它到焦点的距离之和最小，只要过点的距离与它到焦点的距离之和最小，只要过点A A作准线的垂线，该线与抛物线的交点即为所求作准线的垂线，该线与抛物线的交点即为所求.显然显然P(1P(1，2).2).2.(1)2.(1)矩形矩形ABCDABCD面积为面积为8 8，即，即2a2a2b=82b=8由由解得：解得：a=2,b=1a=2,b=1，椭圆椭圆M M的标准方程是的标准方程是(2)(2)5x5x2 2+8mx+4m+8mx+4m2 2-4=0,-4=0,设设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2)，则则x x1 1+x+x2 2=-m=-m，x x1 1x x2 2=由由=64m=64m2 2-20(4m-20(4m2 2-4)0-4)0得得|PQ|=|PQ|=当当l过过A A点时，点时，m=1m=1，当，当l过过C C点时，点时，m=-1.m=-1.当当-m-1-m-1时，有时，有S(-m-1,-1)S(-m-1,-1)，T(2,2+m),|ST|=(3+m),T(2,2+m),|ST|=(3+m),其中其中t=m+3t=m+3，由此知当，由此知当 ，即，即t=,m=-(-,-1)t=,m=-(-,-1)时，时，取得最大值取得最大值由对称性，可知若由对称性，可知若1m 1m0,y0 x0,y0时，时，(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=8=8；当当x0,y0,y0时，时，(x-1)(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=8=8；当当x0,y0 x0,y0时，时，(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=8=8；当当x0 x0时，时，(x+1)(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=8=8；在上述四种情形下，每种情形中曲线上任一点到圆心的最大距在上述四种情形下，每种情形中曲线上任一点到圆心的最大距离为离为 所以曲线上任意两点间的最大距离为所以曲线上任意两点间的最大距离为 是正确的是正确的.即即正确正确.答案：答案：
