江苏专转本高数_第九节_连续函数的运算.ppt
机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第九节第九节 连续函数的运算连续函数的运算一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题与初等函数的连续性与初等函数的连续性1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、连续函数的四则运算的连续性一、连续函数的四则运算的连续性【定理定理1】例如例如（上节已证）（上节已证）由由函数函数“连续连续”的定义和极限四则运算法则，立得的定义和极限四则运算法则，立得:【推广推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论结论】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x),g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)g(x0)0在点在点x0处也连续处也连续.2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性【定理定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数连续反函数.（证明略）（证明略）例如例如【结论结论】反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.1.反函数的连续性反函数的连续性3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理定理3】【证证】2、复合函数的连续性、复合函数的连续性4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 将上两步综合起来将上两步综合起来:5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【意义意义】【例例1】【解解】可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序;同理同理（即教材例（即教材例6）利用利用lnu的的连续性连续性6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【教材教材例例3】【解解】可视为由可视为由复合而成，复合而成，则则7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 又如又如交换次序：交换次序：分子有理化分子有理化分离无穷小量分离无穷小量8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例例2】【解解】同理可得同理可得（即教材例（即教材例7 7）9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理定理4】例如例如是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续.复合而成复合而成,10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理定理5】基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内是连续的是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定义区间定义区间是指包含在定义域是指包含在定义域内内的区间的区间.基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续【定理定理6】12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例例3】【例例4】【解解】【解解】13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【教材教材例例8】【解解】由由定理定理3及极限运算法则得及极限运算法则得【解解】ln(1+2x)2x(x0)14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【一般地一般地】的的函数称为函数称为幂指函数幂指函数若若则则15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结四、小结3.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.2.两个定理（两个定理（3、4）;两点意义两点意义.1.基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数初等函数在在定义区定义区间内间内连续连续【说明说明】分段函数在分界点处是否连续需讨论其分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题思考题】17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题解答思考题解答】是它的可去间断点是它的可去间断点18
