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第七讲函数的奇偶性与周期性第七讲函数的奇偶性与周期性回归课本回归课本 七天连锁酒店预订 1.函数的奇偶性函数的奇偶性(1)函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义奇偶性奇偶性定义定义图象特点图象特点偶函数偶函数如果函数如果函数f(x)的定义域的定义域内内任意一个任意一个x都有都有f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)是是偶函数偶函数.关于关于y轴轴对称对称奇函数奇函数如果函数如果函数f(x)的定义域的定义域内内任意一个任意一个x都有都有f(-x)=-f(x),那么函数那么函数f(x)是奇函是奇函数数.关于关于原点原点对对称称(2)对函数奇偶性的理解对函数奇偶性的理解函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断a.首先看函数的定义域首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称若函数的定义域不关于原点对称,则函则函数既不是奇函数数既不是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数.b.若函数的定义域关于原点对称若函数的定义域关于原点对称,再看再看f(-x)与与f(x)的关系的关系.若若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数;若若f(-x)=f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数;若若f(-x)=f(x)且且f(-x)=-f(x),则则f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数;若若f(-x)f(x)且且f(-x)-f(x),则则f(x)既不是奇函数既不是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数.在公共定义域内在公共定义域内a.两奇函数的积与商两奇函数的积与商(分母不为零时分母不为零时)为偶函数为偶函数,两奇函数的和两奇函数的和是奇函数是奇函数.b.两偶函数的和两偶函数的和 积与商积与商(分母不为零分母不为零)为偶函数为偶函数.奇函数在对称区间上单调性一致奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单偶函数在对称区间上单调性相反调性相反.2.函数的周期性函数的周期性(1)对于函数对于函数f(x),如果存在一个如果存在一个非零非零常数常数T,使得当使得当x取定义域内取定义域内的的每一个每一个值时值时,都有都有f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)叫做周期函数叫做周期函数,非零常数非零常数T叫叫f(x)的的周期周期.如果所有的周期中存在一个如果所有的周期中存在一个最小最小的正数的正数,那么这个那么这个最小正数最小正数就叫就叫f(x)的最小正周期的最小正周期.(2)周期函数周期函数不一定不一定有最小正周期有最小正周期,若若T0是是f(x)的周期的周期,则则kT(k Z)(k0)也一定是也一定是f(x)的周期的周期,周期函数的定义域无周期函数的定义域无上上 下下界界.考点陪练考点陪练答案答案:B2.(2010新课标全国新课标全国)设偶函数设偶函数f(x)满足满足f(x)=2x-4(x0),则则x|f(x-2)0=()A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x2解析解析:已知函数已知函数f(x)是偶函数是偶函数,所以当所以当x0时时,解析式为解析式为f(x)=2-x-4(x0),所以当所以当x-20,解得解得x0,解得解得x4,综上综上x|f(x-2)0=x|x4,故选故选B.答案答案:B3.(2010山东山东)设设f(x)为定义在为定义在R上的奇函数上的奇函数.当当x0时时,f(x)=2x+2x+b(b为常数为常数),则则f(-1)=()A.-3B.-1C.1D.3解析解析:因为因为f(x)为定义在为定义在R上的奇函数上的奇函数,所以有所以有f(0)=20+20+b=0,解得解得b=-1,所以当所以当x0时时,f(x)=2x+2x-1,所所以以f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3,故选故选A.答案答案:A4.(2010广东广东)若函数若函数f(x)=3x+3-x与与g(x)=3x-3-x的定义域均为的定义域均为R,则则()A.f(x)与与g(x)均为偶函数均为偶函数B.f(x)为偶函数为偶函数,g(x)为奇函数为奇函数C.f(x)与与g(x)均为奇函数均为奇函数D.f(x)为奇函数为奇函数,g(x)为偶函数为偶函数解析解析:由由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知可知f(x)为偶函数为偶函数,由由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知可知g(x)为奇函数为奇函数.答案答案:B答案答案:2x+3类型一类型一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断解题准备解题准备:判断函数奇偶性的一般方法判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的看是否是关于原点对称的.否则否则,既既不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断则可用下述方法进行判断:定义判断定义判断:f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.等价形式判断等价形式判断:f(-x)-f(x)=0f(x)为偶函数为偶函数.f(-x)+f(x)=0f(x)为奇函数为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.分析分析判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点首先要检验其定义域是否关于原点对称对称,若关于原点对称若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理再严格按照奇偶性的定义进行推理判断判断.的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称,当当x0时时,-x0).当当x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x0,1-x20,1+x10,(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x20.类型三类型三函数的周期性函数的周期性解题准备解题准备:三个结论三个结论:若若a b是非零常数是非零常数,且且ab,则有则有结论结论2:(对称性与周期关系结论对称性与周期关系结论)(1)f(x)关于关于x=a及及x=b对称对称,则则T=2|b-a|;(2)f(x)关于关于x=b及及M(a,0)对称对称,则则T=4|b-a|;(3)f(x)关于关于M(a,0)和和N(b,0)对称对称,则则T=2|b-a|.结论结论3:(奇偶性与周期关系结论奇偶性与周期关系结论)(1)f(x)是偶函数且关于直线是偶函数且关于直线x=a对称对称,则则T=2|a|;(2)f(x)是奇函数且关于直线是奇函数且关于直线x=a对称对称,则则T=4|a|.(上述结论中的上述结论中的T为函数的周期为函数的周期,但不一定是最小正周期但不一定是最小正周期).类型四类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题函数的奇偶性与周期性的综合问题解题准备解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解奇偶性是解决函数图象的对称性问题决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问周期性是解决函数图象的平移问题题.函数的单调性揭示函数的局部性质函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程可解决与函数相关的方程 不等式等综合问题不等式等综合问题.【典例典例4】已知函数已知函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,对任意的对任意的x,都都有有f(x+1)=-f(1-x),且方程且方程f(x)=0在在-1,1上只有一个根上只有一个根,则方则方程程f(x+1)=0的第的第2000个根是多少个根是多少.(从从x轴右半轴开始从左到轴右半轴开始从左到右数起右数起).解解由由f(x+2)=-f1-(x+1)=-f(-x)=f(x)得得:f(x)是周期函数是周期函数,且周且周期为期为2.f(x+1)是把是把f(x)的图象向左移的图象向左移1个单位个单位.由由x R,f(x)是是奇函数奇函数,且且f(x)=0在在-1,1上只有一个根上只有一个根,知知f(0)=0,方程方程f(x)=0的第的第2000个根是个根是4000,f(x+1)=0的第的第2000个根是个根是3999.错源一错源一忽略定义域出错忽略定义域出错剖析剖析判断函数奇偶性判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域首先要看函数的定义域,若定义域是关若定义域是关于原点的对称区间于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性则函数可能具有奇偶性;否则否则,函数一定函数一定不具有奇偶性不具有奇偶性.其次其次,要看要看f(x)与与f(-x)之间的关系之间的关系.正解正解函数的定义域为函数的定义域为x|x1,定义域不关于原点对称定义域不关于原点对称,因此该因此该函数为非奇非偶函数函数为非奇非偶函数.错源二错源二忽视对参数的讨论忽视对参数的讨论【典例典例2】判断函数判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(a R)的奇偶性的奇偶性.错解错解显然函数定义域为显然函数定义域为R.因为因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以所以f(-a)f(a),且且f(-a)-f(a),所以所以f(x)既不是奇函数既不是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数.剖析剖析此解法错在于没有对参数进行讨论此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到未考虑到a=0这种这种特殊情形特殊情形,以致解题出错以致解题出错.正解正解当当a=0时时,函数函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),此时此时f(x)为偶函数为偶函数;当当a0时时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)f(a),f(-a)-f(a),此时此时f(x)既不是奇函数既不是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数.技法一技法一快速解题快速解题(数形结合法数形结合法)【典例典例1】已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)不恒为零不恒为零,且满足且满足f(x+3)=-f(3-x)f(x+4)=f(4-x),则则f(x)是是()A.奇函数也是周期函数奇函数也是周期函数B.偶函数也是周期函数偶函数也是周期函数C.奇函数但非周期函数奇函数但非周期函数D.偶函数但非周期函数偶函数但非周期函数 快解快解由于本题为选择题由于本题为选择题,故可用数形结合法故可用数形结合法,画出符合题意画出符合题意的图象即可选对答案的图象即可选对答案.函数函数f(x)以点以点(3,0)为对称中心为对称中心,以直线以直线x=4为对称轴为对称轴,如下图所示如下图所示,点点(2k-1,0)都是对称中心都是对称中心,直线直线x=2k都是对称轴都是对称轴,这里的这里的k Z,故选故选B.另解切入点另解切入点因为因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数所以函数f(x)以点以点(3,0)为对称中心为对称中心,以直线以直线x=4为对称轴为对称轴.分析思维过程分析思维过程要利用两个条件式要利用两个条件式,推证出推证出f(x)是奇函数或偶是奇函数或偶函数函数,需找到两式的联系需找到两式的联系.x+4=(x+1)+3,有有3-(x+1)=2-x出现出现,如此推演如此推演,有望得到结果有望得到结果.解析解析 f(x+3)=-f(3-x)f(x+4)=f(4-x)f(x+4)=f(x+1)+3=-f-(x+1)+3=-f(2-x)=-f4-(x+2)=-f4+(x+2)=-f3+(x+3)=f3-(x+3)=f(-x).则则f(4-x)=f(-x)+4=f(x).f(-x)=f(x),且且f(x+4)=f(x).故函数故函数f(x)是偶函数是偶函数,也是周期函数也是周期函数,选选B.答案答案B 方法与技巧方法与技巧解是由函数满足的关系一步一步推证解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多步骤较多,不易掌握不易掌握.而数形结合法简单而数形结合法简单 直观直观,好掌握好掌握,易理解易理解,对于解对于解选择题非常适宜选择题非常适宜.得分主要步骤得分主要步骤运用好已知的两个条件式是很重要的运用好已知的两个条件式是很重要的.首先由首先由式入手式入手,使之出现使之出现式的形式式的形式,再由再由到到,每步都需认每步都需认真思考真思考,是否满足条件是否满足条件,是否可以得到需要的结果是否可以得到需要的结果.易丢分原因易丢分原因各步变换时各步变换时,注意符号注意符号,稍有不慎将会出错稍有不慎将会出错.如由如由f(x+4)得到得到f(-x),故故f(4-x)=f(-x)+4=f(x).技法二技法二探寻判断奇偶性的途径探寻判断奇偶性的途径 解解解法一解法一:对于比较复杂的函数解析式对于比较复杂的函数解析式,除了用定义法进行除了用定义法进行判断外判断外,还可以考虑用还可以考虑用f(-x)=f(x)变形式变形式:f(-x)f(x)=0进行进行判断判断,应注意的是在利用这两个式子进行判断之前应注意的是在利用这两个式子进行判断之前,应先探应先探求是用求是用f(-x)+f(x)=0还是用还是用f(-x)-f(x)=0来进行判断来进行判断.方法与技巧方法与技巧本题是用验证法判断函数的奇偶性本题是用验证法判断函数的奇偶性.关系式关系式f(-x)f(x)=0实质是函数奇偶性的定义实质是函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)的一个变形的一个变形式式,使用这个变形式进行判断时使用这个变形式进行判断时,降低了对函数奇偶性判断降低了对函数奇偶性判断的难度的难度,将问题转化为代数式的化简过程将问题转化为代数式的化简过程,它比用定义法判它比用定义法判断更简洁断更简洁.方法与技巧方法与技巧在用作商比较法进行判断时在用作商比较法进行判断时,容易出现以下错误容易出现以下错误:忽略对忽略对x=0这一情况的判断这一情况的判断;按按x0与与x=0进行了讨论进行了讨论,当当x=0时有时有f(-0)=0=-f(0)=f(0),就认为函数就认为函数f(x)既是奇函数又既是奇函数又是偶函数是偶函数,事实上函数的奇偶性是函数的整体性质事实上函数的奇偶性是函数的整体性质,因此不因此不能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性.