漫话概率与Nobel经济学奖.ppt

现代数学概览现代数学概览数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 林火南林火南漫话概率论及其应用漫话概率论及其应用 如如今今，人人们们对对“概概率率”一一词词已已不不在在陌陌生生概概率率论论的的研研究究正正方方兴兴未未艾艾,概概率率论论的的应应用用遍遍及及自自然然科科学学和和人人文文社社会会科科学学的的各各个个领领域域,不不仅仅是是科科学学家家、工工程程师师,而而且且也也是是经经济济学学家家、社社会会学学家家乃乃至至管管理理经经营营人人员员不不可可或或缺缺的的重重要要有有力力工工具具。那那么么,概概率率论论是是一一门门什什么么样样的的学学科科?它它何以产生如此巨大的作用何以产生如此巨大的作用?从若干个例子谈起从若干个例子谈起:例例1 某个单位须拆迁本单位的一个居住某个单位须拆迁本单位的一个居住小区用以建设大型体育设施。为使该小小区用以建设大型体育设施。为使该小区职工尽快搬离拟拆迁楼房区职工尽快搬离拟拆迁楼房,采取以下采取以下“激励激励”措施措施:按照搬离并退房的顺序发放按照搬离并退房的顺序发放号码号码,届时将按照届时将按照该号码该号码依次抽签依次抽签,再根再根据所抽签得到的号码依次挑选安置房。据所抽签得到的号码依次挑选安置房。结果该小区住户争先恐后搬离结果该小区住户争先恐后搬离,争取得到争取得到前面的前面的号码号码,“以免吃亏以免吃亏”。你如何看待这件事你如何看待这件事?、例例2 美国的美国的“玛利亚幸运抢答玛利亚幸运抢答”电台一电台一日公布了这样一道题：在三扇门背后日公布了这样一道题：在三扇门背后（比如说比如说1 1号、号、2 2号及号及3 3号号 ）藏了两只羊藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择门，则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了比方说你选择了1 1号门。然后主持人打号门。然后主持人打开了另外两扇门中的一扇门开了另外两扇门中的一扇门,让你看清楚让你看清楚这扇门背后是只羊这扇门背后是只羊,接着问你是否想要接着问你是否想要重新选择重新选择?如果再给你一次机会重新选如果再给你一次机会重新选择择,你该采取什么策略更科学你该采取什么策略更科学?在三扇门背后（比如说在三扇门背后（比如说1 1号、号、2 2号及号及3 3号号)藏藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了方说你选择了1 1号门号门。然后主持人打开了一扇然后主持人打开了一扇门，比方说主持人打开门，比方说主持人打开3 3号门号门 ,让你看清楚让你看清楚这这扇门背后是只羊扇门背后是只羊，接着问你是否想要重新选择接着问你是否想要重新选择?如果再给你一次机会重新选择如果再给你一次机会重新选择,你该采取什么你该采取什么策略更科学策略更科学?123 在三扇门背后（比如说在三扇门背后（比如说1 1号、号、2 2号及号及3 3号号)藏了两藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏有汽车的只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏有汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方比方说你选择了说你选择了1 1号门号门。然后主持人打开了其中的一扇门，比方说主持人打开比方说主持人打开3 3号门号门 ,让你看清让你看清楚这扇门背后是只羊楚这扇门背后是只羊，接着问你是否想要重新接着问你是否想要重新选择选择?如果再给你一次机会重新选择如果再给你一次机会重新选择,你该采取你该采取什么策略更科学什么策略更科学?1321 1 只羊只羊例例3 设有三张形状完全相同但所涂颜色不同设有三张形状完全相同但所涂颜色不同的卡片。第一张两是的卡片。第一张两是红色红色,第二张两面都是第二张两面都是黑色黑色,而第三张是一面而第三张是一面红色红色一面一面黑色黑色。将这。将这3 3 张卡片放在帽子里充分混合后张卡片放在帽子里充分混合后,随机地取随机地取一张放在地面上。一张放在地面上。若取出的卡片朝上一面呈若取出的卡片朝上一面呈红色的红色的,那么另一面是黑色的概率是多少那么另一面是黑色的概率是多少?(凭直观往往认为这个凭直观往往认为这个概率概率为为0.5,其实这其实这是一种错觉是一种错觉!）例例4 1)某一天乙见到甲某一天乙见到甲,乙问甲有几个小孩乙问甲有几个小孩?甲回答说有两个。乙再问是否有女孩甲回答说有两个。乙再问是否有女孩?甲回甲回答说有。现在问甲的两个小孩均为女孩的概答说有。现在问甲的两个小孩均为女孩的概率是多少率是多少?(假设每胎生男生女机会相等假设每胎生男生女机会相等)2)某一天乙见到甲牵着一个小女孩某一天乙见到甲牵着一个小女孩,乙问乙问甲有几个小孩甲有几个小孩?甲回答说有两个甲回答说有两个。乙再问这乙再问这是你的小孩吗是你的小孩吗?甲回答说是。现在问甲的另一甲回答说是。现在问甲的另一个小孩也是女孩的概率是多少个小孩也是女孩的概率是多少?你认为这两个概率值相同吗你认为这两个概率值相同吗?从语言角从语言角度看这两段话意思完全一样吗度看这两段话意思完全一样吗?例例5 (血液化验问题血液化验问题)某城市正在开展某种某城市正在开展某种疾病大普查。假定这个城市总人口疾病大普查。假定这个城市总人口N个个,对每对每人收集一份血样。现在有两种方案可以选择人收集一份血样。现在有两种方案可以选择:1)每一份血样化验一次每一份血样化验一次,总共须化验总共须化验N次。次。2)把要化验的血样分组把要化验的血样分组,每每k份血样构成一份血样构成一组组;若某一组血样混合后化验呈阳性若某一组血样混合后化验呈阳性,则对该则对该组的每份血样再化验一次组的每份血样再化验一次,这时该这时该 k 份血份血样化验样化验k+1次次;若某一组血样混合后化验呈阴若某一组血样混合后化验呈阴性性,则该组只须化验一次。则该组只须化验一次。问采用哪个方案更好问采用哪个方案更好?k=?为什么为什么?例例6 具有不对称信息的市场的分析问题具有不对称信息的市场的分析问题:v具有不对称信息的市场在国内的当前阶段具有不对称信息的市场在国内的当前阶段是司空见惯的是司空见惯的:假冒伪劣商品、以次充好和假冒伪劣商品、以次充好和操纵价格操纵价格;价格发生畸变价格发生畸变v人才招聘弄虚作假人才招聘弄虚作假;v保险市场上保险市场上,“高风险高风险”客户隐藏真相。客户隐藏真相。20012001年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖授予授予G G.AkerlofAkerlof,A.M.Spence,A.M.Spence 和和 J.E.StiglitzJ.E.Stiglitz 2001年诺贝尔经济学奖授予年诺贝尔经济学奖授予George.A.Kerlof(麻省理工博士麻省理工博士,伯克莱分校教授伯克莱分校教授),A.Michael.Spence（哈佛大学博士（哈佛大学博士,斯坦福斯坦福大学教授）大学教授）和和 Joseph,E.Stiglitz(麻省理工博士麻省理工博士,哥伦比亚大学教哥伦比亚大学教授授),以奖励他们对具有不对称信以奖励他们对具有不对称信息市场的分析。息市场的分析。G.A.Kerlof于于1970年提出年提出A.Kerlof逆向选逆向选择原理择原理(俗称二手车市场论俗称二手车市场论)：假设某商品假设某商品(例如，二手车例如，二手车)有劣质品和优有劣质品和优质品两种档次，所占比例分别为质品两种档次，所占比例分别为p 和和 1-p,每个买方对两种档次商品都有共同的估价，每个买方对两种档次商品都有共同的估价，分别为分别为a和和 b;每个卖方对两种档次商品都有每个卖方对两种档次商品都有共同的估价共同的估价,分别为分别为c 和和 d;当然当然 ab且且c c,bd,而劣质品价而劣质品价格定在格定在 a 和和 c 之间之间,优质品价格定在优质品价格定在 b和和c之之间间,买卖就成交买卖就成交.不规范的市场不规范的市场:价格混乱，两种商品价格价格混乱，两种商品价格混为一谈，买方对该类商品的的合理定价混为一谈，买方对该类商品的的合理定价为为两种档次商品的估价平均值两种档次商品的估价平均值,即即m=pa+(1-p)b,这时，这时，cm,劣质品持有者容易以次充好把劣质品持有者容易以次充好把劣质品卖高价，而优质品持有者容易遇到劣质品卖高价，而优质品持有者容易遇到只想以只想以m价格购买者价格购买者,甚至把优质品低价卖甚至把优质品低价卖出出.这样就导致优质品的买卖者纷纷退出该这样就导致优质品的买卖者纷纷退出该市场市场,结果是市场上逐渐只留下卖高价的劣结果是市场上逐渐只留下卖高价的劣质品，即出现质品，即出现“逆向选择逆向选择”现象现象A.M.Spence 1973年提出年提出Spence信号信号示意原理：示意原理：J.E.Stiglitz 1974年提出年提出Stiglitz 信号信号甄别原理：甄别原理：例例赌资分配问题赌资分配问题两个两个赌博水平相当的赌徒在赌博水平相当的赌徒在某某次赌博中约定先胜次赌博中约定先胜S局者赢得赌资，局者赢得赌资，假设现在其中一个人胜了假设现在其中一个人胜了 a (aS)局，局，另一个人胜了另一个人胜了b (bS)局，赌博被迫局，赌博被迫中止，那么赌本如何分配才公平呢中止，那么赌本如何分配才公平呢?甲甲乙乙两两人人乒乒乓乓球球水水平平相相当当，约约定定5 5局局3 3胜胜制制，胜胜者者得得全全部部奖奖金金80008000元元现现因因故故在在甲甲胜胜一一局局后后比比赛赛终终止止，那那么么现现在在该如何分配奖金？该如何分配奖金？授予哈佛大学授予哈佛大学Robert Merton教授和斯坦福教授和斯坦福大学大学Myron Scholes教授教授,以表彰他们与已以表彰他们与已故的故的Fischer Black教授在期权定价理论方教授在期权定价理论方面所作出的杰出贡献面所作出的杰出贡献。Black和和Scholes在在1973年发表在年发表在Journal of Political Economy”上的第一个期权定价上的第一个期权定价模型模型。在随后推广和完善该期权定价的过。在随后推广和完善该期权定价的过程中，程中，Merton教授作出了突出贡献。教授作出了突出贡献。1997年度诺贝尔经济学奖年度诺贝尔经济学奖期权是什么？期权(又叫金融选择权)是一种合约，它承认购买者有权利(而不是义务)买或卖某一确定日期的特定数量的某种基本资产，它是一种颇富灵活性和技巧性的金融风险管理与投资工具，期权交易者常利用期权来减少价格风险或利用价格差异进行套利。期权合约构成的要素权利金：期货期权的价格执行价格：又称履约价格、敲定价格合约到期日：允许执行期权的最后日期期权交易的基本形式1 按期权的权利划分：看涨期权和看跌期权按期权的权利划分：看涨期权和看跌期权 2 2 按交割时间划分：欧式期权和美式期权按交割时间划分：欧式期权和美式期权看涨期权，又称买入期权.看跌期权，又称卖出期权.欧式期权，是指在规定合约到期日方可执行期权.美式期权，是指规定的有效期限内的任何时候都可执行期权.期权定价思想的广泛应用例如定期存款隐含着可以提前支取的期权；公司制企业在破产清算时股东只承担有限债务责任隐含着股东有放弃企业并将部分亏损转移给债权人的期权；各种具有可转换特性的金融工具都隐含着期权；保险费的定价；无形资产评估等等。在所有这些方面，期权定价理论都提供了重要的理论基础。例例期权定价问题期权定价问题无风险证券无风险证券(如债券如债券)，即有风险证券有风险证券(如股票如股票)，即所谓欧式买入期权是指一种到一种期限所谓欧式买入期权是指一种到一种期限T T以固以固定执行价格定执行价格K K买入股票的权力买入股票的权力(但不是义务但不是义务).).设设C C(t(t，St)St)是在时刻是在时刻t t的期权价格的期权价格.当当t=Tt=T时，时，C(tC(t，S ST T)=(S)=(ST T-K)-K)+=max S=max ST T-K,0-K,0 代入It公式立即可得 Black-Schole公式 C(t,x)期权价格X标的基础资产价格K期权的执行价格T期权的有效期限（以年为单位）r无风险利率 拥有基础资产年收益率的标准差N()累计的标准正态概率分布ln以e为底的自然对数，e2.71828例例最佳投资组合选择问题最佳投资组合选择问题 Nobel经济学奖与概率统计经济学奖与概率统计1.1.19681968年瑞典央行决定从年瑞典央行决定从19691969年起以年起以Alfred NobelAlfred Nobel的名义颁的名义颁 发发NobelNobel经济经济科学奖。除奖金来源之外，其它程序科学奖。除奖金来源之外，其它程序过程与其它过程与其它NobelNobel科学奖完全一致。科学奖完全一致。2.2.从从19691969年至今的历史印证一个结论：年至今的历史印证一个结论：NobelNobel经济科学奖是颁发给经济学界经济科学奖是颁发给经济学界的数学家。（的数学家。（20022002年奥斯卡最佳影片年奥斯卡最佳影片奖奖美丽心灵美丽心灵中中John Nash,1994John Nash,1994年年因Game Theory的先驱性研究获Nobel经济学奖，给公众的印象更深刻）Nobel经济科学奖与新兴学科：1969年Frisch等计量经济学；（1989年Haavelmo 计量经济学的概率论革命）1970年P.Samuelson 线性规划与经济分析；1971年Arrow等一般经济均衡理论；1990年 Markowitz等数理金融学（最佳投资组合选择）引起华尔街第一次革命；1997年Black&Scholes 数理金融学(期权定价理论)引起华尔街第二次革命；2000年Heckmam等微观计量经济学。概率、随机变量和数学期望概率、随机变量和数学期望、偶然现象与必然现象偶然现象与必然现象 从偶然现象从偶然现象 随机试验随机试验 随机试验随机试验 E:i)可以在相同条件下可重复进行可以在相同条件下可重复进行;ii)可能的结局可能的结局(结果结果)不止一个不止一个,并且并且事事 前已明确所有的可能结局前已明确所有的可能结局;iii)事前不能肯定最终结局是哪个事前不能肯定最终结局是哪个,且且 一旦完成试验有且仅有一个可能一旦完成试验有且仅有一个可能 的结局出现的结局出现。可能的结局可能的结局(结果结果)不止一个不止一个,并且事并且事前前 已明确所有的可能结局已明确所有的可能结局 所有的可能结局所有的可能结局所关心的某些可能结局所关心的某些可能结局随机事件随机事件A,B,频率的稳定性频率的稳定性:事件事件A在在n次重复次重复试验中出现试验中出现nA次次,则比值称为事则比值称为事件件A在在n次重复试验中出现的频次重复试验中出现的频率，记为率，记为fn(A)，即即 fn(A).nnAnAn 频率的性质频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn()1；fn()=0(3)可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B)fn(A)fn(B).抛一枚硬币抛一枚硬币,币值面向上的概率为多少币值面向上的概率为多少?掷一颗骰子掷一颗骰子,出现出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？问题问题：为什么为什么抛一枚硬币抛一枚硬币,出现出现币值面向上币值面向上的的频率与出现频率与出现币值面向上的币值面向上的频率很接近？频率很接近？为什么为什么掷一颗骰子掷一颗骰子,出现点六的出现点六的频频率与出现率与出现单数点的单数点的的的频率相差很大，并且频率相差很大，并且往往前者大于后者？往往前者大于后者？事件的概率事件的概率 P(A)定义定义:若对随机试验若对随机试验E所对所对应的样本空间应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一均赋予一实数实数P(A)，集合函数集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1)P(A)0；(2)P()1；(3)可列可加性：设可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,有有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。概率论的发展历史与几种早期概率定义及其局限古典概型古典概型 若某试验若某试验E满足满足1.有限性有限性:样本空间样本空间 1,n;2.等可能性等可能性:(?)P(1)=P(2)=P(n).则称则称E为古典概型也叫为古典概型也叫等可能等可能概型概型各个基本事件发生的机会是各个基本事件发生的机会是平等的，对称的，处于同样平等的，对称的，处于同样有利的地位。有利的地位。广东省广东省04年高考第年高考第13题题:某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副组长,其中至少有1名女生当选的概率是-(用分数作答).此题的标准答案认为,由于基本事件组有n=(7 times 6)/2=21 个等可能的基本事件.其中事件A至少有1名女生是由 m=(3 times 4)+(2 times 3)/2=15个基本事件组成.于是根据概率的古典定义,答案为:P(A)=m/n=5/7.有有人人认为认为:也可以将也可以将“有有1名男生当选名男生当选”,“有有2名男生当选名男生当选”,没有男生当选没有男生当选看成 由3个等可能的基本事件组.这样“至少有1名女生当选”就由2个基本事件组成.因此答案应该是2/3.或者或者:若将“有女生当选”,“没有女生当选”看成由2个等可能的基本事件组.这样“至少有1名女生当选”就由1个基本事件组成.则答案应为1/2.三种解法的答案不等.到底谁对？问题出在哪里？三种解法似乎都是规定的基本事件组.问题出在对等等可能性可能性的理解上.例例1 某个单位须拆迁本单位的一个居某个单位须拆迁本单位的一个居住小区用以建设大型体育设施。为使住小区用以建设大型体育设施。为使该小区职工尽快搬离拟拆迁楼房该小区职工尽快搬离拟拆迁楼房,采采取以下取以下“激励激励”措施措施:按照搬离并退按照搬离并退房的顺序发放房的顺序发放号码号码,届时将按照届时将按照该号该号码码依次抽签依次抽签,再根据所抽签得到的号再根据所抽签得到的号码依次挑选安置房。码依次挑选安置房。结果该小区住户结果该小区住户争先恐后搬离争先恐后搬离,争取得到前面的争取得到前面的号码号码,“以免吃亏以免吃亏”。1 k n 设设i表示表示 第第k个交旧房的住户抽到个交旧房的住户抽到第第 i号号,i=1,n.则则 =1,2,n。这是这是古典概型古典概型。P(i )=1/n,i=1,n.几何概型几何概型：A A A的面积的面积 P(A)=的面积的面积概率的统计定义概率的统计定义:A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现的频率，记为的频率，记为fn(A),即即 fn(A)则当则当n很大时很大时f fn n(A)(A)会在一个数会在一个数(记为记为P(A)P(A)附近摆动附近摆动,这时这时称称P(A)P(A)时为事件时为事件A A概率。概率。nAnBertrand奇论在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长超过该圆内接等边三角形的边长 的概率是多少？贝特朗(Bertrand)问题的解法 概率概率 的公理化的公理化定义定义:若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；(2)P()1；(3)可列可加性可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率概率。例2004年某市质检的一道数学题“玛丽莲问题”中最著名的是中最著名的是“Behind Monty Halls Doors“，简称称“The Monty Hall Problem”：台上有三个台上有三个门，一个，一个后后边有汽有汽车，其余后，其余后边是山羊。主持人是山羊。主持人让你任意你任意选择其一。然后其一。然后 他打开其余两他打开其余两个个门中的一个，你看到是山羊。中的一个，你看到是山羊。这时，他他给你机会你机会让你可以重你可以重选，也就是你，也就是你 可可以以换选另一个剩下的另一个剩下的门。那么，你。那么，你换不不换？玛丽莲的答案是的答案是应该换，但是很多，但是很多 读者不同意。者不同意。玛丽莲在下一期在下一期专栏给出一个事件列出一个事件列 表表说明她的道明她的道理，但反理，但反对声更多更大了。在几千封声更多更大了。在几千封读者来信中，者来信中，反反对者达九成。其中有全者达九成。其中有全 国健康机构的国健康机构的统计学家，学家，国防情国防情报中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数学家保学家保罗埃埃 尔笛希（笛希（Paul Erdos）也是反）也是反对者之者之一。一。1991年年2月月17日，日，玛丽莲为此此题目作了第三目作了第三期期专栏。她最后是。她最后是这样说服大家的：假服大家的：假 如当主持人如当主持人打开那个有山羊的打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上后，有外星人忽然来到台上选。他在能他在能选的两个的两个门中任中任选 一个，有一个，有车的概率确的概率确实都都是是50%。但你不是。但你不是刚到，你有到，你有优势，因，因为主持人帮主持人帮助助过你了，他你了，他为 你在其余两个你在其余两个门中作了中作了预选。你。你换了后，概率就由三分之一提高到三分之二了了后，概率就由三分之一提高到三分之二了。然而，事情然而，事情远远没有没有结束。接下来的十几年束。接下来的十几年里，里，“玛丽莲问题”在就大部分人在就大部分人认为全球掀全球掀起了起了讨论热 潮，相关网站就有数十个，很多潮，相关网站就有数十个，很多网站网站还给出了出了测试程序程序。在国内，你可以在在国内，你可以在任何任何论坛或或BBS找到关于找到关于“玛丽莲问题”的帖的帖子，网友子，网友们吵得面吵得面红耳赤，不亦耳赤，不亦乐乎。不乎。不过总的来的来说，无，无论国内国内还是国外，都是是国外，都是赞 同同玛丽莲的人多。也就是的人多。也就是说换门后得到后得到车的概率的概率是是2/3，所以，所以应该换。但是，仍有一部分人。但是，仍有一部分人坚持持认为，换不不 换无所无所谓，概率都是，概率都是1/2。难道对难道对“玛丽莲问题玛丽莲问题”还可以依赖还可以依赖人们的意愿判断对与错？该怎样进行正人们的意愿判断对与错？该怎样进行正确的科学判断和抉择？即到底是换还是确的科学判断和抉择？即到底是换还是不换不换?科学依据是什么？科学依据是什么？下面通过概率下面通过概率的公理化体系给以回答：的公理化体系给以回答：从台上的三个门中任选其一，恰好其门后从台上的三个门中任选其一，恰好其门后面是汽车的概率为面是汽车的概率为1/3，即如果把第一次选，即如果把第一次选i号号门正好选到车记为事件门正好选到车记为事件Ai，那么事件，那么事件A的概率的概率P(Ai)=1/3。如果坚持不换，那正好选到车的概如果坚持不换，那正好选到车的概率率P(Ai)始终是始终是1/3。假设游戏者选择了一号门假设游戏者选择了一号门之后之后,主持人帮游戏者开了一个有山羊的门，主持人帮游戏者开了一个有山羊的门，那么事件那么事件D=游戏者选择了一号门并在主持人游戏者选择了一号门并在主持人打开了一个有山羊的门后换选另一个门打开了一个有山羊的门后换选另一个门，这，这时候时候P(D)=P(A2A3)=2/3，也就是说换选后，也就是说换选后能选到车的概率是原来的两倍，故游戏者应该能选到车的概率是原来的两倍，故游戏者应该换选。换选。随机变量及其分布随机变量及其分布正态分布正态分布正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位别重要的地位。谢谢大家！