拉普拉斯变换性质.ppt
河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology7 7 初值定理初值定理初值定理初值定理2.4 拉氏变换的性质若函数若函数则函数的初值为则函数的初值为及其一阶导数都是可拉氏变换的，及其一阶导数都是可拉氏变换的，上式表明原函数上式表明原函数 在在t=0 时的数值（初始值），可时的数值（初始值），可以通过将象函数乘以以通过将象函数乘以s后，再求后，再求 的极限值求得。的极限值求得。条件是当条件是当 和和 时等式两边各有极限存在。时等式两边各有极限存在。1河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology7 7 初值定理初值定理初值定理初值定理2.4 拉氏变换的性质证明证明证明证明：因为因为所以所以由时域由时域微分定理微分定理可知可知令令 时，对上式两边取极限时，对上式两边取极限2河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology2.4 拉氏变换的性质7 7 初值定理初值定理初值定理初值定理应用初值定理求解连续信号的初值应用初值定理求解连续信号的初值 f(0)时要注意它的使用时要注意它的使用条件。如果条件。如果 F(s)是有理代数式是有理代数式,则其使用条件是则其使用条件是 F(s)必须必须是真分式是真分式,即分子的阶次应低于分母的阶次。即分子的阶次应低于分母的阶次。如果如果 F(s)不是真分式不是真分式,则不能直接使用初值定理则不能直接使用初值定理,需要需要首先用长除法把假分式首先用长除法把假分式 F(s)变换为整式变换为整式 F1(s)和真分和真分式式F0(s)之和之和,即即 F(s)=F1(s)+F0(s),而初值而初值f(0)等于等于真分式真分式 F0(s)的拉氏反变换的拉氏反变换f0(t)的初值的初值f0(0),即即3河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology2.4 拉氏变换的性质例：例：使用初值定理使用初值定理或求出拉氏变换的原函数或求出拉氏变换的原函数4河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology2.4 拉氏变换的性质例：例：F(s)是假分式，用长除法求得是假分式，用长除法求得于是初值于是初值在在这这种种F(s)是是假假分分式式的的情情况况下下，如如果果不不用用长长除除法法变变换换，而是直接应用初值定理，则会得到错误的结论。而是直接应用初值定理，则会得到错误的结论。5河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology8 8 终值定理终值定理终值定理终值定理2.4 拉氏变换的性质若函数若函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，原点处唯一的极点外，sF(s)在包含在包含j轴的右半轴的右半s平面内是解平面内是解析的（这意味着当析的（这意味着当 时时f(t)趋于一个确定的值），则趋于一个确定的值），则函数的终值为函数的终值为6河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology8 8 终值定理终值定理终值定理终值定理证明证明证明证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于由于，上式可写成，上式可写成2.4 拉氏变换的性质令令 时，对上式两边取极限时，对上式两边取极限由此可得由此可得7河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology8 8 终值定理终值定理终值定理终值定理2.4 拉氏变换的性质应用终值定理求解连续信号的终值应用终值定理求解连续信号的终值f()f()时也要注意它的时也要注意它的应用条件，即只有应用条件，即只有f(tf(t)的终值存在的情况下才能应用定理求的终值存在的情况下才能应用定理求解解f(tf(t)的终值。的终值。f(tf(t)的终值是否存在可以从的终值是否存在可以从s s域做出判断。仅域做出判断。仅当当 F(s)F(s)在在 s s 平面的虚轴上及其右半平面为解析时平面的虚轴上及其右半平面为解析时(原点除外原点除外),终值定理才可使用。根据终值定理才可使用。根据 F(s)F(s)的极点与时域波形的关系，的极点与时域波形的关系，上述判断可以描述为上述判断可以描述为:-F F(s(s)的极点必须位于的极点必须位于S S平面的左半平面；平面的左半平面；-F F(s(s)在在s=0s=0处若有极点，也只能有一阶极点。处若有极点，也只能有一阶极点。注意：当注意：当 是周期函数，如正弦函数是周期函数，如正弦函数 时，由于它时，由于它没有终值，故终值定理不适用。没有终值，故终值定理不适用。8河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology2.4 拉氏变换的性质例例1 1：F F(s(s)的极点的极点s=5s=5，位于，位于S S平面的右半平面，不能应用终值平面的右半平面，不能应用终值定理。定理。F F(s(s)的极点的极点s=-5s=-5，位于，位于S S平面的左半平面，可以应用终平面的左半平面，可以应用终值定理。值定理。9河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology2.4 拉氏变换的性质例例2 2：F F(s(s)的极点的极点s=0,s=-as=0,s=-a，其中一个极点在原点，另一个，其中一个极点在原点，另一个位于位于S S平面的左半平面，可以应用终值定理。平面的左半平面，可以应用终值定理。例例3 3：F F(s(s)的极点的极点s=0,s=js=0,s=j，s=-js=-j，有一对极点在虚轴，不满足终值定理，有一对极点在虚轴，不满足终值定理使用条件，使用条件，f(tf(t)的终值不存在的终值不存在。10河南科技大学河南科技大学Henan University of Science&Technology11
