2 第二型曲线积分.ppt

ReviewReview1.1.定义定义2.2.性质性质(l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)3.3.计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧Fri.Apr.28 2 2 第二型曲线积分第二型曲线积分v第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质v第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算v两类曲线积分的关系两类曲线积分的关系一一 第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割求和求和取极限取极限近似近似值值精确精确值值 1 1 概念概念 定义定义上式也可以写成上式也可以写成向量形式向量形式坐标形式坐标形式物理意义：物理意义：定理：定理：第二型曲线积分与曲线的方向有关。第二型曲线积分与曲线的方向有关。三维空间的第二型曲线积分：三维空间的第二型曲线积分：对向量场对向量场定义第二型曲线积分：定义第二型曲线积分：2 2 性质性质其其物理意义物理意义可解释为：合力做的功等于每个分可解释为：合力做的功等于每个分力所作的功之和或差。力所作的功之和或差。积分路径相反，则第二型曲线积分变号。积分路径相反，则第二型曲线积分变号。规定规定：二二 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算定理定理证明证明:下面先证下面先证根据定义根据定义对应参数对应参数设分点设分点由于由于对应参数对应参数因为因为L 为光滑弧为光滑弧,同理可证同理可证特殊情形特殊情形例例1解解例例2解解例例3解解直线方程为直线方程为：参数方程为：参数方程为：例例4解解积分路线如图所示，其方积分路线如图所示，其方程为程为根据曲线积分对路径的可根据曲线积分对路径的可加性知：加性知：解解：(1)(1)AB AB 弧的参数方程为：弧的参数方程为：(2)(2)AOB AOB 两条积分路线有两条积分路线有相同的起点和终点相同的起点和终点，但积分，但积分路径不同路径不同，积分值也不同积分值也不同。例例6解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。积分值与路经有关。解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同。径不同而积分结果相同。积分值与路经无关。积分值与路经无关。解：解：空间曲线积分用参数方程比较方便空间曲线积分用参数方程比较方便.三三 两类曲线积分的关系两类曲线积分的关系第一类曲线积分第一类曲线积分：数量函数数量函数f(x,y)对对弧长的积弧长的积 分，与积分路径的方向无关，化定积分时，分，与积分路径的方向无关，化定积分时，下限总是小于上限；下限总是小于上限；第二类曲线积分：第二类曲线积分：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）例例9证明：证明：四、小结四、小结1 1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2 2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3 3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系hw：p142 3(2,5,6),4,5,7(2),8.思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.练练 习习 题题练习题答案练习题答案