第3章 函数的数值逼近.ppt

11 代数多项式插值代数多项式插值分段插值与保形插值分段插值与保形插值样条函数插值样条函数插值曲线拟合的最小二乘方法曲线拟合的最小二乘方法函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近2引引 言言 一、函数的工程化表达一、函数的工程化表达1.1.对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。表达形式上为函数表，无解析表达形式。2.2.2.2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用，通常也会造一个函数表。使用，通常也会造一个函数表。(例如：大家熟悉的三角函数例如：大家熟悉的三角函数表，对数表，平方根表，立方根表。表，对数表，平方根表，立方根表。)需求：需求：为为了了研研究究函函数数的的变变化化规规律律，往往往往需需要要求求出出不不在在表上的函数值。表上的函数值。解决方法：解决方法：用用易易于于计计算算的的简简单单函函数数近近似似 函数表和复杂函数。函数表和复杂函数。3设函数设函数y=y=(x)(x)在在区间区间a,ba,b上有定义，且已知上有定义，且已知(x)在点在点上的值为上的值为 ，若存在一简单函数，若存在一简单函数 ,使得使得成立，就称成立，就称 为为 的的插值函数插值函数，点，点 称为称为插值插值节点节点,包含插值节点的区间包含插值节点的区间a,b称为称为插值区间插值区间，求解函数，求解函数 的的方法称为方法称为插值法插值法。4x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)用曲线用曲线 g (x)来来近似近似 f(x)，以，以此计算此计算x点值点值二维插值前二维插值前二维插值后二维插值后5若若 是次数不超过是次数不超过n的代数多项式，即的代数多项式，即 其中其中 为实数，就称为实数，就称 为为插值多项式插值多项式，相应的插值法称为，相应的插值法称为多多项式插值项式插值。如果。如果 为分段的多项式，就是为分段的多项式，就是分段插值分段插值，若，若 为三角多项式，就称为为三角多项式，就称为三角插值三角插值。研究问题：研究问题：（1）满足插值条件的）满足插值条件的P(x)是否是否存在唯一存在唯一？（2）若满足插值条件的）若满足插值条件的P(x)存在，存在，如何构造如何构造P(x)？（3）如何估计用如何估计用P(x)近似替代近似替代 f(x)产生的产生的误差误差？6一一.插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性由由(1)式可得式可得(2)设设 是是 的插值多项式，的插值多项式，表示次数不超过表示次数不超过n的所有多项式的所有多项式的集合。且的集合。且 。称插值多项式存在且唯一，就是指在。称插值多项式存在且唯一，就是指在 中有且仅有一个中有且仅有一个 满足满足(1)式。式。插值多项式的唯一性插值多项式的唯一性 方程组方程组(2)有唯一解有唯一解7即，证明：即，证明：上式称为范德蒙上式称为范德蒙(Vandermonde)行列式行列式范德蒙行列式的性质：范德蒙行列式的性质：由于由于 时，时，故，故定理定理1 满足条件满足条件(1)的插值多项式存在且唯一。的插值多项式存在且唯一。8y 0 x y=f(x)的几何意义的几何意义一、线性插值与抛物线插值一、线性插值与抛物线插值1.线性插值线性插值(n=1)设已知区间设已知区间 端点处的函数端点处的函数值值 ，求线，求线性插值多项式性插值多项式 ，使其满足，使其满足y=L1(x)xk xk+1 代数多项式插值代数多项式插值 过两点过两点(xk,yk)与与 (xk+1,yk+1)的直线的直线9或或L1(x)是两个线性函是两个线性函数的线性组合数的线性组合称为节点上的称为节点上的线性插值基函数线性插值基函数线线 性性 函函 数数可以把可以把 的表达式写为的表达式写为10 y10 xk xk+1 x y10 xk xk+1 x lk(x)lk+1(x)满足满足线性插值基函数线性插值基函数112.抛物插值法抛物插值法(n=2 时的二次插值时的二次插值)设插值节点为：设插值节点为：,求二次插值多项式求二次插值多项式 ，使，使得得 先求先求 插值基函数插值基函数l k-1(x),l k(x),l k+1(x),且在节点满足且在节点满足 的几何意义，的几何意义，-过三点过三点 的的曲线。曲线。12插值多项式插值多项式L2(x)是三个二次是三个二次函数的线性组合函数的线性组合y 1 0 xy 1 0 xy 1 0 xxk-1 xk xk+1 xk-1 xk xk+1 xk-1 xk xk+1 13拉格朗日多项式插值拉格朗日多项式插值(n 次次)niyxPiin,.,0,)(=求求 n 次多项式次多项式 使得使得条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即基函数必须满足：基函数必须满足：li(x)14 =j i jiiiixxCxl)(11)(拉格朗日拉格朗日插值多项插值多项式式与与 有关，而与有关，而与 无关无关节点节点f每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn1516问题：问题：这种插值得到的这种插值得到的 近似近似 的截断误差如何？的截断误差如何？截断误差：截断误差：这个截断误差也被称为这个截断误差也被称为插值多项式的余项插值多项式的余项。为理论上分析方便，我们引入记号：为理论上分析方便，我们引入记号：它的一阶导数：它的一阶导数：拉格朗日插值基函数也可以写成：拉格朗日插值基函数也可以写成：17定理定理 设设 在在a,b上连续，上连续，在在(a,b)内存在，内存在，节点节点 ，是节点上的插值多项式，是节点上的插值多项式，则对于任何则对于任何 ，插值余项为，插值余项为 证明：证明：由给定条件知由给定条件知 在节点在节点 上为零，即上为零，即 ，于是，于是其中其中 是与是与 x 有关的待定系数。有关的待定系数。18现在把现在把 x 看成看成a,b上一个固定点，作函数上一个固定点，作函数根据插值条件及余项定义，可知根据插值条件及余项定义，可知 在点在点 及及 x 处处均为零，故均为零，故 在在a,b上有上有n+2 个零点，根据罗尔个零点，根据罗尔(Rolle)定定理，理，在在 的两个零点之间至少有一个零点。故的两个零点之间至少有一个零点。故 在在a,b内至少有内至少有n+1个零点。对个零点。对 再应用罗尔定理，可知再应用罗尔定理，可知 在在a,b内至少有内至少有 n 个零点。个零点。依次类推，依次类推，在在 a,b 内至少有一内至少有一个零点，记为个零点，记为 ，使，使于是于是将它带入原式，得到余项表达式。将它带入原式，得到余项表达式。19注：注：通常不能确定通常不能确定 x,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时，,可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精确精确的。的。20例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外外推推/*extrapolation*/的实际误差的实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.76008,内插内插/*interpolation*/的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择要计算的要计算的 x 所在的区间的所在的区间的端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。21n=2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 =0.76604442次次插值的实际误差插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优于高次插值通常优于低次插值低次插值但但绝对不是次数越绝对不是次数越高就越好，嘿嘿高就越好，嘿嘿22分段低次插值与保形插值分段低次插值与保形插值例：在例：在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)分段低次插值分段低次插值23尽量充分利用已有的信息尽量充分利用已有的信息插值多项式的次数不能持续插值多项式的次数不能持续无限制的增大无限制的增大&Runge现象现象矛盾矛盾低次分段插值低次分段插值实际上实际上,很少采用高很少采用高于于7次的插值多项式次的插值多项式分段线性插值：分段线性插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近f（x）24 分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。25为什么前面分析的分段线性插值完全没有光滑性呢？为什么前面分析的分段线性插值完全没有光滑性呢？解决方法：不仅令插值函数在节点上与原函数值相等，还解决方法：不仅令插值函数在节点上与原函数值相等，还令其导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。令其导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。原因之一是插值函数的导数没能逼近原来函数的导数。原因之一是插值函数的导数没能逼近原来函数的导数。厄密插值多项式法厄密插值多项式法我我们们一一般般只只考考虑虑一一阶阶导导数数的的情情况况，以以及及函函数数值值与与导导数数值值个个数数相相等等的的情情况。况。26已知节点已知节点 及在其上的函数及在其上的函数表表及导数表及导数表要求插值多项式要求插值多项式 满足条件满足条件分析：分析：这里给出了这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式，其形式为的多项式，其形式为272n+2个系数呢？个系数呢？问题：问题：分析：分析：直接根据直接根据 来确定这些来确定这些系数显然非常复杂。系数显然非常复杂。如何确定如何确定 中这中这仍然采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。仍然采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。28令插值基函数为令插值基函数为 及及 共共2n+2个，每个，每一个基函数都是一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件次多项式，且满足条件于是，插值多项式于是，插值多项式 ，可以写成，可以写成 用插值基函数表用插值基函数表示的形式示的形式29求求求求求解求解其中其中 为拉格朗日基函数，为拉格朗日基函数，c，d 为待定系数为待定系数令令？30由由得：得：如何求如何求31取对数取对数求导求导故：故：32求解求解其中其中 为拉格朗日基函数，为拉格朗日基函数，e，f 为待定系数为待定系数令令？同理代入：同理代入：得：得：33设有设有 及及 都是厄密插值问题的解。都是厄密插值问题的解。证明厄密插值的唯一性。证明厄密插值的唯一性。证明：证明：那么那么 为次数为次数 的多项式，的多项式，且满足条件：且满足条件：这说明这说明都是都是的二重零点，即的二重零点，即共有共有2n+2个零点。个零点。即即 ，34为为Hermite插值多项式，插值多项式，则则定理定理 (Hermite插值余项插值余项)证明与拉格朗日余项公式证明类似证明与拉格朗日余项公式证明类似.35问题：问题：已知已知 ，函数表及导数表函数表及导数表分段三次厄密插值分段三次厄密插值(保形插值保形插值)对于每个小区间对于每个小区间 求求3 3次多项式次多项式 使其满足插使其满足插值条件值条件这种插值即为分段三次厄密插值，也叫保形插值。这种插值即为分段三次厄密插值，也叫保形插值。36存在且唯一，具体表达式：存在且唯一，具体表达式：3738高次插值出现龙格现象L-插值Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（不需要每点的导数值，并满足二阶 光滑的工程需求）发发展背景展背景三次样条插值三次样条插值(Cubic spline interpolation)39前面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光前面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。问题：问题：早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条(样条样条)用用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，成为样条曲线。它实际上是由分段画下长条的曲线，成为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续。连续。解决方案：解决方案：40数学定义：数学定义：若若函函数数 ,且且在在每每个个小小区区间间 上上是是三三次次多多项项式，其中式，其中 是给定节点，则称是给定节点，则称 是节点是节点 上的三次样条函数。若在节点上的三次样条函数。若在节点给定函数值给定函数值 ，并成立，并成立则称则称 为为三次样条插值函数三次样条插值函数。分析：分析：因因 在在 上是上是3 3次多项式，即为次多项式，即为4 4n个待定系数个待定系数:41共有共有 个条件个条件 要唯一确定要唯一确定 ，还必须附加条件，还必须附加条件(2边界条件边界条件)。个条件个条件已有条件：已有条件：内部条件：内部条件：个条件个条件 连续性连续性4n个待定系数个待定系数42常见常见边界条件有三种：边界条件有三种：注：注：一般不取一端是一阶导数而另一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数一端是二阶导数。43三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造(三转角方程三转角方程)现在构造满足插值条件及加上相应边界条件的三次样条函数现在构造满足插值条件及加上相应边界条件的三次样条函数S(x)的表达式。若假设的表达式。若假设 在节点在节点 处的值为处的值为 ，仿分段三次厄密插值公式，可得：，仿分段三次厄密插值公式，可得：是未知的是未知的解决解决方法方法利用利用及边界条件及边界条件44为求出为求出 ，考虑，考虑S(x)在在 上的表达式：上的表达式：(首先令首先令 )对对S(x)求二次导数得求二次导数得45同理可得同理可得 在在 上的表达式：上的表达式：(首先令首先令 )由条件由条件可得：可得：46式子两边除以式子两边除以令有47说明：说明：(b)上式有上式有n-1个方程个方程,要确定要确定n+1个未知量个未知量缺少两个方程缺少两个方程,由边界条件补足由边界条件补足.方程组成的方程组方程组成的方程组.mj(j=0,1,n)在力学上叫做细梁在力学上叫做细梁 xj(j=0,1,n)处的转角，数学处的转角，数学上叫做变化率。上式反映了上叫做变化率。上式反映了mj与与mj-1,mj+1的关系的关系,因此叫做三转角方因此叫做三转角方程。程。的的n-1个个(a)上式是关于上式是关于n+1个未知量个未知量48上面的方程组为关于所满足的方程组：(1)增加第1种边界条件：则方程组变为关于所满足的方程组可写为：矛盾方程组n+1个未知量，n-1个方程49如果边界条件为第二类：如果边界条件为第二类：如果边界条件为如果边界条件为 自然边界条件：自然边界条件：50如果边界条件为第三类：如果边界条件为第三类：令令51这些方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，由此可这些方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，则方程组有唯一知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，则方程组有唯一解解 可由解方程组的方法求解，从而可以得出可由解方程组的方法求解，从而可以得出的表达式，且的表达式，且S(x)具有连续的一阶具有连续的一阶,二阶导数二阶导数(即即S(x)为为3次样条插值函数）。次样条插值函数）。说明：说明：注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。52例 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529分析：属于第一类边界条件三次样条插值问题分析：属于第一类边界条件三次样条插值问题53由第一类边界条件：由第一类边界条件：厄密厄密插值插值公式公式5455由于由于56数值逼近问题数值逼近问题 在在生生产产实实际际和和科科学学实实验验中中有有很很多多函函数数，它它的的解解析析表表达达式式是是不知道的，仅能通过实验观察的方法测得一系列节点上的值不知道的，仅能通过实验观察的方法测得一系列节点上的值 。即即得得到到一一组组数数据据或或者者说说得得到到平平面面上上一一组组点点 ，现现在在的的问问题题是是寻寻求求 的的近近似似表表达达式式 。用用几几何何语语言言来来说说就就是是寻寻求求一一条条曲线曲线 ，来拟合（平滑）这，来拟合（平滑）这m个点，简言之求一曲线拟合。个点，简言之求一曲线拟合。曲线拟合是求近似函数的又一类数值方法。它不要求函数在曲线拟合是求近似函数的又一类数值方法。它不要求函数在节点处与函数同值，即不要求近似曲线过已知点，只要求它尽可节点处与函数同值，即不要求近似曲线过已知点，只要求它尽可能反映给定数据点的基本趋势，在某种意义下能反映给定数据点的基本趋势，在某种意义下“逼近逼近”函数。函数。57函数逼近的两种度量函数逼近的两种度量1.最佳一致逼近最佳一致逼近寻求次数 的多项式 P*n(x)，使的n次最佳一致逼近多项式。相应的逼近问题称为最佳一致逼近（或称为极大极小逼近，或称为理论上可以证明，对存在且唯一。多项式次最佳一致逼近切比雪夫（Chebyshev）逼近）。若存在 称为f(x)582.最佳平方逼近最佳平方逼近均方误差寻求 使 其中权函数(x)满足：这种逼近问题称为最佳平方逼近问题。中的最佳平方逼近多项式。在a,b上可积在a,b任意小区间内不恒等于059(1)在各种度量意在各种度量意义义下最佳逼近多下最佳逼近多项项式式是否存在？是否存在？是否唯一？是否唯一？（主要讨论：最小二乘逼近（主要讨论：最小二乘逼近）(2)如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式问题：问题：601.基基础础知知识识已知 关于点集 上函数，(1)内积：内积：定义定义:内积满足以下四条性质：内积满足以下四条性质：61定义定义 设设 称称为函数为函数f(x)的欧几里得范数的欧几里得范数,或或2范数范数.(2)函数的欧几里德范数函数的欧几里德范数性质：性质：62(3)正交正交:若若 满足满足 则称则称 与与 在在a,b上带权上带权 正交。正交。若函数族若函数族 ，满足关系，满足关系则称则称 是是a,b上带权上带权 的正交函数族。的正交函数族。63当且仅当当且仅当 时成立时成立(4)函数组的线性相关与线性无关函数组的线性相关与线性无关设有函数组设有函数组 在在a,b上连续上连续若若在在a,b上上线性无关线性无关称称否则，称函数组在否则，称函数组在a,b上上线性相关线性相关若函数族若函数族 中的任意有限个中的任意有限个 线性无关，则线性无关，则称称 为为线性无关函数族线性无关函数族。例如：例如：就是就是a,b上的线性无关函数族。上的线性无关函数族。64定理：定理：在在a,b上线性无关的充分必要上线性无关的充分必要条件是它的克莱姆条件是它的克莱姆(Gramer)行列式行列式 ，其中，其中65曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据 中，寻找自变量中，寻找自变量 x 与因变量与因变量 y 之间之间的函数关系的函数关系 。由于贯彻数据往往不准确，因此不。由于贯彻数据往往不准确，因此不要求要求 经过所有点经过所有点 ，而只要求在给定点，而只要求在给定点 上上误差误差 按照某种标准最小。按照某种标准最小。若记若记 ，误差最小即要求向量，误差最小即要求向量 的范数的范数 最小。如果采用最大范数，计算上困难较大，通常就采最小。如果采用最大范数，计算上困难较大，通常就采用欧式范数用欧式范数 作为误差量度的标准。作为误差量度的标准。66关于最小二乘法的一般提法是：关于最小二乘法的一般提法是：对给定的一组数据对给定的一组数据 ，要求在函数类，要求在函数类 中找到一个函数中找到一个函数 ，使，使误差平方和误差平方和其中其中这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。拟合的最小二乘法。67 的一般表达式是的一般表达式是用用最最小小二二乘乘法法求求拟拟合合曲曲线线时时，首首先先要要确确定定 的的形形式式。这这不不单单纯是数学问题，还与所研究的运动规律及所得观测数据纯是数学问题，还与所研究的运动规律及所得观测数据 有有关关。通通常常要要从从问问题题的的运运动动规规律律及及给给定定的的数数据据描描图图，确定确定 的形式，并通过实际计算选出较好的结果。的形式，并通过实际计算选出较好的结果。所表示的线性形式。若所表示的线性形式。若 是是k次多项式，那么次多项式，那么 就是就是n次次多项式。多项式。68为了使问题的提法更具有一般性，通常把最小二乘法中为了使问题的提法更具有一般性，通常把最小二乘法中 都考虑成加权平方和。都考虑成加权平方和。其中其中 是是a,b上的权函数，它表示不同点上的权函数，它表示不同点 处的处的数据比重不同。数据比重不同。例如例如 可表示在点可表示在点 处重复观测的处重复观测的次数。次数。69用最小二乘法求拟合曲线的问题，即求下式的最小值问用最小二乘法求拟合曲线的问题，即求下式的最小值问题题:转化为求多元函数转化为求多元函数的极小值问题的极小值问题70由多元函数极值的必要条件有：由多元函数极值的必要条件有：若记若记那么上式可写为那么上式可写为71上面这个方程成为法方程，可以写成矩阵形式：上面这个方程成为法方程，可以写成矩阵形式：其中其中由于由于 线性无关，故线性无关，故 72从而得到函数从而得到函数 的最小二乘解为的最小二乘解为因为因为 所以所以 ，存在唯一解：，存在唯一解：可以证明这样得到的可以证明这样得到的 对任何形如对任何形如的的 都有都有所以所以 确是所求最小二乘解。确是所求最小二乘解。73例：例：xy(xi,yi),i=1,2,m方案一：方案一：设设baxxxPy+=)(求求 a 和和 b 使得使得 最小。最小。=+=miiiiybaxxba12)(),(j jBut hey,the system of equations for a and b is nonlinear!Take it easy!We just have to linearize it 线性化线性化/*linearization*/：令令 ，则，则bXaY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 a 和和b。),(iiYX),(iiyx74方案二：方案二：设设xbeaxPy/)(=(a 0,b 0)线性化：线性化：由由 可做变换可做变换xbay lnlnbBaAxXyY=,ln,1,lnBXAY+就是个就是个线性问题线性问题将将 化为化为 后易解后易解 A 和和B),(iiYX),(iiyx75例例 在在某某化化学学反反应应里里，根根据据实实验验所所得得生生成成物物的的浓浓度度与与时时间间关关系系如如右右所所示示，求求浓浓度与时间的拟合曲线度与时间的拟合曲线 76解：解：(1)选取数学模型选取数学模型 求求对对数数:作变换作变换:令令 则求解模型变为则求解模型变为:于是，问题化为由已知数据于是，问题化为由已知数据作变换，将此模型转化为线性模型求解。作变换，将此模型转化为线性模型求解。77求参数求参数A，B使使其中，模型其中，模型 线性模型，可求得线性模型，可求得 及最小平方误差：及最小平方误差：且最大偏差：且最大偏差：于是得到模型于是得到模型从而从而78其中其中a,b为待定参数，并有为待定参数，并有作变换，令作变换，令于是问题化为，已知数据于是问题化为，已知数据寻求寻求a，b使使其中其中为线性模型。为线性模型。(2)选取数学模型为双曲函数选取数学模型为双曲函数79求解法方程求解法方程得到得到从而得数学模型从而得数学模型8081作业作业 思考题思考题 1.2.3.习题习题 1.4.5.