理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标.ppt
约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标一、问题的提出一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系自由系统统与非自由系统非自由系统。研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与约束，自由度与广义坐标广义坐标的概念。二、约束二、约束1.约束概念约束概念约束约束就是限制物体任意运动的条件。刚体静力学静力学研究约束,是探究约束的原因约束的原因-约束力约束力运动学运动学研究约束,是探究约束的结果约束的结果-运动的限制运动的限制2.2.约束方程约束方程(1)(1)坐标坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标坐标。(2)(2)位形位形 对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形位形。(3)(3)约束方程约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程约束方程。3.3.约束分类与约束方程一般形式约束分类与约束方程一般形式n个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，约束方程的一般形式约束方程的一般形式为：为：(r=1,s)约束方程的个数为：s约束方程中不含:时为几何约束几何约束(完整约束),反之为非完整约束。约束方程的特例约束方程的特例:约束方程中不含:时间显含t时为定常约束定常约束,反之为非定常约束。约束方程中以等号表示时:为双面双面（固执）约束,反之为单面（非固执）约束。几何约束几何约束xyOAzxyzM曲面上的质点：单摆:运动约束运动约束几何约束运动约束纯滚动的圆轮：定常几何约束定常几何约束xyOAz单摆:非定常几何约束非定常几何约束单摆OA为刚性杆：xyOAzOA为柔绳：双面约束双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。单面约束单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。完完整整约约束束1.位移约束位移约束-全部几何约束全部几何约束2.运动约束可积分运动约束可积分-纯滚动的圆轮纯滚动的圆轮;非非完完整整约约束束运动约束不可积分运动约束不可积分-如碰撞系统如碰撞系统,摩擦系统等摩擦系统等.静力学问题中的约束都是定常几何约束定常几何约束。本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。三、广义坐标、自由度三、广义坐标、自由度自由度自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数平面质点平面质点:空间质点空间质点:广义坐标广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 i=1,2,nn个质点，一般地：自由度为k，取广义坐标：1.1.基本概念基本概念自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标2.自由刚体的自由度自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：此后每增加一个质点就增加3根刚杆。连接质点的刚杆数为：每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：自由度数为：,n43.自由刚体的广义坐标自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标和欧拉角或卡尔丹角自由刚体的广义坐标。广义坐标。组成的6个独立参变量就是它们被用于描述刚体的位形。位形。4.受约束刚体的自由度受约束刚体的自由度 设刚体数为n，则 k k=6=6n n-S S 4 4、约束刚体的自由度与广义坐标、约束刚体的自由度与广义坐标 约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。刚体约束情况自由度广义坐标刚体上一轴被约束（定轴转动定轴转动）1刚体上一点被约束（定点运动定点运动）3刚体被限制作平面平行运动（自由的平面运动自由的平面运动）3刚体被限制作平行移动（平移平移）3四四 实例实例:机构如图机构如图,轮轮C C作纯滚动作纯滚动3.3.约束方程约束方程(在点在点O O建立直角坐标建立直角坐标)1.1.刚体数目刚体数目 3;3;2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体 OA OA;平面运动刚体平面运动刚体 ABAB及轮及轮C C;结论结论:8个约束方程个约束方程4.广义坐标广义坐标5.自由度计算自由度计算广义坐标数为:3n-s=1,即:自由度约束方程数或刚体数n=36.选广义坐标为选广义坐标为:自由度恒等于广义坐标数自由度恒等于广义坐标数广义坐标自由度本例为质点与刚体本例为质点与刚体五五 总总 结结(1)检查刚体检查刚体(质点质点)数目数目 n n。(2)检查各刚体的运动形式检查各刚体的运动形式。(3)(3)列写出约束方程。列写出约束方程。(4)(4)计算自由度计算自由度,确定广义坐标确定广义坐标。(a)空间刚体系空间刚体系 k k=6=6n n-s s,空间质点系空间质点系 k k=3=3n-sn-s(b)平面刚体系平面刚体系 k k=3=3n-sn-s,平面质点系平面质点系 k k=2=2n-sn-s
