材料力学PPT第二章.ppt

第二章 轴 向 拉 伸 和 压 缩2.1 2.1 拉伸和压缩拉伸和压缩2.22.2拉（压）杆横截面上的内力拉（压）杆横截面上的内力2.32.3轴力图轴力图2.4 2.4 轴向拉伸与压缩时的应力轴向拉伸与压缩时的应力2.5 2.5 拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力2.6 2.6 轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能2.7 2.7 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能2.8 2.8 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质2.9 2.9 拉伸（压缩）杆件的强度计算拉伸（压缩）杆件的强度计算 2.10 2.10 应力集中应力集中2.11 2.11 拉压超静定问题拉压超静定问题2.1 拉伸和压缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。轴向压缩，对应的外力称为压力。2.2 拉（压）杆横截面上的内力 以图示为例，用截面法确定杆件横截面 mm上的内力。用假想平面将杆件沿横截面 mm 截开根据平衡，如图 mmNmmNPP 杆件左右两段在横截面 mm 上相互作用的内力，是一个分布力系。2.2 拉（压）杆横截面上的内力 NmmPmmPN 设其合力为有平衡条件，可得 (2-1)N与轴线重合，称为轴力。一般规定：拉伸时的轴力为正，压一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。缩时的轴力为负。2.3轴力图X坐标 表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。N坐标 表示轴力的大小，垂直于杆轴。NPx 按选定的比例绘出表示轴力与截面位置关系的图线 称为轴力图轴力图的意义：反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力的轴力的正号正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力轴力的负号的负号2.4 轴向拉伸与压缩时的应力轴向拉伸与压缩时的应力一一.正应力公式：正应力公式：仅由上述静力关系式还不能确定和N之间的具体关系。下面从研究杆件的变形入手来寻求的变化规律。如左图：变形后可观察到如下现象：变形前变形后（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离；（2）变形后，横线仍垂直于轴线。扭转弯曲由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设拉压 杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：横截面各点处的分布内力集度（即正应力）均相等，于是有因此拉（压）杆横截面上的正应力为的符号规定与的符号规定与N相同，拉应力为正，相同，拉应力为正，压应力为负。压应力为负。二.正应力公式的使用条件1.外力合力作用线必须与杆轴线重合。2.杆件必须是等直杆。若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：（2-4）3.公式只在距外力作用点一定距离外才是正确 的。PP/2P/2P/AP 圣维南原理 虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。应力等效应力等效PP/2P/2P/AP2.5 拉（压）杆斜截面上的应力沿斜截面kk（如图），将杆截分为二。研究左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力 pp(a)(b)kkppkk（a a）斜截面kk的面积为 ，横截面积为A，于是有 pp(a)(b)kkppkk式中 为横截面（）上的正应力。（b）A斜截面全应力 的分解：垂直于斜截面的正应力 ：（2-5）相切于斜截面的剪应力 ：可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。Pa at ta as sa aa a（2-6）x 、的符号规定如下x 1.当 时（横截面）即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。（2-5）（2-6）3.当 时 当 时 即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。（2-5）（2-6）一、纵向变形虎克定律 一等直杆如图所示，设杆的原长为，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由 变为 。2.6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能pp轴线方向总伸长为 (a)pp 试验表明：引入比例系数E，则有 （b）对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式（b）可改写为杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负。（2-7）式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。E 与材料的性质有关，称为材料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。EA 反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。（2-7）pp若将 和 代入公式（2-7）可得 或 （2-8）这是虎克定律的另一种表示形式。虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变没有量纲，弹性模量E有与应力相同的量纲。最后指出，公式（2-7）只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常量时才能应用。（2-7）对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件：当轴力 和横截面积 沿杆轴线x方向连续变化时，有 二、横向变形泊松比二、横向变形泊松比 设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则杆的横向线应变为（2-92-9）（2-102-10）试验表明：横向应变与纵向应变之间满足如下关系 因与的符号相反，故有 称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同。E、都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。（2-11）（2-12）三、轴向拉压时的变形能在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。弹性体变形储存能量外力做功外力减小变形减小释放能量如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至 ,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与 成正比。pp(a)(b)显然 dW 等于图中画阴影线部分的微分面积。W 等于 图中三角形的面积:若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即 考虑轴力，并引出虎克定律，得 （2-13）（2-14）变形能的单位为焦（J）引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作u。由虎克定律，上式又可写成 比能的单位是（2-15）（2-16）.7 材料拉伸时的力学性能材料的力学性能 材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。1.实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验2.实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示：ppllpp 标矩。圆试件的直径 在国家标准中标矩，与直径d有两种比例：即 和一、低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也称为拉伸图。efgpl0abcdh1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段：hgbd0aec一、弹性阶段二、屈服阶段三、强化阶段 四、局部变形阶段f2.2.延伸率和截面收缩率延伸率和截面收缩率延伸率是衡量材料塑性的主要指标。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收缩率 A1 试件断裂后断口处最小横截面面积，A0 试件原来的横截面面积 截面收缩率也是衡量材料塑性的指标。（2-18）3.卸载定律和冷作硬化 （1 1）卸载定律 超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。hgef0abcd （2）冷作硬化 efhg0abcd在常温下，把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变 时的应力为名义屈服极限，用 表示。se0.2%二、其他塑性材料拉伸时的力学性能二、其他塑性材料拉伸时的力学性能灰口铸铁是典型的脆性材料断裂时的应力就是强度极限它是唯一的强度指标。有时选一条割线来确定E值，并认为材料服从虎克定律。三、铸铁拉伸时的力学性质12510075502500.15 0.30 0.452(MN/m)s(%)e2-8 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质（一）塑性材料黄色线 低碳钢压缩时的曲线绿色线 低碳钢拉伸时的曲线Pesss（二）脆性材料如图：铸铁压缩时 的曲线。实验表明：曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。pp600500(%)e2MN/m s1100200300400423506（三）几种常用材料的主要力学性能比例极限弹性极限 屈服极限 （）强度极限 弹性模量 E延伸率 截面收缩率衡量材料力学性能的主要指标有：材料允许承受的最大应力。破坏应力材料破坏时的应力值，或称极限应力n 为大于1的数，称为安全系数。(2-19)塑性材料脆性材料2-9 拉伸（压缩）杆件的强度计算一、许用应力与安全系数二、强度条件 对等截面杆 式（2-20a，b）即是轴向拉（压）杆件的强度条件。产生最大工作应力的截面称为危险截面。(2-20a)（2-20b）利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：1.强度校核2.设计截面由上式算出需要的横截面面积，然后确定截面尺寸。3.确定许用载荷.10 应力集中应力集中应力集中 在构件截面突然改变的局部区域内，应力急剧增加，而离开这个区域稍远处，应力又趋于缓和。PPP(a)PPP(b)应力集中系数 :发生应力集中的截面上的最大应力 截面上的平均应力AApp(a)p(b)Amaxsmaxs1.比较均质的脆性材料2.灰口铸铁这类非均质的脆性材料 在静载下，不同材料对应力集中的敏感程度是不同的(d)SsSsAAp(c)SsSsAp2.11 拉压超静定问题拉压超静定问题一、超静定的概念作用于研究对象上的未知力数多于静力平衡方程的数目，就不能单凭静力平衡方程求出未知力，这种问题称为超静定问题超静定问题（或静不定问题）。未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。ABCDQQ1N2N3NB123二、超静定问题的解法以图为例，说明超静定问题的解法。两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。（1）平衡方程：A、B 两端的约束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)(a)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。（2）变形协调方程：（3）通过物理关系将变形用未知力表示(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。带入(b)式得：(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。整理后得：(c)（c）式称为补充方程(b)(a)联立（a）、（c）求解得ACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段内力：可见CD段内力最大，故求解超静定问题的一般步骤归纳为：平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程胡克定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。例2-3 由三根杆组成的结构，如下图所示。若1、2杆的抗拉刚度同为 ，3杆的抗拉刚度为 ，在P力作用下，试求三杆的内力。a aABCD123EP 解：（1）静力平衡关系 设三杆轴力皆为拉力，有节点A的平衡条件 （2）变形几何关系 在中有以下变形谐调条件 a aABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（b）（a）a aABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（3）物理关系 根据虎克定律代入（b）式得补充方程 （4）联立求解式（a）、（c）得 （a）（c）（d）例.4 支架中三根杆件的材料相同，横截面面积分别为，试求各杆内的应力。P123A3030(a)N1N2N3PA解：（1）平衡条件 设三杆皆为拉杆，由（b）图可知，(b)（a）（b）(c)（2）变形条件 设是变形后A点的位置，由分别向1、2、3杆轴线做垂线，设，则有 o o123AAaBh消去参数后有 这就是变形协调条件，将物理关系代入后就得到补充方程。以下请同学们自行完成。装配应力例2-5 吊桥吊索的一节有三根长为l的钢杆组成。若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆的加工误差为，这里负号表示短于名义长度。设，试求各杆的装配应力。l(a)解：吊索的一节简化成图b所示的超静定结构。(1)平衡条件为(2)变形谐调条件为（a）（b）D1N1N2N1lD2lD(b)则有物理关系 代入式（b）得补充方程，（c）联立求解（a）、（c）得 （a）（b）D1N1N2N1lD2lD(b)两侧杆和中间杆的装配应力分别是 D1N1N2N1lD2lD(b)温度应力 例2-6 蒸汽锅炉与原动机见的管道连接的示意图，通过高温蒸汽后，管道温度增加，设管道材料的线膨胀系数为，弹性模量为，试求温度应力。高压蒸汽锅炉原动机ABl（1）平衡方程把管道两端A、B简化为固定端，管道的计算简图如b。（2）变形谐调条件 （a）（b）解：BRABtlDAR(b)（a）（b）（3）物理关系 有虎克定律和热膨胀定律：代入式（b）得补充方程 由（a）、（c）解得 （c）BRABtlDAR于是温度应力为设管子是刚制的，取 温度变化，由（d）得温度应力为 （d）ARBRBRABtlDAR