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第五讲第五讲 谓词逻辑的推理理论谓词逻辑的推理理论 主要内容主要内容 1、推理规则、推理规则 2、证明举例证明举例 3、谓词推理的应用、谓词推理的应用在在命题逻辑命题逻辑中，若中，若 H1 H2 H3.HnC是永真式，则称是永真式，则称由由前提前提H1,H2,H3,.,Hn逻辑推出结论逻辑推出结论C，其中，其中H1,H2,H3,.,Hn,C均为命题公式。均为命题公式。推理的形式结构推理的形式结构为为 H1 H2 H3.HnC 或或 前提：前提：H1,H2,H3,.,Hn 结论：结论：C复习复习 命题逻辑的推理理论命题逻辑的推理理论推理的证明方法：推理的证明方法：构造证明法、附加前提证明法、反证法构造证明法、附加前提证明法、反证法在在谓词逻辑谓词逻辑中，若中，若 H1 H2 H3.HnC是永真式，则称是永真式，则称由由前提前提H1,H2,H3,.,Hn逻辑推出结论逻辑推出结论C，其中，其中H1,H2,H3,.,Hn,C均为均为谓词公式谓词公式。推理的形式结构推理的形式结构为为 H1 H2 H3.HnC 或或 前提：前提：H1,H2,H3,.,Hn 结论：结论：C 谓词逻辑的推理理论谓词逻辑的推理理论 谓词演算可以看作命题演算的推广，因为谓词演算的等价谓词演算可以看作命题演算的推广，因为谓词演算的等价式和蕴含式很多是命题演算中有关公式的推广，所以命题演算式和蕴含式很多是命题演算中有关公式的推广，所以命题演算中的推理规则，如中的推理规则，如P、T和和CP规则在谓词演算中仍适用。规则在谓词演算中仍适用。由于由于谓词逻辑中存在量词，所以在谓词演算中的某些前提和结论可谓词逻辑中存在量词，所以在谓词演算中的某些前提和结论可能受到量词的约束能受到量词的约束。为了使谓词演算的推理过程使用命题逻辑。为了使谓词演算的推理过程使用命题逻辑有关的等价式和蕴含式，使整个推理过程按命题演算的推理过有关的等价式和蕴含式，使整个推理过程按命题演算的推理过程进行，必须程进行，必须在谓词演算过程中消去和添加量词，这样就必须在谓词演算过程中消去和添加量词，这样就必须有相应的规则。有相应的规则。与量词有关的与量词有关的四条重要四条重要推理规则推理规则：1、全称指定规则（、全称指定规则（US规则）规则）2、全称推广规则（、全称推广规则（UG规则）规则）3、存在指定规则（、存在指定规则（ES规则）规则）4、存在推广规则（、存在推广规则（EG规则）规则）注意：只能对前束范式适用上述规则。注意：只能对前束范式适用上述规则。1）全称指定规则（）全称指定规则（US）该规则中，该规则中，c是个体域是个体域D中的任意一个个体。中的任意一个个体。该推理规则的横线下面是结论该推理规则的横线下面是结论A(c)。该规则表明，如果个体域该规则表明，如果个体域D中全部个体都满足中全部个体都满足A(x)，则对个体域，则对个体域D中的某个个体中的某个个体c，c肯定满足肯定满足A(x)。（2）全称推广规则（）全称推广规则（UG）如果论域如果论域D中的任意一个个体中的任意一个个体c，都能使都能使A(c)成立，则成立，则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域中不是论域中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。（3）存在指定规则（存在指定规则（ES）该规则中，该规则中，c是个体域是个体域D中使中使A(x)为真的个体，而不是为真的个体，而不是任意取的一个个体。任意取的一个个体。（4）存在推广规则（）存在推广规则（EG）该规则的前提中的该规则的前提中的c是个体域是个体域D中使中使A(x)为真的个体，为真的个体，即只要个体即只要个体D中至少存在一个个体使得为真，则为真。中至少存在一个个体使得为真，则为真。例例2-18证明证明证明：证明：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）PES(1)T(2)I1PUS(4)T(3)(5)I11 假言推论假言推论T(6)I1 化简公式化简公式T(2)I2 化简公式化简公式T(7)(8)I9EG(9)证明：证明：（1）P（2）US(2)（3）P（4）US(3)（5）这个推证是错误的，因为使这个推证是错误的，因为使 为真的为真的个体，个体，不见得为真。不见得为真。例例2-18证明证明注意注意：使用同一个个体进行全称指定和存在指定时，使用同一个个体进行全称指定和存在指定时，必须先做存在指定，后做全称指定必须先做存在指定，后做全称指定。因为使存在因为使存在量词辖域中的谓词公式为真个体，在全称指定中量词辖域中的谓词公式为真个体，在全称指定中肯定为真，反之则不然。肯定为真，反之则不然。上述问题若推理如下：上述问题若推理如下：例例2-17证明下列推理的正确性。证明下列推理的正确性。所有的有理数都是实数。某些有理数是整数。因此某些实所有的有理数都是实数。某些有理数是整数。因此某些实数是整数。数是整数。解解 首先将命题符号化首先将命题符号化。设个体域是全总个体域。设个体域是全总个体域。令令P(x)：x是实数。是实数。Q(x)：x是有理数。是有理数。R(x)：x是整数。是整数。则有前提：则有前提：结论：结论：证证：（：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）PES(1)T(2)I1 化简公式化简公式PUS(4)T(3)(5)I2 化简公式化简公式T(2)I2 化简公式化简公式T(6)(7)I9EG(8)练习练习 证明证明证明：证明：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）PUS(1)T(2)E11 联结词归化联结词归化PUS(4)T(3)(6)I11 假言推论假言推论EG(6)课堂练习课堂练习作业：作业：第五周第五周P53习题习题2.1(1)(3);2.3(3)(4)第六周第六周P54习题习题2.6(2);2.10(1);2.12(1).
