第三讲 等腰三角形与直角三角形.ppt

第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学第第3讲讲等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学了解角平分线与线段垂直平分线的定义与性质；等腰三角形与直角三角形的概念.理解等腰三角形与直角三角形的性质.掌握等腰三角形与直角三角形的概念、性质和判定.熟练掌握应用等腰三角形的性质和判定解决问题；勾股定理及逆定理.第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学一、概念一、概念1等腰三角形：有_相等的三角形叫等腰三角形2等边三角形：_的三角形是等边三角形3直角三角形：有一个角是_的三角形是直角三角形两边三边都相等直角 友情提示友情提示：等边三角形是特殊的等腰三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学二、性二、性质质1等腰三角形的性质(1)两个底角_(2)等腰三角形的_，_，_互相重合，简称“_”(3)等边三角形的三个内角都_，并且每一个内角都等于_(4)等腰三角形是_对称图形相等顶角平分线 底边上的高线底边的中线三线合一相等60轴第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学2直角三角形的性质(1)两个锐角_(2)勾股定理：_(3)斜边上的中线等于斜边的_(4)30角所对的直角边等于_互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方一半斜边的一半第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学三、判定三、判定1等腰三角形的判定(1)有两条边_的三角形是等腰三角形(2)有两个_相等的三角形是等腰三角形2等边三角形的判定(1)有一个角等于_的等腰三角形是等边三角形(2)三条_都相等的三角形是等边三角形(3)三个_都相等的三角形是等边三角形相等角60边角第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学3直角三角形的判定(1)有一个角是_的三角形是直角三角形(2)有两角_的三角形是直角三角形(3)如果三角形一边上的_等于这边的一半，则该三角形是直角三角形(4)勾股定理的逆定理：_直角互余中线如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学友情提示友情提示勾股定理是直角三角形的性质，即先有直角三角形，再有其两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定，它是由“两边的平方和等于第三边的平方”判定符合这个条件的三角形是直角三角形第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学四、两四、两对对重要的互逆定理重要的互逆定理1角平分线上的点到_相等；到_在这个角的平分线上2线段垂直平分线上的点到_相等；到一条线段两个端点距离相等的点在_这个角的两边的距离一个角的两边的距离相等的点这条线段的两个端点的距离这条线段的垂直平分线上第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学1若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角度数为()A50B80C65或50D50或80解析：因为50可作为等腰三角形的顶角或一底角，故选D.D第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学2下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是()A两边之和大于第三边B有一个角的平分线垂直于这个角的对边C有两个锐角的和等于90D内角和等于180解析：A、D选项等腰三角形与直角三角形都具有，C选项直角三角形具有但等腰三角形不一定具有，B选项等腰三角形具有而直角三角形不一定具有，故选B.B第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学3已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是()A8B7C4D3解析：等腰三角形中已知两边长为7和3，那么第三边可能是3和7，而根据三角形两边之和大于第三边，3、3、7不能构成三角形，故选B.B第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学4在RtABC中，ACB90，D是AB的中点，CD4cm，则AB_.解析：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，CD4cm，所以AB2CD8cm.8cm第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学5如图431，BD是ABC的角平分线，ABD36，C72，则图中的等腰三角形有_个3解析：题图中有3个等腰三角形：ABD、BCD、ABC.6一个直角三角形两边长分别为3、4，则第三边的长是_图431第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学7如图432，在RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，AD20，求BC的长图432第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学解：RtABC中C90，A30ABC60BD平分ABCABDDBC30ABDAAD20BD20在RtBDC中C90，DBC30第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学应用等腰三角形的性质时，首先要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边；其次要注意顶角和底角(或顶角的外角和底角的外角)关系，看是否符合三角形内角和定理，当题目指向不明时，一定要采取分类讨论的思想，这也是近几年中考中的主要考查内容之一，多以选择题、填空题的形式出现第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例1】若等腰三角形的一个外角为50，则它的顶角为_，若将“50”改为“110”呢？思路分析：当50为等腰三角形顶角的外角时，顶角为130；当50为等腰三角形底角的外角时，底角为130，而1302260180，这不可能，故顶角为130；而当把“50”改为“110”时，两种情况均符合答案：13070或40第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例2】一个等腰三角形的两条边长分别为4cm和6cm，则它的周长为()A12cmB14cmC16cmD14cm或16cm思路分析：当等腰三角形的底边长为4cm时，它的周长为46616cm；当等腰三角形的底边长为6cm时，它的周长为44614cm，故选D.答案：D第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学确定一个三角形的形状为等腰三角形，可利用其判定定理直接证明有两边相等，或证明有两角相等，必要时可添加适当的辅助线利用全等加以证明第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例3】(2010德州)如图433，点E、F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O.(1)求证：ABDC；(2)试判断OEF的形状，并说明理由图433第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学思路分析：由BECF得BFCE，所ABFDCE，故ABDC，判断OEF的形状可由ABFDCE知AFBDEC，所以OEOF.(1)证明：BECFBEEFCFEF即BFCE又AD，BCABFDCE(AAS)ABDC第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学(2)解：OEF为等腰三角形理由如下：ABFDCEAFBDECOEOFOEF为等腰三角形第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定常常先证明等腰三角形，再说明有一个角为60，此外，还可以证明三边相等或三角相等，总之应根据具体情况灵活选择才能快速地解决等边三角形问题第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例4】已知，如图434，点C是线段AB上的任意一点(C点与A、B点不重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证：AEBD；(2)求证：MNAB；(3)若AC3cm，CB5cm，求MN的长第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学思路分析：(1)利用等边三角形的性质和SAS定理，便可证ACEDCB，从而AEBD.(2)可 通 过 MNC ECB来 证 假 设 MNCECB.ECB60，MNC应为60，而CMN应为等边三角形，故只要证MNC为等边三角形便可根据等边三角形的判定证MCCN，只需证ACMDCN.第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学(1)证明：ACD和BCE为等边三角形ACCD，CECB，且ACDCEB60ACDDCEECBDCE即ACEDCB在ACE和DCB中ACDC，ACEDCB，CECBACEDCB，AEBD第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学(2)证明：ACEDCBCAMCDNACDECB60DCN180ACDECB60在ACM和DCN中CAMCDN，ACDC，ACMDCNACMDCN，CMCN又MCN60MCN为等边三角形MNCECB60MNAB第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学在RtABC中，C90，则AB90，a2b2c2，若CD为斜边AB的中线，则CDAB，反之，若a、b、c为ABC的三边，且a2b2c2，则ABC为直角三角形；若AB90，则ABC为直角三角形；若CD为ABC的AB边上的中线，且CDADBD，则ABC为直角三角形第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例5】如图435，在四边形ABCD中，D90，AB12，CD3，DA4，BC13，求S四边形ABCD.第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，因此，解决有关线段垂直平分线的题目时，常连接线段的端点和垂直平分线上的点，构造等腰三角形得线段或角相等第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例6】在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，则B_.思路分析：AB的垂直平分线可以与线段AC相交，也可以与直线AC相交，或根据ABC的顶角为锐角、钝角进行分类讨论答案：65或25第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它是证明角相等、线段相等的重要依据；三角形的角平分线交于一点，这一点是三角形内切圆的圆心，也可叫做三角形的内心第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学【例7】如图437，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于点G，说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论思路分析：两条线段之间的关系有位置和数量两种关系，因此我们可以从这两个方面去猜测判断，由题意知DEDF，故RtDEARtDFA，所以ADEADF，再进一步证明DGEDGF即可知EFAD，且EGFG.第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学1如图438，在ABC中，BC5cm，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PDAB，PEAC，则PDE的周长是()A3cmB6cmC2.5cmD5cm解析：PDAB，DPBABP，ABPPBD，PBDBPD，PDBD，同理，PECE，PDDEPEBDDECEBC5cm.D 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学B 图4-3-9第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学3若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一底角为()A32.5 B57.5C65或57.5 D32.5或57.5D 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学4(2010武汉)如图4310，ABC内有一点D，且 DA DB DC，若 DAB 20，DAC 30，则BDC的大小是()A100B80C70D50解析：由DADBDC知DBADAB20，DCADAC30，故BDC180(180202302)100.A第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学5等腰ABC的两边长分别为2和5，则第三边长为_5 6(2010菏泽)如图4311所示，在RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，CD5cm，求AB的长第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学1.等边三角形是特殊的等腰三角形，若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形2.判断等边三角形，首先考虑判断三角形是等腰三角形；证明一个三角形为等腰三角形，要从等腰三角形的定义和判定定理上去考虑.第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形金金金金榜榜榜榜之之之之路路路路 数数数数学学学学请用活页作业请用活页作业