苏教版特征值和特征向量.ppt

2.5特征值与特征向量特征值与特征向量复习回顾复习回顾1 1 1 1矩阵矩阵矩阵矩阵 的行列式为的行列式为的行列式为的行列式为 ,若有若有若有若有 则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵 存在逆矩阵存在逆矩阵存在逆矩阵存在逆矩阵.2.2.矩矩矩矩阵阵阵阵是否可逆的判断是否可逆的判断是否可逆的判断是否可逆的判断 3.逆矩逆矩阵阵的求解的求解 4.矩矩阵阵的逆矩的逆矩阵为阵为 复习回顾复习回顾5.5.5.5.设线性方程组为设线性方程组为设线性方程组为设线性方程组为复习回顾复习回顾6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程:复习回顾复习回顾巩固练习巩固练习1 1、若矩阵、若矩阵、若矩阵、若矩阵MM对应的变换是关于原点对称的反射变换，对应的变换是关于原点对称的反射变换，对应的变换是关于原点对称的反射变换，对应的变换是关于原点对称的反射变换，则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵MM-1-1=_;=_;2.2.已知矩阵已知矩阵已知矩阵已知矩阵M=,M=,则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵MM不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为不存在逆矩阵的充要条件为_;_;ad-bc=03.3.3.3.将二元一次方程组将二元一次方程组将二元一次方程组将二元一次方程组 ，写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为写成矩阵方程的形式为_;_;_;_;学习目标学习目标学习目标学习目标:1.1.1.1.掌握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义掌握特征值与特征向量定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.2.2.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.3.3.3.利用矩阵利用矩阵利用矩阵利用矩阵M M 的特征值的特征值的特征值的特征值,特征向量给出特征向量给出特征向量给出特征向量给出MM n n的简单表示；的简单表示；的简单表示；的简单表示；【探究探究】1 1、计算下列结果：、计算下列结果：以上的计算结果与以上的计算结果与 的关系是怎样的？的关系是怎样的？2 2、计算下列结果：、计算下列结果：以上的计算结果与以上的计算结果与 的关系是怎样的？的关系是怎样的？例题分析例题分析 工工程程技技术术中中的的一一些些问问题题 如如振振动动问问题题和和稳稳定定性性问问题题 常常可可归归结结为为求求一一个个方方阵阵的的特特征征值值和和特特征征向向量量的的问问题题 数数学学中中诸诸如如方方阵阵的的对对角角化化及及解解微微分分方方程程组组的问题的问题 也都要用到特征值的理论也都要用到特征值的理论 引例引例:在一个在一个n输入输入n输出的线性系统输出的线性系统y=Ax中，其中，其中中我们可发现系统我们可发现系统A对于某些输入对于某些输入x，其输出，其输出y恰巧是输入恰巧是输入x的的 倍，即倍，即 ；对某些输；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系.例如，对系统例如，对系统 ，若输入，若输入则则若输入若输入 ，则，则所以，给定一个线性系统所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数入，能使其输出按比例放大，放大倍数 多多少？这显然是控制论中感兴趣的问题少？这显然是控制论中感兴趣的问题.M lll l为矩阵为矩阵M的特征值的特征值,为矩阵为矩阵M的属于特的属于特征值征值 l l的特征向量的特征向量.特征值及特征向量的定义特征值及特征向量的定义一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义1 1 1 1:设设设设为为为为二二二二阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵,若对于实数若对于实数若对于实数若对于实数，存在存在存在存在一一一一个个个个非零向量非零向量非零向量非零向量 ，使得，使得，使得，使得则称则称则称则称为为为为的一个的一个的一个的一个特征值特征值特征值特征值，称称称称 为为为为的属于特征值的属于特征值的属于特征值的属于特征值的一个的一个的一个的一个特征向量特征向量特征向量特征向量.一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义1 1 1 1:设设设设为为为为二二二二阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵,若对于实数若对于实数若对于实数若对于实数，存在存在存在存在一一一一个个个个非零向量非零向量非零向量非零向量 ，使得，使得，使得，使得则称则称则称则称为为为为的一个的一个的一个的一个特征值特征值特征值特征值，称称称称 为为为为的属于特征值的属于特征值的属于特征值的属于特征值的一个的一个的一个的一个特征向量特征向量特征向量特征向量.从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵A的的作用后，保持在同一条直线上作用后，保持在同一条直线上.这时，特征向量或者方向不变（这时，特征向量或者方向不变（0），），或者方向相反（或者方向相反（0）.特别地，当特别地，当=0时，特征向量被变换成了时，特征向量被变换成了0向量向量.设设 l l是矩阵是矩阵A=的一个特征值，它的一个的一个特征值，它的一个特征向量为特征向量为则则即即 满足方程组满足方程组故故因因 ，所以，所以x y不全为不全为0 0，此时此时Dx=0、Dy=0 则则D=0 0即即建构数学建构数学设矩阵设矩阵A ，l lR，我们把行列式我们把行列式称为称为A的的特征多项式特征多项式.分析表明，如果分析表明，如果l l是矩阵是矩阵A A的特征值，则的特征值，则f(l)=0(l)=0此时，将此时，将l l代入方程组代入方程组(*)(*)，得到一组非零解，得到一组非零解即即 为矩阵为矩阵A的属于的属于l l的一个特征向量的一个特征向量 数学运用数学运用例例1、求出矩阵、求出矩阵A=的特征值和特征向量的特征值和特征向量总结总结求二阶矩阵特征值与特征向量的求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤步骤：思考思考 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？的特征向量？其几何意义是什么？其几何意义是什么？如果如果 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值l l的一个特征向的一个特征向量，则对任意的非零常数量，则对任意的非零常数t，t 也是矩阵也是矩阵A的属于的属于特征值特征值l l的特征向量的特征向量.【定理定理1 1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线不共线.【定理定理2 2】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：思考：注解注解1 1:1.1.1.1.特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言；特征值问题只针对方阵而言；2.2.2.2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量,即一个特征值对即一个特征值对即一个特征值对即一个特征值对应多个特征向量；应多个特征向量；应多个特征向量；应多个特征向量；3.3.3.3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值 示例示例 1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.数学应用数学应用 求特征值和特征向量的一般步骤：求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由）由 求出所有特征值求出所有特征值 ；（2）求解线性方程组）求解线性方程组（为特征值），则所得非零解为特征值），则所得非零解X必为特征必为特征向量向量.同步归纳同步归纳f(l)=0(l)=0 注解注解2：（1）不同的特征值对应的特征向量不相等，）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值即：一个特征向量只对应一个特征值.（2 2）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的）矩阵的特征向量是在变换下的“不变量不变量不变量不变量”；（3 3 3 3）变换的几何意义）变换的几何意义）变换的几何意义）变换的几何意义:只改变其特征向量的长度不改变其方向！只改变其特征向量的长度不改变其方向！例例例例2 2 2 2 数学应用数学应用解：第一步解：第一步 A的特征多项式为的特征多项式为第二步第二步 由由f()=0，得，得A的特征值的特征值1=-2，2=11 1 1 1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：（1 1）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵A=A=的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为_,_,则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_;（2 2）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵B=B=的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为_,_,则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_;（3 3）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵C=C=的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为_,_,则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为则相应的特征向量为_;_;练一练练一练2 2 2 2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量：、求出下列矩阵的特征值与特征向量：练一练练一练5.已知已知x,y R，向量，向量 是矩阵是矩阵 的属于特征值的属于特征值 -2 的一个特征向量，的一个特征向量，求矩阵求矩阵 A以及它的另一个特征值以及它的另一个特征值.（15江苏高考）江苏高考）练一练练一练概念的引入概念的引入知识回顾知识回顾新课讲解：新课讲解：已知向量已知向量求实数求实数m,n，使，使建构数学建构数学建构数学建构数学任意向量都可以用特征向量来表示任意向量都可以用特征向量来表示.数学运用数学运用练一练练一练练一练练一练课堂小结课堂小结 将直观观察特征值与特征向量和利用将直观观察特征值与特征向量和利用将直观观察特征值与特征向量和利用将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特征值与特征向量结合起特征多项式来解特征值与特征向量结合起特征多项式来解特征值与特征向量结合起特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一来考虑，互相验证，这也是数学研究的一来考虑，互相验证，这也是数学研究的一来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题种常用思路和方法，用形的直观探索解题种常用思路和方法，用形的直观探索解题种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题！的道路，用数的严谨求解问题！的道路，用数的严谨求解问题！的道路，用数的严谨求解问题！作业：作业：P731、3