第7章 IIR数字滤波器的设计方法.ppt

第七章第七章 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法n n1、数字滤波器的基本概念n n2、最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统n n3、全通系统n n4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器n n5、冲激响应不变法n n6、双线性变换法1数字滤波器：数字滤波器：指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。些频率成分的器件。高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。优点：7.1 数字滤波器的基本概念2 1、数字滤波器的分类 经典滤波器：经典滤波器：现代滤波器：现代滤波器：选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等3数字域抽样频率s数字频率数字频率 折叠频率折叠频率s/2=频率特性限于|s/2=以内4按实现的网络结构或单位抽样响应分：按实现的网络结构或单位抽样响应分：FIRFIR滤波器（滤波器（N N-1-1阶）阶）IIRIIR滤波器（滤波器（N N阶）阶）52、数字滤波器的设计过程n n2 2、用一个因果稳定的离散、用一个因果稳定的离散LSILSI系统的系统函数系统的系统函数H H(z z)逼近此逼近此性能指标性能指标n n1 1、按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标、按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标n n3 3、利用有限精度算法实现此系统函数：运算结构、字、利用有限精度算法实现此系统函数：运算结构、字长的选择、有效数字的处理长的选择、有效数字的处理n n4 4、实际技术实现：软件法、硬件法或、实际技术实现：软件法、硬件法或DSPDSP芯片法芯片法线性移不变离散时间系统，利用有限精度算法来实现线性移不变离散时间系统，利用有限精度算法来实现63、数字滤波器的技术要求n n选频滤波器的频率响应：选频滤波器的频率响应：为幅频特性：表示信号通过该滤波器后为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况各频率成分的衰减情况 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器为相频特性：反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况后在时间上的延时情况7：通带截止频率：通带截止频率：阻带截止频率：阻带截止频率：通带容限：通带容限：阻带容限：阻带容限n n阻带：阻带：n n过渡带：过渡带：n n通带：通带：28（1）通带最大衰减（波纹）：（2）阻带最小衰减：其中：当 时，称 为3dB通带截止频率通常使用的技术指标当时，94、表征滤波器频率响应的特征参量（1 1）幅度平方响应）幅度平方响应定义：10（2 2）相位响应）相位响应相位响应：11（3 3）群延迟响应）群延迟响应滤波器平均延迟度量若滤波器通带内 =常数，则为线性相位滤波器125、IIR数字滤波器的设计方法（1 1）先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器）先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：（2 2）计算机辅助设计法）计算机辅助设计法 s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器137.2 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统LSILSI系统的系统函数：系统的系统函数：频率响应：频率响应：14n n模：模：n n相角：相角：15位于单位圆内的零/极矢量角度变化为位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0即只有单位圆内的零点、极点对相位有影响16令：单位圆内零点数为mi单位圆外的零点数为mo单位圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为po则：17全部极点在单位圆内：po=0，pi=N（1 1）因果稳定系统）因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：为最小相位延时系统2）全部零点在单位圆外：为最大相位延时系统n 0时，h(n)=019系统系统因果性因果性稳定性稳定性零点零点极点极点最小相位延时系统最小相位延时系统最大相位延时系统最大相位延时系统最小相位超前系统最小相位超前系统最大相位超前系统最大相位超前系统因果因果因果因果反因果反因果反因果反因果稳定稳定稳定稳定稳定稳定稳定稳定单位原内单位原内单位圆外单位圆外单位原内单位原内单位圆外单位圆外单位原内单位原内单位原内单位原内单位圆外单位圆外单位圆外单位圆外表6-1 四种系统的归纳20最小相位延时系统hmin(n)的性质1）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后6）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统 转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统5）在 相同的系统中，唯一3）2）4）|H(ej)|相同，群延时最小217.3 全通系统对所有 ，满足：称该系统为全通系统或常数22零极点以单位圆为镜像对称极点：零点：n n一阶全通系统：极点：零点：23n n实系数二阶全通系统两个零点（极点）共轭对称极点：零点：零点与极点以单位圆为镜像对称24n n N 阶数字全通滤波器的系统函数极点：的根零点：的根当z=ej，满足D(ej)=D*(e-j)则|H(ej)|=1H(z)满足全通系统的要求根在单位圆内根在单位圆外25n n全通系统的应用1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联其中：H1(z)为最小相位延时系统，为单位圆外的一对共轭零点26把H(z)单位圆外的零点：映射到单位圆内的镜像位置：构成Hmin(z)的零点。而幅度响应不变：27282 2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器一个稳定滤波器把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内单位圆外极点：Hmin(z)的一个零点反射到单位圆外幅度函数相同、相位函数不同的非Hmin(z)全部极点反射到单位圆外幅度函数相同的最大相位延时系统293 3）作为相位均衡器（群延时均衡器）。校正）作为相位均衡器（群延时均衡器）。校正系统的非线性相位，不改变系统的幅度特性系统的非线性相位，不改变系统的幅度特性利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数群延时逼近误差平方需要为常数307.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器n n设计思想：设计思想：s s 平面平面 z z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统n nH H(z z)的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 H Ha a(s s)的频率响应，的频率响应，即即 s s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z z 平面的单位圆平面的单位圆n n因果稳定的因果稳定的 H Ha a(s s)映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H H(z z)，即即 s s 平面的左半平面平面的左半平面 ReRes s 0 0 映射到映射到 z z 平面的单位圆内平面的单位圆内|z z|1|131设计方法（映射方法）：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法设计步骤：（1）性能指标按某一变换（映射）规则转换（2）非低通数字滤波器，将（1）中得到的（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标转换成模拟低通滤波器的性能指标。模拟低通才有图形和表格。（3）用所得到的低通模拟滤波器的性能指标，用某种逼近方法，设计并查表求得模拟低通滤波器的系统函数，做为设计数字滤波器的设计样本。（4）变换成数字滤波器的系统函数H(z)。327.5 冲激响应不变法数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应一、变换原理T抽样周期33映射到单位圆一周34二、混迭失真仅当模拟滤波器的频率响应带限于折叠频率以内时仅当模拟滤波器的频率响应带限于折叠频率以内时数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为周期延拓，周期为 频率响应关系35n n对某一频响的系统由单位抽样响应抽样对某一频响的系统由单位抽样响应抽样n n实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小处衰减越快，失真越小n n当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象频响的各周期延拓分量相距更远36三、模拟滤波器的数字化方法部分分式37n n系数相同：系数相同：n n极点：极点：s s 平面平面 z z 平面平面n n稳定性不变：稳定性不变：s s 平面平面 z z 平面平面38当当T T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：39试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则40模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：41四、优缺点n n优点：n n缺点：uu保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器uu频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器uuh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应（时域逼近良好）427.6 双线性变换法一、变换原理一、变换原理双线性变换法：使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近，缺点是产生频率响应的混叠失真434445为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数率有对应关系，引入系数 c c46二、变换常数c的选择2 2）某一特定频率严格相对应：）某一特定频率严格相对应：1 1）低频处有较确切的对应关系：）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置控制截止频率位置47三、逼近情况1 1）s s平面虚轴平面虚轴z z平面单位圆平面单位圆2 2）左半平面左半平面单位圆内单位圆内s s平面平面z z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上48四、优缺点n n优点：优点：避免了频率响应的混迭现象s s 平面与平面与 z z 平面为单平面为单值变换值变换49n n缺点：缺点：除了零频率附近，除了零频率附近，与与 之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变50n n预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 ，则，则按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器51五、模拟滤波器的数字化方法52可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统537.7 常用模拟低通滤波器特性n n将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器n n模拟滤波器模拟滤波器uu巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth Butterworth 滤波器滤波器uu切比雪夫切比雪夫 ChebyshevChebyshev 滤波器滤波器uu椭圆椭圆 Ellipse Ellipse 滤波器滤波器uu贝塞尔贝塞尔 Bessel Bessel 滤波器滤波器54一、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数h(t)是实函数将左半平面的极点归将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归55n n由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s s平面函数平面函数n n将将 因式分解，得到各零极点因式分解，得到各零极点n n对比对比 和和 ，确定增益常数，确定增益常数n n由零极点及增益常数，得由零极点及增益常数，得56例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K057二、Butterworth 低通逼近幅度平方函数：幅度平方函数：当当称称 为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽N N为滤波器的阶数为滤波器的阶数为通带截止频率581）幅度函数特点：n n n n 3 3dBdB不变性不变性 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减59ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点：2）幅度平方特性的极点分布：60 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点613）滤波器的系统函数：为归一化系统的系统函数去归一化，得624）滤波器的设计步骤：n n根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N N：n n确定技术指标：确定技术指标：由由得：得：同理：同理：令令则：则：63n n求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：或者由或者由N N，直接查表得直接查表得其中技术指标其中技术指标 给出或由下式求出：给出或由下式求出：其中极点：其中极点：n n去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕或或通带指标有富裕通带指标有富裕 64n n例：设计例：设计ButterworthButterworth数字低通滤波器，要求在频数字低通滤波器，要求在频率低于率低于 radrad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1 1dBdB。在频率在频率 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于1515dBdB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法设计1 1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2 2）得模拟滤波器的技术指标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T T=1=1 s s65a a）确定参数确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3 3）设计）设计ButterworthButterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器66b)b)求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）c)c)构造系统函数构造系统函数或者或者b b)由由N N=6=6，直接查表直接查表6-46-4得得c)c)去归一化去归一化674 4）将）将 展成部分分式形式展成部分分式形式:变换成Butterworth数字滤波器：68692、用双线性变换法设计1 1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2 2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：70a a）确定参数确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3 3）设计）设计ButterworthButterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器71b)b)求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）c)c)构造系统函数构造系统函数72或者或者b b)由由N N=6=6，直接查表得直接查表得c)c)去归一化去归一化734 4）将）将 变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：74三、Chebyshev低通逼近75N N：滤波器的阶数滤波器的阶数幅度平方函数：幅度平方函数：截止频率，不一定为：截止频率，不一定为3 3dBdB带宽带宽 ，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小，越大，波纹越大越大，波纹越大 ：N N阶阶ChebyshevChebyshev多项式多项式7677n n 1）幅度函数特点：n n 通带外：迅速单调下降趋向通带外：迅速单调下降趋向0 0uuN为偶数uuN为奇数n n 通带内：在通带内：在1 1和和 间等波纹起伏间等波纹起伏n n 782）Chebyshev滤波器的三个参量：n n ：通带截止频率，给定：通带截止频率，给定n n ：表征通带内波纹大小：表征通带内波纹大小n nN N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高为阻带截止频率793）滤波器的系统函数：其中：804）幅度平方特性的极点分布：81825）滤波器的设计步骤:归一化：归一化：n n确定技术指标：确定技术指标：n n根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N N及及 ：其中：其中：83或者由或者由N N和和 ，直接查表得，直接查表得其中极点由下式求出：其中极点由下式求出：n n求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：n n去归一化去归一化84n n例：用双线性变换法设计例：用双线性变换法设计ChebyshevChebyshev数字低通滤波数字低通滤波器，要求在频率低于器，要求在频率低于 radrad的通带内幅度特性的通带内幅度特性下降小于下降小于1 1dBdB。在频率在频率 到到 之间的阻带内，之间的阻带内，衰减大于衰减大于1515dBdB。1 1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2 2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：85a a）确定参数确定参数3 3）设计）设计ChebyshevChebyshev模拟低通滤波器模拟低通滤波器86b)b)求左半平面极点求左半平面极点87c)c)构造系统函数构造系统函数88c)c)去归一化去归一化b b)由由N=4N=4，直接查表直接查表6-56-5得得或者：894 4）将）将 变换成变换成ChebyshevChebyshev数字滤波器：数字滤波器：9091n n（2 2）将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤）将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标波器的技术指标小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率n n（1 1）确定数字滤波器的技术指标：）确定数字滤波器的技术指标：uu冲激响应不变法冲激响应不变法uu双线性变换法双线性变换法92n n（3 3）按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通）按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器滤波器uuButterworthButterworth低通滤波器低通滤波器uuChebyshevChebyshev低通滤波器低通滤波器n n（4 4）将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器）将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器uu冲激响应不变法冲激响应不变法uu双线性变换法双线性变换法93