第6节 多元函数的极值与最值.ppt
1第六节第六节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.2(1)(2)(3)例例1 1例例例例3播放播放12极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点）驻点驻点或或不可导点不可导点极值点极值点注意注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？点点 是函数是函数 的不可导点，不的不可导点，不是极值点是极值点13定理定理2 2（充分条件）（充分条件）负定负定正定正定14例例4 4解解无无极极值值极极小小值值-5极极大大值值31无无极极值值驻点驻点15二元函数的最值二元函数的最值 若根据若根据实际问题实际问题,目目标标函数有最大函数有最大值值(或最小或最小值值),),而在定而在定义义区域区域内部内部有有唯一唯一的极大的极大(小小)值值点点,则则可以断定可以断定该该极大极大(小小)值值点即点即为为最大最大(小小)值值点点.设设生生产产某种商品需原料某种商品需原料A和和B，设设A的的单单价价为为2 2，数量，数量为为x；而而B 的的单单价价为为1 1，数量，数量为为y，而而产产量量为为 例例5 5解解且商品售价且商品售价为为5,5,求最大利求最大利润润.利利润润函数函数为为 16令令解得解得唯一唯一驻驻点点 唯一唯一驻驻点点为极为极大大值值点点，即为即为最大最大值值点点，最大利润最大利润为为 17例例6 6解解18令令19解解例例7 7总利润为总利润为 20令令解得解得21 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法 实际问题实际问题中中,目目标标函数的自函数的自变变量除了受到定量除了受到定义义域域的限制外的限制外,往往往往还还受到一些附加条件的受到一些附加条件的约约束束,这类这类极极值问题值问题称称条件极值条件极值问题问题.例例8 8解解 即表面即表面积积最小最小.代入目代入目标标函数函数,化化为为无条件极无条件极值问题值问题：xyz22内部唯一内部唯一驻驻点点,且由且由实际问题实际问题S有最大有最大值值,故做成立方故做成立方体表面体表面积积最小最小.这这种做法的缺点：种做法的缺点：1.1.变变量之量之间间的平等关系和的平等关系和对对称性被破坏；称性被破坏；2.2.有有时隐时隐函数函数显化显化困困难难甚至不可能甚至不可能.23拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数令令若这样的点唯一若这样的点唯一,由实际问题由实际问题,可直接确定此即所求的点可直接确定此即所求的点.24则则构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数为为 令令25 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？例例8 8解解由由实际问题实际问题,即即为为最小最小值值点点.xyz26 在实际问题中在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区经常要求某多元函数在已知区域域D内的最大值和最小值内的最大值和最小值.根据实际情况根据实际情况,我们往往我们往往可以判断最大值或最小值在区域可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若的内部达到，若函数在函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点是最大值点或最小值点.27例例9 9解解解得唯一解得唯一驻驻点点 即即做成做成正三角形正三角形时时面面积积最大最大.28三角形中三角形中,以正三角形面以正三角形面积为积为最大最大:四四边边形中形中,以正方形面以正方形面积为积为最大：最大：29解解例例1010先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，解方程组解方程组 30为最小值为最小值.31例例1111解解32由由由由实际问题实际问题，此即最佳分配方案，此即最佳分配方案.33解法解法1例例1212因驻点唯一因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，34因驻点唯一因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，解法解法2例例121235练习：练习：P317 习题八习题八36附录、最小二乘法附录、最小二乘法37例例 价格与供给量的观察数据见下表：价格与供给量的观察数据见下表：x(元元)2 3 4 5 6 810 12 14 16y(吨吨)15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散点图散点图由图可以看出，由图可以看出，x 与与 y 之间存在一定的相关关系，之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系且这种关系是线性关系.38达到最小达到最小.上述估计上述估计a,b的方法称为的方法称为最小二乘法最小二乘法.LSE(Least Square Estimation)求线性经验公式求线性经验公式(回归直线方程回归直线方程)使使39 称为称为正规方程组正规方程组其中其中40系数行列式系数行列式所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解41记记则则显然回归直线经过散点图显然回归直线经过散点图的几何中心的几何中心42例例 价格与供给量的观察数据见下表：价格与供给量的观察数据见下表：x(元元)2 3 4 5 6 810 12 14 16y(吨吨)15 20 25 30 35 45 60 80 80 110求求 y 对对 x 的回归方程的回归方程.解解43所以所求回归方程为所以所求回归方程为
