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1.1.定义：定义：设设 X 是一随机变量，若对任意的实数是一随机变量，若对任意的实数x,存在存在 非负函数非负函数 f(x)使得使得其中其中 F(x)是是X 的分布函数的分布函数则称则称 X 是是连续型随机变量连续型随机变量，称，称f(x)是是X的的密度函数密度函数，也称为分布也称为分布密度函数密度函数或或概率密度概率密度一、连续型随机变量一、连续型随机变量2 2 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布2.密度函数的性质密度函数的性质1 o2 o这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的密度函数的充要条件密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为13 3、在在 f(x)的连续点处，的连续点处，若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)故故 X的密度函数的密度函数 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大.也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.4 连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为为任一指定值任一指定值这是因为这是因为由此得由此得，1)对连续型对连续型 r.v X,有有2)由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=S 由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确所确定定.所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述.f(x)xoxf(x)xF F(x )5 5 分布函数分布函数 F(x)与密度函数与密度函数 f(x)的几何意义的几何意义b bx xf(x)a a例例 设随机变量设随机变量 具有密度函数具有密度函数 试确定常数试确定常数A，以及以及 的分布函数的分布函数.解解:由由知知A=3=3，即即 而而 的分布函数为的分布函数为 1 1 均匀分布均匀分布 a,b b 上的均匀分布上的均匀分布记作记作二、二、常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量若若 X 的密度函数为的密度函数为 ，则称，则称 X 服从服从区间区间其中其中X 的分布函数为的分布函数为例例2 2 设随机变量设随机变量X服从服从1,61,6上的均匀分布，上的均匀分布，求一元两次方程求一元两次方程t2+Xt+1=0=0有实根的概率有实根的概率.解解:故所求概率为故所求概率为:而而X的密度函数为的密度函数为 :因此所求概率：因此所求概率：2.2.指数分布指数分布若若X X 的密度函数为的密度函数为则称则称X X 服从服从参数为参数为 的指数分布的指数分布记作记作X 的分布函数为的分布函数为 0 0 为常数为常数对于任意的对于任意的 0 0 a b,应用场合应用场合:用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似令：令：B=B=等待时间为等待时间为10-2010-20分钟分钟 3 3 正态分布正态分布若若X 的密度函数为的密度函数为则称则称 X 服从服从参数为参数为 ,的正态分布的正态分布记作记作 X N (,2 2)为为常数，常数，f(x)的性质：的性质：(1)图形关于直线图形关于直线 x=对称：对称：f(+x)=f(-x)(2)在在 x=时时,f(x)取得最大值取得最大值:(3)在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点在对应的点处有拐点(4)曲线曲线 y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线(5)曲线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状的图形呈单峰状.正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的对称的钟形曲线。特点是钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右两头小，中间大，左右对称对称”。决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。应用场合应用场合:若随机变量若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加响可以叠加,则则 X 服从正态分布服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；各种测量的误差；人的生理特征；人的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；学生们的考试成绩；一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N(0,1)(0,1)标准正态分布标准正态分布分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N(,2)其分布函数其分布函数作变量代换作变量代换 设设 X N(1,4),求求 P 0 X 1.6 解解:查表例例已知且 P(2 X 4)=0.3,求求 P X 0.解解1:解二解二 图解法图解法0.2由图由图0.3三、三、连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布例例 设设r.v X 的密度函数为的密度函数为 f(x)求求 F(x).F(x)=P(X x)=解：解：求求 F(x).解：解：对对x 1，F(x)=1即即例例 设设r.vX的分布函数为的分布函数为(1)求求X取值在区间取值在区间 (0.3,0.7)的概率；的概率；(2)求求X的概率密度的概率密度.解解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4 (2)f(x)=分布函数分布函数离散型离散型r.v的的分布函数分布函数连续型连续型r.v的的分布函数分布函数分布函数分布函数的性质的性质 概率函数概率函数与分布函数与分布函数的关系的关系密度函数密度函数与分布函数与分布函数的关系的关系
