材料力学第05章(弯曲应力)-06.ppt

51 纯弯曲纯弯曲52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力54 弯曲弯曲切应力切应力56 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第五章第五章 弯曲应力弯曲应力内力内力剪力剪力FS弯矩弯矩M51 纯弯曲纯弯曲MFS 纯弯曲纯弯曲:FS=0，M00正应力正应力 切应力切应力 横力弯曲：横力弯曲：FS 00，M00AB段纯弯曲段纯弯曲(Pure Bending)FSx+FFMx+F aFFaaAB纯弯曲纯弯曲(Pure Bending)平面弯曲平面弯曲纵向对称面纵向对称面F1F252 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力一、一、纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验 横向线横向线(mn、mn）变形后变形后仍为直线，但有转动；纵向仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，横向线与纵向线变为曲线，横向线与纵向线变形后仍正交。线变形后仍正交。变形几何规律：变形几何规律：bnamabnmababMMnmnm横截面变形后仍为平面。横截面变形后仍为平面。2.平面假设平面假设bnamabnmababMMnmnm设想梁由无数根平行于设想梁由无数根平行于轴线的纵向纤维组成，变形轴线的纵向纤维组成，变形后，上部纤维缩短，下部纤后，上部纤维缩短，下部纤维伸长。维伸长。有一层纤维变形后不有一层纤维变形后不伸长也不缩短。伸长也不缩短。3.两两个个概概念念中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层。称中性层。中性轴中性轴中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：bbnamanmdx建立坐标系建立坐标系变形前：变形前：变形后：变形后：a babMMnmnm y（1）伸长量：伸长量：线应变：线应变：y1/3/20239中性层中性层中性轴中性轴zyxy（二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维无挤压。假设：纵向纤维无挤压。-曲线曲线 P 式式中：中：E和和 为常数，所以横截面上正应力与为常数，所以横截面上正应力与 y 成正比。成正比。xyz（三）静力关系：（三）静力关系：（1）（2）（3）M横截面上的正应力组成一个横截面上的正应力组成一个空间平行力系，向一点简化：空间平行力系，向一点简化：xyzFxMyMzxyzydA dA（1）（2）（3）由（由（1）式）式zxyzFxMyMz（平面弯曲，（平面弯曲，Iyz=0）EIz 梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。由（由（2）式）式由（由（3）式）式（5-2）（5-1）xyzydA dAz（5-2）xyz MM纯弯曲时正应力的计算公式纯弯曲时正应力的计算公式53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力hFlAB对于横力弯曲，当对于横力弯曲，当 5 时，按纯弯曲时的公式计算正应时，按纯弯曲时的公式计算正应力，误差不超过力，误差不超过1%。一、一、横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 二、最大正应力：二、最大正应力：Wz称为抗弯截面系数称为抗弯截面系数maxM空心圆空心圆实心圆实心圆zdy矩形矩形抗弯截面系数抗弯截面系数bhzyDdzy三、梁的正应力强度条件三、梁的正应力强度条件hFlAB maxM 例例11图示起重机大梁，图示起重机大梁，Q235钢，钢，=170MPa，小车和重物，小车和重物重量重量F=265kN，l=4m，求求：1）设计）设计h/b=1.5的矩形截面梁；的矩形截面梁；2）选择工字钢型号：）选择工字钢型号：3）比较这两种截面梁的耗材。）比较这两种截面梁的耗材。hbzy解：解：(1)(1)当小车在跨中时梁最危险。当小车在跨中时梁最危险。zyFABl求支座反力求支座反力,画弯矩图。画弯矩图。M+265ABl/2l/2CFFABl/2l/2C(2)(2)矩形截面梁矩形截面梁(3)(3)工字形截面梁工字形截面梁zyhbzy查表，选择查表，选择No.45c.45c工字钢工字钢M+265(4)(4)比较耗材比较耗材工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。zyhbzy 受均布载荷作用的简支梁如图所示，受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：梁内的最大正应力；试求：梁内的最大正应力；例例22120180zyM+解：解：3mq=60kN/mAB例例3 支座支座A和和B放在什么位置，梁的受力最合理放在什么位置，梁的受力最合理?解：解：考虑两种极限情况考虑两种极限情况a=0 和和 a=1.5m3mq=60kN/maa+3mq=60kN/mAB3mq=60kN/mABaa+ABC记记 l=3m舍去舍去负值负值3mq=60kN/mABaa+C3mq=60kN/mABaa+M+3mq=60kN/mAB 铸铁梁，受力如图，铸铁的铸铁梁，受力如图，铸铁的 t=20MPa，c=60 MPa，试根据危险截面试根据危险截面k-k的强度，确定最大载荷的强度，确定最大载荷F。(2)求危险截面上的弯矩求危险截面上的弯矩例例4解：解：(1 1)求形心位置和惯性矩求形心位置和惯性矩101010180285Cycyzk770FktcMkMk101010180285Cycyzk770Fktc(3)(3)正应力强度正应力强度允许的最大载荷允许的最大载荷F=14.4kNk770FkT 字形截面的铸铁梁，受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁，受力如图，铸铁的 t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。解：解：(1)(1)求支座反力求支座反力F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCD例例5FAFB（2 2）画弯矩图找危险截面）画弯矩图找危险截面B截面弯矩最大，是危险截面截面弯矩最大，是危险截面2.5kN m4kN mM+负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压+-zy2y1CyMBtcB截面弯矩最大，是危险截面截面弯矩最大，是危险截面2.5kN m4kN mM+F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDFAFB负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压tc+-MBzy2y1Cytc(3)(3)C截面的强度截面的强度正弯矩，下边缘受拉，上边缘受压正弯矩，下边缘受拉，上边缘受压tc+-梁梁安全安全2.5kN m4kN mM+F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDFAFB+-y2y1CyMCtcMBtc讨论：若将讨论：若将T字形梁倒置，梁是否安全？字形梁倒置，梁是否安全？B截面的拉应力：截面的拉应力：梁的梁的强度不够。强度不够。2.5kN m4kN mM+F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDFAFBzy2y1CyMBtczy2y1CyT 字形截面铸铁梁，梁长为字形截面铸铁梁，梁长为l，受活动载荷，如图，已知受活动载荷，如图，已知许用拉应力与许用压应力之比许用拉应力与许用压应力之比 t:c=1:4，y1:y2=1:5，试，试确定合理的确定合理的 a 值。值。例例6al/2ABCDaFl/2zy2y1Cy解：al/2ABCDaFl/2al/2ABCDaFl/2y1y2CFa+正弯矩：拉应力控制强度正弯矩：拉应力控制强度负弯矩：压应力控制强度负弯矩：压应力控制强度 t:c=1:4，y1:y2=1:5正弯矩：拉应力控制强度正弯矩：拉应力控制强度负弯矩：压应力控制强度负弯矩：压应力控制强度 t:c=1:4，+Fazy2y1CyFSM 54 弯曲弯曲切应力切应力bzy一、矩形截面一、矩形截面梁梁1 1、切应力的切应力的两点假设两点假设54 弯曲弯曲切应力切应力 yFS（2）切应力沿宽度均匀分布。切应力沿宽度均匀分布。（1 1）切应力与剪力切应力与剪力Fs平行；平行；hbxzyyFS2 2、研究方法：分离体平衡、研究方法：分离体平衡（1 1）在梁上取微段）在梁上取微段hbxzyyFSMM+dMdxdxyFSzyxhbFSFSdxF1 1dx2 2、研究方法：分离体平衡、研究方法：分离体平衡MM+dMyy1dxF2 2（1 1）在梁上取微段）在梁上取微段（2 2）在微段上再切取一部分求平衡在微段上再切取一部分求平衡1FSFSdxyFSzyxhbdxyzyx由切应力互等定理由切应力互等定理F2 2dx F1 1 1dAy1A*byzyFSzbyyFSy*cA*当当 y=0 时，时，、切应力分布规律、切应力分布规律 方向：与横截面上剪力方向一致；方向：与横截面上剪力方向一致；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。分布为抛物线。最大最大切切应力为平均应力为平均切切应力的应力的1.51.5倍倍，发生在中性层上，发生在中性层上。当当 y=0 时，时，矩形截面弯曲切应力分布规律：矩形截面弯曲切应力分布规律：zbyyFSy*cA*FFF分离分离整体整体BbyzyFS工字形截面工字形截面分为腹板和翼板，分为腹板和翼板，翼板上除了有平行于翼板上除了有平行于FS的切应力的切应力分量外，还有水平分量。分量外，还有水平分量。腹板为腹板为狭长矩形，可以采用前述的狭长矩形，可以采用前述的两个假设。采用相同的推导，得到两个假设。采用相同的推导，得到相同的切应力公式相同的切应力公式：二、二、工字形截面工字形截面梁梁 BbyzyA2A1BbyyFSy=0时，时，此时腹板上的切应力可以看成近此时腹板上的切应力可以看成近似的均匀分布。似的均匀分布。A腹腹 腹板的面积。腹板的面积。即：腹板承受了即：腹板承受了95%97%的剪力的剪力又又因为因为max minBbyzyFS计算腹板上切应力的合力：计算腹板上切应力的合力：zyd工字钢：工字钢：三、三、T字形截面字形截面梁等梁等yzyFSbA*yzA*b在梁的横截面上，最大正应力发生梁截面的上下边缘，在梁的横截面上，最大正应力发生梁截面的上下边缘，最大切应力发生在截面的中性轴处。最大切应力发生在截面的中性轴处。五、切应力强度条件五、切应力强度条件切应力强度条件：切应力强度条件：M max max细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，只有在下述情况细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，只有在下述情况下，需要进行梁的弯曲切应力强度校核：下，需要进行梁的弯曲切应力强度校核：（2 2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度较薄，要校核腹板）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度较薄，要校核腹板的切应力。的切应力。（1 1）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的的M较小，而较小，而FS较大时。较大时。（3 3）经）经铆接、焊接或胶合而成的梁，应对焊缝、铆钉、胶合面铆接、焊接或胶合而成的梁，应对焊缝、铆钉、胶合面进行切应力校核。进行切应力校核。矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截面木梁如图，截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，校核梁的强度。校核梁的强度。例例7120180zy解：解：（2 2）校核正应力强度）校核正应力强度(1)(1)画内力图找危险截面画内力图找危险截面M+l=3mq=3.6kN/mABFS（）校核切应力强度（）校核切应力强度梁安全！梁安全！例例8已知：已知：q=407kN/m，=190MPa，=130 MPa，校校核梁的强度。核梁的强度。qAB3.70.20.2FAFB解：（解：（1 1）求形心位置和惯性矩）求形心位置和惯性矩300206501640022y2y1Cz（2 2）画内力图）画内力图FS+M+（3 3）弯曲正应力强度）弯曲正应力强度（4 4）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度梁安全梁安全qAB3.70.20.2FAFBFS+300206501640022y2y1Cz例例9已知：已知：F=30kN，l=5m，大梁由大梁由20a工字钢制成，工字钢制成，=170MPa，=100 MPa，校核梁的强度。校核梁的强度。zy200FABl解：（解：（1 1）弯曲正应力强度）弯曲正应力强度小车在跨中时，梁内弯矩最大，小车在跨中时，梁内弯矩最大，FABl/2l/2+FAB+（2 2）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度+FAFB小车在支座附近时，梁内剪力最大，小车在支座附近时，梁内剪力最大，FABlFAFBzy200梁安全！梁安全！例例1010zy12010200FAB2.21.41.4单位：单位：m已知：已知：F=50kN，大梁由大梁由20a工字钢制成，用工字钢制成，用12010mm的钢板加强，的钢板加强，=152MPa，=95 MPa，校核梁的强度。校核梁的强度。PAB2.21.41.4FABl/2l/2CD+（2 2）D截面弯曲正应力强度截面弯曲正应力强度FAB2.21.41.4单位：单位：m解：（解：（1 1）跨中弯曲正应力强度跨中弯曲正应力强度zy12010200小车在小车在D截面时截面时+FABl/2l/2CDFAB3.61.4D+（2 2）D截面弯曲正应力强度截面弯曲正应力强度强度不够，钢板需加长。强度不够，钢板需加长。（3 3）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度小车在支座附近时，梁内剪力小车在支座附近时，梁内剪力最大，最大，梁切应力强度足够！梁切应力强度足够！zy200dPABl/2l/2CDFAFB+FAFBFAB2.21.41.4单位：单位：m例例11已知：已知：Me=40kNm，q=20kN/m，=170MPa，=100 MPa，试选择工字钢型号试选择工字钢型号。FAAB4m2mq1mFBMeFAAB4m2mq1mFBMeFS+解：解：画画 FS、M 图图（1 1）弯曲正应力强度）弯曲正应力强度查查表，选择表，选择No.20a工字钢，工字钢，Wz=237cm3M+FAAB4m2mq1mFBMeFS+（2 2）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度梁切应力强度足够！梁切应力强度足够！选择选择No.20a工字钢。工字钢。注意：先按正应力强度注意：先按正应力强度选择型号，再校选择型号，再校核切应力强度。核切应力强度。M+例例12已知：前轴重已知：前轴重F1=10kN，后轴重后轴重F2=50kN，l=10m，大梁大梁由两根工字钢制成，由两根工字钢制成，=160MPa，=100 MPa，试选择试选择工字钢型号工字钢型号。F1ABl2mF2设小车在距左端设小车在距左端 x 处处F1ABl2mF2xFAFBCDMCMD+MCMD+解：解：(1)(1)弯曲正应力强度弯曲正应力强度F1ABl2mF2xFAFBCDMCMD+查查表，选择表，选择No.28a工字钢，工字钢，Wz=508cm3（2 2）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度小车在距左端小车在距左端 x 时时当当 x=8时，时，+FAFBF1ABl2mF2xFAFBCD（2 2）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度+FAFB小车在距左端小车在距左端 x 时时当当 x=8时，时，梁切应力强度足够！梁切应力强度足够！（1 1）合理安排梁的受力情况）合理安排梁的受力情况56 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施ABl/4l/2l/4FABl/2l/2qABlqAlaaBzy在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面（2 2）合理选取截面形状）合理选取截面形状zDyzhbzhb来衡量截面形状的合理性，比值越大来衡量截面形状的合理性，比值越大截面的形状较为合理。截面的形状较为合理。用比值用比值根据材料特性选择截面形状：根据材料特性选择截面形状：对于抗拉、压能力不同的材料对于抗拉、压能力不同的材料(如铸铁、混凝土等脆性材如铸铁、混凝土等脆性材料料)，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，充分利用材，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，充分利用材料抗拉能力差、抗压能力好的特性。料抗拉能力差、抗压能力好的特性。y1y2zyzytcMzy（3 3）等强度梁）等强度梁FlPlMhbxF考虑弯曲切应力强度，则梁高的最小值为：考虑弯曲切应力强度，则梁高的最小值为：xFFlxxF5m400kN2009005m400kN200900300蔡甸汉江公路大桥蔡甸汉江公路大桥110m+180m+110m预应力混凝土连续刚构桥预应力混凝土连续刚构桥内蒙古磴口黄河大桥内蒙古磴口黄河大桥