第三节相似矩阵与方阵的对角化(精品).ppt
一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念1.等价关系等价关系相似矩阵与相似变换的性质相似矩阵与相似变换的性质证明证明推论推论 若若n阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵定理定理4.5若若n阶方阵阶方阵A与与B相似，则相似，则A与与B的秩相同，的秩相同，即即 二、利用相似变换将方阵二、利用相似变换将方阵对角化对角化说明说明推论推论 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解解之得基础解系解之得基础解系求得基础解系求得基础解系解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解解之得基础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应定理定理4.74.7实实对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵一个一个n阶方阵具备什么条件才能对角化阶方阵具备什么条件才能对角化,这是一个较复杂的这是一个较复杂的问题问题,我们不作一般性讨论我们不作一般性讨论,仅讨论仅讨论A为实对称阵的情形。为实对称阵的情形。三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化 定理定理4.74.7的意义的意义推论推论1n阶实对称矩阵必有阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论2实对称矩阵一定与对角阵相似实对称矩阵一定与对角阵相似.证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为根据定理根据定理4.7（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定理和定理4.9(如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为由定理由定理4.8知知对应对应于不同特征值的特征向量正交于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化于是得正交矩阵于是得正交矩阵三、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：相似变换相似变换与与相似变换矩阵相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵3.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：(1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化
