25-2《圆对称性》第二课时垂径定理(精品).ppt
圆的对称性圆的对称性 垂径定理垂径定理 想一想想一想1.1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?用用折叠的折叠的方法方法即可解决这个问题即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴你能找到多少条对称轴?O想一想想一想O2.2.圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？你又是用什么方法解决这个问题的你又是用什么方法解决这个问题的?圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.如果是如果是,它的对称中心是什么它的对称中心是什么?用用旋转的方法旋转的方法即可解决这个即可解决这个问题问题.AB观察猜想观察猜想.OCDE 操作操作：CD是圆是圆0的直径，过直的直径，过直径上任一点径上任一点E作弦作弦ABCD，将，将圆圆0沿沿CD对折，比较图中的线对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？段和弧，你有什么发现？猜想猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.CDAB于于M证明：证明：已知：已知：CD是是 O的直径，的直径，AB是是 O的弦，的弦，且且CDAB于于M，求证：求证：AM=BM，AC=BC,AD=BD叠叠合合法法错指导论证，引申结指导论证，引申结论论.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂直于弦判断题：判断题：(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦(3)O中，中，OE弦弦AB于于E，则则AE=BE oABCDE(1)oABCDE(2)O ABE(3)题设题设结论结论错对BAODCE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。垂径定理：垂径定理：CD是直径是直径CDABAEBEACBCADBD几何语言表达：几何语言表达：CDAB,垂径定理的推论垂径定理的推论AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说你的想法和理由你的想法和理由.探究活动探究活动过点过点M作直径作直径CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?发现发现图中有图中有:CDCD是是直径直径AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平分弦分弦所对的两条弧所对的两条弧.根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论注意注意下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？OEDCAB如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?提示提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的推论垂径定理的推论OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为37.4m,拱拱高高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱求桥拱的半径的半径(精确到精确到0.1m).例题解析例题解析RD7.237.4赵州石拱桥赵州石拱桥赵州石拱桥赵州石拱桥解：由题设得解：由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2例例2、已知：如图在、已知：如图在 O中，弦中，弦AB的长是的长是8cm，圆心，圆心O到到AB的距的距离为离为3cm，求，求 O的半径的半径 oABE解：连结解：连结解：连结解：连结OAOA，作，作，作，作OEOEABAB于于于于E E，则则则则OE=3cm,AE=BEOE=3cm,AE=BEAB=8cmAB=8cmAE=4cmAE=4cm在在在在RtRt中有中有中有中有OA=5cmOA=5cm OO的半径为的半径为的半径为的半径为5cm5cm解后指出：从例解后指出：从例2看出圆的半径看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段，圆心到弦的垂线段OE及半弦长及半弦长AE构成构成RtAOE.把垂径定理和勾股定把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。容易了。例例3 3 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是是弧弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的上的一点一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF1.在在 O中，若中，若CDAB于于M，AB为直为直径，则下列结论不正确的是（径，则下列结论不正确的是（）2.已知已知 O的直径的直径AB=10，弦，弦CDAB，垂垂足为足为M，OM=3，则，则CD=.3.在在 O中，中，CDAB于于M，AB为直径，若为直径，若CD=10，AM=1，则，则 O的的半径是半径是.OCDABMCA、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM813注意：注意：解决有关弦的问题时解决有关弦的问题时,半径是常用的一种半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。辅助线的添法往往结合勾股定理计算。判断：判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧.（）平分弦的直径一定垂直于这条弦平分弦的直径一定垂直于这条弦.（）(3)弦的垂直平分线一定经过圆心弦的垂直平分线一定经过圆心.（）已知如图，在以已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。两点。求证：求证：AC=BD o oABCDE证明：过证明：过O作作OEAB于于E，解后指出解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出要作出“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。往往只需从圆心作弦的垂线段。则则 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即即AC=BD(1)(1)如图如图,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cmcm,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的夹角为的夹角为 30 30,求弦求弦 AB AB 的长的长.OAOCABM(2)(2)如图如图,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cm cm,弦弦 ABAB与半径与半径 OCOC互相平分互相平分,交点为交点为 M M,求求 弦弦 AB AB 的长的长.630EBE小结小结:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定理创造条件。理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO垂径定理的应用垂径定理的应用在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最大深度求油的最大深度.ED6001 1、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中,对应弧、弦、圆心对应弧、弦、圆心角，弦心距之间的关系。角，弦心距之间的关系。2 2、垂径定理、垂径定理题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧1.如图，在如图，在 O中，中，ABAC，B70.求求C度数度数.2.2.如图，如图，AB是直径，是直径，BCCDDE，BOC40，求求AOE的度数的度数4.4.如图，已知如图，已知ADB BC，试说明试说明AB=CDAB=CD3、如如图图，AB为为 O的的直直径径，CD为为弦弦，CDAB于于E则下列结论中错误的是则下列结论中错误的是().A.COEDOE B.CEDE C.AEOE D.BC=BDC.AOBECDF思考题思考题已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF如图，已知圆如图，已知圆O的直径的直径AB与与弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆且圆O的半径为的半径为10，CD=16，求，求AE-BF的长。的长。船能过船能过拱桥吗拱桥吗2.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱拱顶高出水面顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形米、船舱顶部为长方形并高出水面并高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过此货船能顺利通过这座拱桥吗？这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.
