北师大版七年级下册数学《变量间的关系》知识点梳理及典型例题.doc

第三章 变量之间的关系 学问点梳理及典型例题学问回忆复习路程、速度、时间之间的关系：，；学问点一 常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 .数值始终不变的量为 ；在某一变化过程中，假设有两个变量x 和 y，当其中一个变量x 在肯定范围内取一个数值时，另一个变量y 也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量 x 叫做 ，后一个变量y 叫做自变量的 ；留意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度 60 千米/时是，时间 t 和里程s 为变量.t 是，s 是。学问点二 用表格表示变量之间的关系留意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，其次行表示因变量； 借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的状况。变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一局部，从数据中猎取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.学问点三 用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为 x，面积为 y，则y = x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中 x 是 ，y 是 ；一般地，含有两个未知数变量 的等式就是表示这两个变量的关系式；轴纵轴上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一局部，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】1借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变 量取某个值时，因变量取什么值.2借助图象可推断因变量的变化趋势：图象自 左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下 降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.学问点五 变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用便利，但列出的数值有限，不简洁看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简洁明白，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互 关系，但是求对应值时，要经过比较简单的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不肯定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反 映出变量之间的变化趋势和某些性质，是争辩变量性质的好工具，其缺乏是由图象 法往往难以得到准确的对应值；专题一能从表格中猎取两个变量之间关系的信息【温馨提示】1写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将 表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.2自变量的取值必需使式子有意义，实际问题还要有实际意义.3实际问题中，有的变量关系不肯定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.依据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.1有一个水箱，它的容积是500 L，现要将水箱注满，下面是注水的状况表注水时间/min051015202530注水量/L2002503003504004505001在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系，其中变量是自变量，变量是因变量；2这个水箱原有水L；3min 时水箱注满水；4由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L.学问点四 用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴横轴上的点表示，用竖直方向的数1（1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因 变量？（2） 假设用 t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？（3） 当 t 每增加1 s 时，v 的变化状况一样吗？在哪一秒钟,v 的增加量最大？（4） 假设在高速大路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估量还需几秒这辆小汽车的速度就到达这个上限?2一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：温度-5051015长度cm 9.9951010.00510.0110.0151上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中因变量.自变量，是（2） 当温度是 10 时，合金棒的长度是cm（3） 假设合金棒的长度大于10.05 cm 小于 10.15 cm，依据表中的数据推想，此时的温度应在的范围内（4） 当温度为-20 和 100 ，合金棒的长度分别为cm 和cm专题三用关系式表示两个变量之间的关系5某水果批发市场香蕉的价格如下表：购置香蕉数x千克x2020<x40x>40每千克价格8 元7 元6 元3七年级1班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：爬坡长度x/m305080100150200爬坡时间 y/min23.76.591420（1） 当爬到100 m 时，所花的时间是多少？（2） 当爬到每增加10 m 时，所花的时间一样吗？（3） 从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？假设小强购置香蕉 x 千克x 大于 40 千克付了 y 元，则 y 关于 x 的关系式为.6.1某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式，并写出自变量 n 的取值范围2在其他条件不变的状况下，请探究以下问题：当后面每一排都比前一排多 2 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的排数 n的关系式是1n25，且 n 是正整数；当后面每一排都比前一排多3 个座位、4 个座位时，则每排的座位数m 与这排的排数 n 的关系式分别是，1n25，且 n 是正整数；某礼堂共有 p 排座位，第一排有 a 个座位，后面每一排都比前一排多b 个座位，试写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式专题二依据表格确定自变量、因变量及变化规律4一辆小汽车在高速大路上从静止到启动10 秒之间的速度经测量如下表：时 间s 012345678910速度m/s00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.92专题四 用关系式求值7. 一棵树苗，栽种时高度约为 80 厘米，为争辩它的生长状况，测得数据如下表： 栽种以后的年数 n/年 高度 h/厘米（3） 这一天从最低温度到最高温度经过了小时；（4） 温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；（5） 你推测次日凌晨 1 时的温度是（1） 此变化过程中是自变量， 是因变量；（2） 树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为；（3） 栽种后后，树苗能长到 280 厘米8. 某市为了鼓舞市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：1现小伟家四月份用水18 吨，则应缴纳水费多少元？1234每月每户用水量不超过 10 吨局部105130155180每吨价元0.5010. 如图，水以恒速即单位时间内注入水的体积一样注入下面四种底面积一样的容器中.（1） 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 和时间 t 的变化关系的图象，用直线段连接起来；（2） 当容器中的水恰好到达一半高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置专题六折线型图象11. 如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化状况1A、B 两点分别表示2写出每月每户的水费y 元与用水量 x吨之间的函数关系式超过 10 吨而不超过 20 吨局部超过 20 吨局部0.751.50汽车是什么状态？（2） 请你分段描写汽车在第0 分钟到第19 分钟的行（3） 假设小伟家五月份的水费为17 元，则他家五月份用水多少吨？专题五 曲线型图象9. 温度的变化是人们经常谈论的话题请你依据图象，争辩某地某天温度变化的状况如下图：（1） 上午 10 时的温度是度，14 时的温度是度；（2） 这一天最高温度是度，是在时到达的；最低温度是度，是在时到达的；驶状况（3） 司机休息 5 分钟后继续上路，加速 1 分钟后开头以 60 km/h 的速度匀速行驶，5 分钟后减速，用了 2 分钟汽车停顿，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图3第三章 变量之间的关系复习题1. 一名同学在用弹簧做试验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，试验数据如下表：所挂物体的质量/千克012345弹簧的长度/cm1212.51313.51414.5(1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？假设用x 表示弹性限度内物体的质量，用y 表示弹簧的长度，那么随着x 的变化，y 的变化趋势如何？(3)假设此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能推测当挂重为 10 千克时，弹簧(5) 当x 在什么范围变化时，y 随x 的增大而增大，当x 在什么范围变化时，y 随 x 的增大而减小？你又是依据哪种表示法得到的？(6) 请你估量x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3小红与小兰从学校动身到距学校 5 千米的书店买书，以下图反响了他们两人离开学校的路程与时间的关系。依据图形尝试解决你们提出的问题。s/千米实线-小兰虚线-小红（1） 小红与小兰谁先动身？谁先到达？（2） 描述小兰离学校的路程与5的长度是多少？2如图：将边长为20cm 的正方形纸片的四个角截去一样的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。时间的变化关系。（3） 小兰前 20 分钟的速度和最终 10 分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？43210102030405060t/分钟(1) 这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)在以上问题中，假设设截去的小正方形的边长是 xcm，围成的无盖长方体的体积是 ycm3,则y 与x 之间的关系式是；(3) 假设小正方形的边长是 5cm，那么长方体的体积是多少cm3？当x=2.5cm 体积是多少 cm3(4) 依据以上关系式填下表：（4） 小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？4. 一辆汽车以每小时 50 千米的速度行驶了t 小时，行驶的路程为s 千米.1这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。（3） 该汽车行驶 2.5 小时的路程是多少千米？（4） 一段大路全长 350 千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？x/cm123456789y/cm345. 2022 年 6 月份某一天沈阳的气温随时间变化的状况如下图，答复以下问题：(3)假设汽车行驶过程中，油箱的油量为12 升，则汽车行驶了小时(1)这天的最高气温约是； (2)这天一共有个小时的气温在24以上；(3) 这天在范围内温度在上升；这天在范围内温度在下降； (4)请你推测一下，次日凌晨 1 点的气温大约多少度。温度/282624222003691215 18 21 24时间(4) 贮满 60 升汽油的汽车，最多行驶小时(5) 下面哪个图像能够反映变量Q 与 t 的关系的是QQQtttABC 情景创设：分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.6. 果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：时间 t/秒0.50.60.70.80.91高度 h/米5×0.255×0.36 5×0.49 5×0.645×0.815×1 (1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2) 假假设子经过 2 秒落到地上，那么请估量这果子开头落下时离地面的高度是多少米？(3) 请你列出果子落下的高度h米与时间t秒之间的关系式。 7某种油箱容量为 60 升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量Q升随汽车行驶时间t时变化的关系式如下：Q606t(1) 请完成下表（1） 可以把 x 和 y 分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：小华骑车从学校回家，一段后，停下来修车，然后又开头往家走，直到回家；（2） 可以把 x 和 y 分别代表时间和速度，那么这个图可以描述为：一辆汽车，减速行驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后渐渐减速，到了目的地停下 来.（3） 可以把 x 和 y 分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：一个水池先放水，一段后，停顿，随后，又接着放水直到放完.汽车行驶时间t/小时0油箱的油量Q/升6012.544可以把 x 和 y 分别代表时间和高度，那么这个图就可以描述为：一架飞机从肯定的飞行高度渐渐下降一个高度，然后在这一高度飞行了一段时间后，快到(2) 汽车行驶 5 小时后，油箱中油量是升机场时，开头降落，最终降落在机场.5