【课件】导数的概念及其意义.pptx
第五章第五章 一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用 为了描述现实世界中的运动、变化现象为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入在数学中引入了函数了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念中非常重要的概念.在对函数的深入研究中在对函数的深入研究中,数学家创立了数学家创立了微积分微积分,这是具有划时代意义的伟大创造这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上被誉为数学史上的里程碑的里程碑.微积分的创立与主要与处理四类科学问题直接相关微积分的创立与主要与处理四类科学问题直接相关.一一是是已知物体运动的路程作为时间的函数已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻求物体在任意时刻的速度与加速度的速度与加速度,反之反之,已知物体的加速度作为时间的函数已知物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程求速度与路程;二是二是求曲线的切线求曲线的切线;三是三是求已知函数的最大求已知函数的最大值与最小值值与最小值;四是四是求长度、面积、体积和重心等求长度、面积、体积和重心等.历史上的科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终历史上的科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在于在17世纪中叶世纪中叶,牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上,凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地成立了微积分凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地成立了微积分.导数是微积分的核心概念之一导数是微积分的核心概念之一,是现代数学的基本概念是现代数学的基本概念,蕴蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大研究函数增减、变化快慢、最大(小小)值等性质的基本方法，因值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具等实际问题的基本工具.在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想限的思想.通过具体的实例感受导数在研究函数和解决实际问通过具体的实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义题中的作用，体会导数的意义.5.1 导数的概念及其意义导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性的研究了一次函数、指数函数、对函数单调性等知识定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异数函数增长速度的差异,知道知道“对数增长对数增长”是越来越慢的是越来越慢的,“指数爆炸指数爆炸”比比“直线上升直线上升”快得多快得多,进一步的能否精确进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题题.5.1.1 变化率问题变化率问题问题问题1 高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度 在一次在一次高台跳水运动中，运动员高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心在运动过程中的重心相对于水面的高相对于水面的高度度h(单位：单位：m)与起跳后的时间与起跳后的时间t(单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系 h(t)4.9t24.8t11.如何如何描述描述用运动员用运动员从起跳到入水从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？的过程中运动的快慢程度呢？例如例如,在在 0 t 0.5这段时间里，这段时间里，在在 1 t 2这段时间里，这段时间里，hto=-4.9(t1+t2)+4.8 显然显然,在这段时间内在这段时间内,运动员并不处于静止状态运动员并不处于静止状态.因此因此,用用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的需要引入瞬时速度的概念概念.我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.探究！探究！瞬时速度与平均速度有什么关系瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种你能利用这种关系求运动员在关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗时的瞬时速度吗?为了求运动员在为了求运动员在t=1时的瞬时速度时的瞬时速度,我们在我们在t=1之后或之之后或之前前,任意取一个时刻任意取一个时刻1+t,t是时间改变量是时间改变量,可以是正值可以是正值,也也可以是负值可以是负值,但不为但不为0.当当t 0时时,1+t在在1之后之后;当当t0时时,1+t在在1之前之前.当当t 0时时,在时间段在时间段1,1+t内内t=-0.01-4.951t=0.01-5.049t=-0.001-4.9951t=0.001-5.0049t=-0.0001-4.99951t=0.0001-5.00049t=-0.00001-4.999951t=0.00001-5.000049t=-0.000001-4.9999951t=0.000001-5.0000049因此因此,运动员在运动员在 t=1时的时的瞬时速度瞬时速度v(1)=5 m/s.思考思考?高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度:h(t)-4.9t24.8t11.(1)求运动员在求运动员在t2s 时的瞬时速度时的瞬时速度;解解：因因为为h(t)4.9t24.8t11，所所以以运运动动员员在在时时间间段段2，2t（或（或2t，2）的平均速度为）的平均速度为 思考思考?h(t)-4.9t24.8t11.(2)如何求运动员从起跳如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度的瞬时速度;解解：运运动动员员在在时时间间段段t0，t0t（或或t0t，t0）的平均速度为的平均速度为问题问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率 我们知道我们知道,如果一条直线与一个圆只有一个公共点如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它，如何确定它的切线呢？的切线呢？下面我们以抛物线下面我们以抛物线 f(x)=x2为例进行研究为例进行研究.与研究瞬时速度类似与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线为了研究抛物线f(x)=x2 在点在点P0(1,1)处的切线处的切线,我们通常在点我们通常在点P0(1,1)的附近取一点的附近取一点P(x,x2)考察抛物线考察抛物线f(x)=x2的割线的割线P0P 的变化情况的变化情况.观察！观察！如图如图,当点当点P(x,x2)沿着抛物线沿着抛物线 f(x)=x2 趋近于点趋近于点P0(1,1)时，时，割线割线P0P 有什么变有什么变化趋势化趋势?我们发现我们发现,当点当点P无限趋无限趋近于点近于点P0时，割线时，割线PP0无限趋无限趋近于一个确定的位置近于一个确定的位置,这个确这个确定位置的直线定位置的直线P0T称为称为抛物线抛物线 f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的处的切线切线.探究！探究！我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线求抛物线 f(x)=x2 在点在点P0(1,1)处的切线处的切线P0T的斜率呢？的斜率呢？我们可以用割线我们可以用割线P0P的斜率的斜率k近似地表示切线近似地表示切线P0T的斜的斜率率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔并且可以通过不断缩短横坐标间隔|x|来提高近似表来提高近似表示的精度，得到如下表格示的精度，得到如下表格.x 0 xk=x+2xk=x+2-0.011.990.012.01-0.0011.9990.0012.001-0.00011.99990.00012.0001-0.000011.999990.000012.00001-0.0000011.9999990.0000012.000001 我们发现，当我们发现，当x无限趋近于无限趋近于0时时,即无论即无论 x从小于从小于1的一的一边边,还是从大于还是从大于1的一边无限趋近于的一边无限趋近于1时时,割线割线P0P的斜率的斜率k都无都无限趋近于限趋近于 2.tOh1(1,h(1)(1+t,h(1+t)h(t)-4.9t24.8t11物体运动的平均速度物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度物体运动的瞬时速度割线的斜率割线的斜率切线的斜率切线的斜率无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近课堂小结课堂小结
