【课件】等差数列的前n项和公式+课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

等差数列的性质等差数列的性质设设 an是公差为是公差为d的等差数列，那么的等差数列，那么性质性质1 1 an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d复习回顾例例4 已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,公差公差d=8,在在an中每相邻两项之间都插中每相邻两项之间都插入入3个数个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项的项?若是若是,它是它是an的第几项的第几项?若不是若不是,说明理由说明理由.应用举例课本P16例例3 某公司购置了一台价值为某公司购置了一台价值为220万元的设备万元的设备,随着设备在使用过程中老随着设备在使用过程中老化化,其价值会逐年减少其价值会逐年减少.经验表明经验表明,每经过一年其价值就会减少每经过一年其价值就会减少d(d为正常数为正常数)万元万元.已知这台设备的使用年限为已知这台设备的使用年限为10年年,超过超过10年年,它的价值将低于购进价它的价值将低于购进价值的值的5%,设备将报废设备将报废.请确定请确定d的取值范围的取值范围.应用举例课本P164.2.2 等差数列前n项和公式第一课时一、新课引入200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+4+5+100=？（1+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）=10150=5050.高斯采用的是什么算法？利用首尾配对的方法.设an=n，那么高斯的算法可以表示为(a1+a100)+(a2+a99)+(a3+a97)+(a50+a51)=10150=5050.以上求和可以看作等差数列1，2，3，n的前100项的和.通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”转化为“相同数的求和”.二、新课讲解如果左图中的石子有101层，那么第1层到第101层一共有多少石子？1+2+3+101=？方法：方法：拿出中间项，再首尾配对拿出中间项，再首尾配对.原式=(1+101)+(2+100)+(50+52)+51=10250+51=5151.如果左图中的石子有n层，那么第1层到第n层一共有多少石子？Tn=1+2+3+n=？按照按照n取值的取值的奇偶进行分类讨论奇偶进行分类讨论.当n为偶数时，当n为奇数时，如何避免如何避免n取值奇偶的取值奇偶的讨论讨论呢？呢？倒置组合由图形，得到，所以，将倒置、组合的过程用数学表达式，可以表述为：将两个式子相加，可以得到所以，这种求和方法，是否可以用在求等差数列an的前n项和Sn中呢？因为所以即倒序相加法 把等差数列的通项公式 代入上式，得到等差数列等差数列an的前的前n n项和公式项和公式三、巩固应用三、巩固应用例例1 1 已知数列已知数列an是等差数列是等差数列.（1）若）若a1=7，a50=101，求求S50；（2）若）若a1=2，a2=，求，求S10；（3）若）若a1=，Sn=-5，求n.例例2 2 已知一个等差数列已知一个等差数列an前前1010项和是项和是310，前，前20项的项的和是和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？解：由题意，知把它们代入公式得解方程组，得四、等差数列前四、等差数列前n n项和公式与二次函数的关系项和公式与二次函数的关系 等差数列an的前n项和公式 可化简为 这个函数式与函数 有什么关系？当d0 时，是二次函数 当x=n时的函数值.当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.当d 0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点.当d0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.五、课后小结五、课后小结1.等差数列前n项和公式推导方法：倒序相加法.2.等差数列前n项和公式：3.等差数列的判定（记住结论）2.2.用前用前n项和公式判定等差数列项和公式判定等差数列结论：3.3.满足前满足前n项和为项和为Sn=pn2+qn+r（其中（其中p、q、r为常数，为常数，q0）的）的数列数列an是否为等差数列？是否为等差数列？当r=0时，数列an是以p+q为首项，2p为公差的等差数列；当r0时，数列an从第二项起是以2p为公差的等差数列.