【课件】等比数列的前n项和公式（第二课时）课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册).pptx

第四章 数列4.3.24.3.2等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式第二课时第二课时一二三学习目标能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题学习目标新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例例10 如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为5cm，取正方形，取正方形ABCD各各边的中点边的中点E,F,G,H，作第，作第2个正方形个正方形EFGH，然后再取正方，然后再取正方形形EFGH各边的中点各边的中点I,J,K,L，作第，作第3个正方形个正方形IJKL，依此，依此方法一直继续下去方法一直继续下去.(1)求从正方形求从正方形ABCD开始，连续开始，连续10个正方形的面积之和个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少方形的面积之和将趋近于多少?分析：分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列可知，这是一个等比数列.解解:设各个正方形的面积组成数列设各个正方形的面积组成数列an，正方形，正方形ABCD的面积为首项的面积为首项a1,则则a1=25 4新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 1.一个乒乓球从一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的的0.61倍倍.(1)当它第当它第6次着地时，经过的总路程是多少次着地时，经过的总路程是多少(精确到精确到1 cm)?(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm?课本课本P40新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).分析：由题意可知，每年分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量生活垃圾的总量构成构成等比数列等比数列,而每年以环保方式而每年以环保方式处理的垃圾量处理的垃圾量构成构成等差数列等差数列 .因此因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.解解:设从今年起每年设从今年起每年生活垃圾的总量生活垃圾的总量(单位单位:万吨万吨)构成数列构成数列an，每年以，每年以环保方式处理的垃圾环保方式处理的垃圾量量(单位单位:万吨万吨)构成数列构成数列bn，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位单位:万吨万吨)，则，则新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用=()+()+()=(+)(+)=20 (1.05+1.052+1.05n )-(7.5+9+6+1.5n )常用数列求和方法常用数列求和方法之分组求和之分组求和法法(1)求形如cnanbn的前n项和公式，其中an与bn是等差数列或等比数列；(2)将等差数列和等比数列分开：Tn c1+c2+cn (a1+a2+an)(b1+b2+bn)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.解：变式：例题小结例例12 某牧场今年初牛的存栏数为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后，预计以后每年存栏数的增长率为每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系之间的关系;(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的的形式，其中形式，其中k，r为常数为常数;(3)求求S10=c1c2c3c10的值的值(精确到精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用分析分析:(1)可以利用每年存栏数的可以利用每年存栏数的增长率为增长率为8%8%和每年和每年年底卖出年底卖出100100头建立头建立cn+1与与cn的的关系；关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式中的递推公式形式,通过比通过比较系数较系数,得到方程组；得到方程组；(3)利用利用(2)的结论可得出解答的结论可得出解答.例例12 某牧场今年初牛的存栏数为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且，且在每年年底卖出在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系之间的关系;(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的形式，其中的形式，其中k，r为常数为常数;(3)求求S10=c1c2c3c10的值的值(精确到精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例例12 某牧场今年初牛的存栏数为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且，且在每年年底卖出在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系之间的关系;(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的形式，其中的形式，其中k，r为常数为常数;(3)求求S10=c1c2c3c10的值的值(精确到精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用12课本课本P40新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn (q1)的函数特征吗？当q1时，即Sn是n的指数型函数.当q1时，Snna1，即Sn是n的正比例函数.结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.【例】数列an的前n项和Sn3n2.求an的通项公式,并判断an是否是等比数列.解:当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.当n1时，a1S13121，不满足上式.由于a11，a26，a318，所以a1，a2，a3不是等比数列，即an不是等比数列.思考：还有其他方法判断an是否是等比数列吗？新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质探究点三 等比数列的判断及其前n项和的函数特征精讲精练B思考：若an是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列an的项数有2n项，则(2)若等比数列an的项数有2n1项，则S奇a1a3 a2n-1 a2n+1a1(a3 a2n-1 a2n+1)a1q(a2a4a2n)a1qS偶S奇a1qS偶S偶a2a4a2n S奇a1a3a2n1S偶a2a4a2nS偶qS奇新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质【例】已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，求公比q.解：由题意知S奇S偶240，S奇S偶80 S奇80，S偶160，新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质D1、等等比数列前比数列前n项和公式，对于项和公式，对于公比未知公比未知的等比数列的等比数列，应应用等比数列的前用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为项和公式时，需讨论公比是否为1；3、数、数学思想方法的应用学思想方法的应用:方程思想方程思想:等比数列求和问题中的等比数列求和问题中的“知三求二知三求二”问问题题 就就是方程思想的重要体现；是方程思想的重要体现；分类讨论思想：分类讨论思想：由等比数列前由等比数列前 项和公式可知，解答项和公式可知，解答等等 比比数列求和数列求和问问 题题时常常要用到分类讨论思想时常常要用到分类讨论思想.2、等、等比数列前比数列前n项和公式的推导：项和公式的推导：错位相减法错位相减法；归纳小结归纳小结：20