【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx
第六章计数原理第六章计数原理6.1 分类加法分类加法计数原理与计数原理与分步乘法分步乘法 计数原理计数原理 计数计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.导语问题问题1：(1)小明要从北京到重庆，一天中飞机有小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，班，火车有火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？京到重庆共有多少种不同的走法？(3)(3)从从班班上上1515名名男男生生、3737名名女女生生中中担担任任数数学学课课代表，一共有多少种不同的选法？代表，一共有多少种不同的选法？(2)(2)用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母一个一个0-90-9阿拉伯数字给教室阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？里的一个座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？解析：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.解析：15+37=52种不同的选法上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准；（2）分别计算各类的个数；（3）各类的个数相加，得出所有的个数.1.分类分类加法加法计数原理计数原理典例解析例例1在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？A大学大学B大学大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学分析:要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9.分类加法计数原理的推广分类加法计数原理的推广利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.归纳总结优化设计2页问题问题2 2：(1)(1)小小明明先先从从北北京京到到成成都都，飞飞机机有有4 4班班，一一天天后后再再从从成成都都到到重重庆庆，火火车车有有3 3班班。小小明明乘乘坐坐这这些些交交通通工工具具从从北北京京经经成成都都再再到到重重庆庆共共有有多多少少种种不不同同的的走走法法？12种(2)(2)用前用前6 6个大写英文字母个大写英文字母和和1 19 9九个阿拉伯数字，九个阿拉伯数字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的一个的方式给教室里的一个座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来69=54种上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.2.分步分步乘法乘法计数原理计数原理分步乘法计数原理的推广分步乘法计数原理的推广典例解析例例2 设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生.优化设计3页问题问题1：(1)小明要从北京到重庆，一天中飞机有小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，班，火车有火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？京到重庆共有多少种不同的走法？1.分类分类加法加法计数原理计数原理问题问题2 2：(1)(1)小小明明先先从从北北京京到到成成都都，飞飞机机有有4 4班班，一一天天后后再再从从成成都都到到重重庆庆，火火车车有有3 3班班。小小明明乘乘坐坐这这些些交交通通工工具具从从北北京京经经成成都都再再到到重重庆庆共共有有多多少少种种不不同同的的走走法法？12种2.分步分步乘法乘法计数原理计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理相同点相同点不同点不同点注意点注意点用来计算用来计算完成一件事完成一件事的方法种数的方法种数每类每类方案中的每一方案中的每一种方法都能种方法都能独立独立完完成这件事成这件事每步依次完成每步依次完成才算才算完成这件事情完成这件事情（每每步中的每一种方法步中的每一种方法不能独立不能独立完成这件完成这件事事）相加相加相乘相乘类类独立类类独立步步相依步步相依不重不漏不重不漏缺一不可缺一不可分类、分类、分步、分步、问题：问题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么相同点和不同点是什么?课本第5页练习优化设计第3页 例2优化设计第4页 变式训练例例3书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?解：（1）根据分类加法计数原理可得：N43+29；（2）根据分步乘法计数原理可得：N43224；根据例3完成优化设计第4页 例3例例3书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?（3）需先分类再分步.第一类：从一、二层各取一本，有43=12种方法；第二类：从一、三层各取一本,有42=8种方法；第三类：从二、三层各取一本,有32=6种方法；根据两个基本原理，不同的取法总数是N=43+42+32=26答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.当堂达标3.4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成个不同的三位数.解析:分三个步骤:第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成N=764=168个不同的三位数.答案:168跟踪训练4.如图所示的电路图,从A到B共有条不同的线路可通电.解析:先分三类.第一类,经过支路有3种方法;第二类,经过支路有1种方法;第三类,经过支路有22=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.答案:85.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=12=2条;第二类:经过AD,有m2=12=2条;第三类:经过AA1,有m3=12=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.方法一:分两类.第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有63=18(种)选法.第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有12=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法.6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语.第一类:甲入选.(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有12=2(种)选法;(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有16=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).第二类:甲不入选.可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有62=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法.
