《电路》邱关源、第七章--一阶电路.ppt

重点掌握重点掌握第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析（一）（一）零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应全响应全响应三要素法三要素法K未动作前未动作前i=0 ,uC=0i=0 ,uC=Us一一.动态电路动态电路i+uCUsRC7-1 动态电路概述动态电路概述稳态分析稳态分析K+uCUsRCi t=0K接通电源后很长时间接通电源后很长时间1.动态电路与电阻电路的比较动态电路与电阻电路的比较K+uCUsRCi初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1USuct0?a.动态电路：动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。能达到新的稳态。上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。i动态电路换路后产生过渡过程动态电路换路后产生过渡过程，描述电路，描述电路的方程为微分方程。的方程为微分方程。电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。电路的方程为代数方程。K+uCUsRCi+-usR1R2R32.过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因1）电路内部含有储能元件）电路内部含有储能元件 L 、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成能量的储存和释放都需要一定的时间来完成2）电路结构、状态发生变化）电路结构、状态发生变化支路接入或断开支路接入或断开，参数变化参数变化换路换路3.稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳稳 态态换路发生换路发生很长时间很长时间后后重新达到稳态重新达到稳态换路换路刚刚发生后的发生后的整个变化过程整个变化过程微分方程的特解微分方程的特解动动 态态微分方程的一般解微分方程的一般解恒定或周期性激励恒定或周期性激励任意激励任意激励4.一阶电路一阶电路换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。5.动态电路的分析方法动态电路的分析方法1 1、根据根据KVL、KCL及元件的及元件的 VCR 建立电路建立电路方程，该方程为以时间为自变量的线性常方程，该方程为以时间为自变量的线性常微分方程。微分方程。2 2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。求出微分方程的解，从而得到所求变量。1.t=0+与与t=0-的概念的概念换路在换路在 t=0时刻进行时刻进行0-换路前一瞬间换路前一瞬间 0+换路后一瞬间换路后一瞬间三三.电路的初始条件电路的初始条件电路中的电路中的u，i 及其各阶导数在及其各阶导数在t=0+时的值。时的值。0-0+0tf(t)2.初始条件初始条件3.换路定律换路定律q=C uCt=0+时刻时刻当当i()为有限值时为有限值时iucC+-q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)电荷守恒电荷守恒结论：结论：换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。1）当当u()为有限值时为有限值时 L(0+)=L(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒磁链守恒结论结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。2）iuL+-L L(0+)=L(0-)iL(0+)=iL(0-)qc(0+)=qc(0-)uC(0+)=uC(0-)3）换路定律）换路定律注意注意:1）电容电流和电感电压为有限值是）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件换路定律成立的条件。2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。）换路定律反映了能量不能跃变的事实。换路瞬间，若电感电压保持为有换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。前后保持不变。1.由换路前电路（一般为稳定状态）求出由换路前电路（一般为稳定状态）求出uC(0-)和和 iL(0-)。电容电容相当于相当于开路开路，电感电感相当于相当于短路短路。2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)。3.画画0+等效电路等效电路 a.若若uC(0+)或或 iL(0+)不为零，不为零，电容电容（电感电感）用）用电压源电压源 （电流源电流源）替代。）替代。电压源电压源（电流源电流源）取）取0+时刻值，时刻值，其方向同原假定的电容电压、其方向同原假定的电容电压、电感电流方向。电感电流方向。b.若若uC(0+)或或 iL(0+)为零，为零，电容电容（电感电感）用）用短路短路（开开 路路）替代。）替代。4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值，即初始值。值，即初始值。4.电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC(0+)=uC(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路(1)由由0-电路求电路求 uC(0-)或或iL(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例+-10ViiC+uC-k10k40k求求 iC(0+)7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：激励激励(独立电源独立电源)为零，仅由储能元件初始储能为零，仅由储能元件初始储能 作用于电路产生的响应。作用于电路产生的响应。一、一、RC放电电路放电电路已知已知 uC(0-)=U0iK(t=0)+uRC+uCR uR=Ri一阶微分方程一阶微分方程特征根特征根设设特征方程特征方程RCp+1=0得得则则iK(t=0)+uRC+uCR又又 uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0tU0uC0I0ti0 电压、电流以同一指数规律衰减，衰减电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于快慢取决于RC乘积。乘积。令令 =RC ,称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数。时间常数。iK(t=0)+uRC+uCR 时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程的大小反映了电路过渡过程时间的长短。时间的长短。大，大，过渡过程时间的长。过渡过程时间的长。=RCU0tuc0 小小 大大电压初值一定：电压初值一定：R 大大（C不变）不变）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间放电时间长长C 大大（R不变）不变）W=0.5Cu2 储能大储能大U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 ：电容电压：电容电压衰减到衰减到原来电压原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为,经过经过 3 -5 ,过渡过程结束。过渡过程结束。t0 2 3 5 U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 某点切距的长度某点切距的长度 t2-t1=tuc0 t1t2能量关系：能量关系：C不断释放能量被不断释放能量被R吸收吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设uC(0+)=U0电容放出能量电容放出能量 电阻吸收（消耗）能量电阻吸收（消耗）能量uCR+-C二二.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 p=由初始值由初始值 i(0+)=I0 定积分常数定积分常数A，A=i(0+)=I0i(0-)=i(0+)=iK(t=0)USL+uLRR1令令 =L/R,称为一阶称为一阶RL电路电路时间常数时间常数I0一定：一定：L大大 起始能量大起始能量大 R小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大-RI0uLtI0ti0iL(0+)=iL(0-)1 AuV(0+)=-10000V 造成造成V损坏。损坏。例例iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10Vt=0时时,打开开关打开开关K，求求uv。电压表量程：电压表量程：50V，现象，现象：电电压表坏了压表坏了。分析分析小结：小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减衰减的速度的速度取决于时间常数取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。5.具体求解时具体求解时建议先将电路简化建议先将电路简化。零状态响应零状态响应：储能元件初始能量为零，电路在输入激励：储能元件初始能量为零，电路在输入激励 作用下产生的响应。作用下产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=07-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 一一.RC电路的零状态响应电路的零状态响应iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=0非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式：解答形式：齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由起始条件由起始条件 uC(0+)=0，得，得定积分常数定积分常数 A=USiK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=0特解与输入激励的变化规律有关，又称为特解与输入激励的变化规律有关，又称为强制分量强制分量，有时也称为有时也称为稳态分量稳态分量。通解的变化规律取决于特征根，由电路参数和结构决通解的变化规律取决于特征根，由电路参数和结构决定，与外施激励无关，称为定，与外施激励无关，称为自由分量自由分量，又称为，又称为瞬态分量瞬态分量。：特解（强制分量）特解（强制分量）=US：通解（自由分量）通解（自由分量）iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=0强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)-USuCuCUSti0tuc0能量关系能量关系结论：结论：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。能量储存在电容中。电容：电容：电源提供能量：电源提供能量：电阻：电阻：RC+-US例例：t t=0=0时时 ,开关开关K K闭合，已知闭合，已知 u uC C（0 0）=0=0，求求：（1 1）电容电压和电流，（）电容电压和电流，（2 2）u uC C80V80V时的充电时间时的充电时间t t。500 10 F+-100VK+uCi解：解：（1 1）属于）属于RC电电路零状态响应问题路零状态响应问题（2）设经过）设经过t1 1秒，秒，uC C80V二二.RL电路的零状态响应电路的零状态响应USt0tuLiL0iLK(t=0)US+uRL+uLR例：例：t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律的变化规律。解：解：RL电路零状态响应问题。电路零状态响应问题。iLK+uL2HR80 10A200 300 iL+uL2H10AReqt0（1）化简电路）化简电路（2）求相关参数）求相关参数作作 业业P192P192193193：7-117-11、7-127-127-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一一.一阶电路的全响应及其两种分解方式一阶电路的全响应及其两种分解方式iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=U01、全响应、全响应iK(t=0)US+uRC+uCR稳态解稳态解 uC =US解为解为 uC(t)=uC+uCuC(0-)=U0非齐次方程非齐次方程=RC暂态解暂态解1、全响应、全响应uC(0+)=A+US=U0 A=U0 US由初始值定由初始值定A强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0自由分量：按自由分量：按指数规律衰减指数规律衰减uCUS强制分量：等于强制分量：等于外施直流电压外施直流电压U0uc全解全解tuc0(1)全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)2、全响应的两种分解方式、全响应的两种分解方式iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=U0iK(t=0)US+uRC+uCR=uC(0-)=0+uC(0-)=U0C+uCiK(t=0)+uRR(2)全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0(3)两种分解方式的比较两种分解方式的比较零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应物理概念清楚，较清晰地反映电路的工作状态和动态过程。物理概念清楚，较清晰地反映电路的工作状态和动态过程。较清晰地反应响应与激励间的因果关系，便于叠加计算。较清晰地反应响应与激励间的因果关系，便于叠加计算。全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)稳态解稳态解暂态解暂态解(t 0)(t 0)二二.三要素法三要素法一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令令 t=0+其解的一般形式为：其解的一般形式为：+时间常数时间常数初始值初始值特解，稳态解特解，稳态解三要素三要素 )0()(ff作作 业业P194P194195195：7-167-16、7-197-19例例t=0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：iL+20V0.5H5 5+10Vi2i1应用三要素公式应用三要素公式例例已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，求换路后的uL(t)。4+4 i12i1u+2A4 2 0.1H+uL+4 i12i18V+12iL解：解：iL+uL0.1HUocReq+例例已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，求换路后的uC(t)。2A4 1 0.1F+uC+4 i12i18V+12解解三要素为：三要素为：4+4 i12i1u+7-7 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数1.定义定义t (t)012.单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟t (t-t0)t001单位阶跃函数可用于起始任意一个函数单位阶跃函数可用于起始任意一个函数4.由单位阶跃函数可组成复杂的信号由单位阶跃函数可组成复杂的信号(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)3.用用(t)(t)来描述开关的动作来描述开关的动作t=0合闸合闸 u(t)=Et=0合闸合闸 i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)iC+uCRuC(0-)=0tuc1注意注意和和的区别的区别t01it0i 二、阶跃响应二、阶跃响应 单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应。单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应。tiC0激励在激励在 t=t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。iC (t-t0)C+uCR+-t-t0(t-t0)t0注意注意t(t-t0)不要写为不要写为例例1.求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t)10k10kus+-ic100 FuC(0-)=010k10k+-ic100 FuC(0-)=010k10k+-ic100 FuC(0-)=00.510t(s)us(V)0+-ic100 FuC(0-)=05k10k10k+-ic100 FuC(0-)=010k10k+-ic100 FuC(0-)=0等效等效分段表示为分段表示为t(s)i(mA)01-0.6320.5波形波形0.368一一.单位冲激函数单位冲激函数 p(t)1/tp(t)07-8 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应t(t)(1)0单位矩形单位矩形脉冲函数脉冲函数p (t)单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟 (t-t0)t (t-t0)t00（1）二、性质二、性质单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数 函数的筛分性函数的筛分性 同理有：同理有：f(0)(t)例例t(t)(1)0f(t)f(0)*f(t)在在 t0 处连续处连续=1=0uc 不可能是冲激函数不可能是冲激函数,否则否则KCL不成立不成立1.RC电路电路（分二个时间段来考虑冲激响应）（分二个时间段来考虑冲激响应）iCRisC+-uC0-0+0+t零输入响应零输入响应 uC(0-)=0电容充电电容充电(1)t 在在 0-0+间间电容中的冲激电流使电容中的冲激电流使电容电压发生跳变电容电压发生跳变三、冲激响应：三、冲激响应：单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应 (2)t 0+零输入响应零输入响应 （RC放电）放电）icRC+uc-uCt0iCt(1)零状态零状态R(t)四、由单位阶跃响应求单位冲激响应四、由单位阶跃响应求单位冲激响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)解：先求解：先求单位阶跃响应单位阶跃响应 令令 is(t)=iCRisC例例6-+-uCuC(0+)=0 uC()=R =RC 已知：已知：求：求：is(t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应 uC(t)和和 iC(t)iC(0+)=1 iC()=0 再求再求单位冲激响应单位冲激响应 令令 i s(t)=0uCRt0iC1t0uCt0iCt(1)冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应 结结 束束