高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)14级.docx

高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）14级（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小20（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用其中一种设备的概率分别为0。6、0。5、0。5、0。4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）表示同一工作日需使用设备的人数，求数学期望21（12分）已知抛物线C：y2=2p（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且，QF，=，PQ，（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程22（12分）函数f（）=ln（+1）（a1）（）讨论f（）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：an（nN）2022年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A1+3iB13iC1+3iD13i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求【解答】解：z=，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）设集合M=，2340，N=，05，则MN=（）A（0，4B0，4）C1，0）D（1，0【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由2340，得14M=，2340=，14，又N=，05，MN=，14，05=0，4）故选：B【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题3（5分）设a=in33°，b=co55°，c=tan35°，则（）AabcBbcaCcbaDcab【考点】HF：正切函数的单调性和周期性菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】可得b=in35°，易得ba，c=tan35°=in35°，综合可得【解答】解：由诱导公式可得b=co55°=co（90°35°）=in35°，由正弦函数的单调性可知ba，而c=tan35°=in35°=b，cba故选：C【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题4（5分）若向量、满足：，=1，（+），（2+），则，=（）A2BC1D【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）=0，（2+）=0，由此求得，【解答】解：由题意可得，（+）=+=1+=0，=1；（2+）=2+=2+=0，b2=2，则，=，故选：B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题5（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A60种B70种C75种D150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】5O：排列组合【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有155=75种；故选：C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同6（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=，AF1，+，AF2，+，BF1，+，BF2，=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）曲线y=e1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A2eBeC2D1【考点】62：导数及其几何意义菁优网版权所有【专题】52：导数的概念及应用【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【解答】解：函数的导数为f（）=e1+e1=（1+）e1，当=1时，f（1）=2，即曲线y=e1在点（1，1）处切线的斜率k=f（1）=2，故选：C【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础8（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体菁优网版权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=in换元，根据给出的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围【解答】解：由f（）=co2+ain=2in2+ain+1，令t=in，则原函数化为y=2t2+at+1（，）时f（）为减函数，则y=2t2+at+1在t（，1）上为减函数，y=2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=，解得：a2a的取值范围是（，2故答案为：（，2【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题三、解答题17（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acoC=2ccoA，tanA=，求B【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】由3acoC=2ccoA，利用正弦定理可得3inAcoC=2inCcoA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan（A+C）=tan（A+C）即可得出【解答】解：3acoC=2ccoA，由正弦定理可得3inAcoC=2inCcoA，3tanA=2tanC，tanA=，2tanC=3=1，解得tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1，B（0，），B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题18（12分）等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且SnS4（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）通过SnS4得a40，a50，利用a1=13、a2为整数可得d=4，进而可得结论；（2）通过an=133n，分离分母可得bn=（），并项相加即可【解答】解：（1）在等差数列an中，由SnS4得：a40，a50，又a1=13，解得d，a2为整数，d=4，an的通项为：an=174n；（2）an=174n，bn=（），于是Tn=b1+b2+。+bn=（）+（）+。+（）=（）=【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD为二面角A1ABC的平面角，解三角形由反三角函数可得【解答】解：（）A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，平面AA1C1C平面ABC，又BCACBC平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1A1C，又AC1BC，A1CBC=C，AC1平面A1BC，AB1平面A1BC，AC1A1B；（）BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，平面AA1C1C平面BCC1B1，作A1ECC1，E为垂足，可得A1E平面BCC1B1，又直线AA1平面BCC1B1，A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，A1C为ACC1的平分线，A1D=A1E=，作DFAB，F为垂足，连结A1F，又可得ABA1D，A1FA1D=A1，AB平面A1DF，A1F平面A1DFA1FAB，A1FD为二面角A1ABC的平面角，由AD=1可知D为AC中点，DF=，tanA1FD=，二面角A1ABC的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题20（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用其中一种设备的概率分别为0。6、0。5、0。5、0。4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）表示同一工作日需使用设备的人数，求数学期望【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求（）可能取值为0，1，2，3，4，分别求出Pi，再利用数学期望公式计算即可【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0。60。50。50。4+（10。6）0。50。50。4+0。6（10。5）0。50。4+0。60。5（10。5）0。4+0。60。50。5（10。4）=0。31（）可能取值为0，1，2，3，4P（=0）=（10。6）0。52（10。4）=0。06P（=1）=0。60。52（10。4）+（10。6）0。520。4+（10。6）20。52（10。4）=0。25P（=4）=P（A2BC）=0。520。60。4=0。06，P（=3）=P（D）P（=4）=0。25，P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）P（=4）=10。060。250。250。06=0。38故数学期望E=00。06+10。25+20。38+30。25+40。06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题21（12分）已知抛物线C：y2=2p（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且，QF，=，PQ，（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设点Q的坐标为（0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得0=，根据，QF，=，PQ，求得p的值，可得C的方程（）设l的方程=my+1（m0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长，AB，把直线l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得，MN，由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于，AE，=，BE，=，MN，由此求得m的值，可得直线l的方程【解答】解：（）设点Q的坐标为（0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2p（p0），可得0=，点P（0，4），PQ，=又，QF，=0+=+，QF，=，PQ，+=，求得p=2，或p=2（舍去）故C的方程为y2=4（）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4焦点F（1，0），设l的方程=my+1（m0），代入抛物线方程可得y24my4=0，显然判别式=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长，AB，=，y1y2，=4（m2+1）又直线l的斜率为m，直线l的方程=y+2m2+3过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，把线l的方程代入抛物线方程可得y2+y4（2m2+3）=0，y3+y4=，y3y4=4（2m2+3）故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），MN，=，y3y4，=，MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于，AE，=，BE，=，MN，+DE2=MN2，4（m2+1）2+=，化简可得m21=0，m=±1，直线l的方程y1=0，或+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题22（12分）函数f（）=ln（+1）（a1）（）讨论f（）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：an（nN）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】（）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（）的单调性；（）利用数学归纳法即可证明不等式【解答】解：（）函数f（）的定义域为（1，+），f（）=，当1a2时，若（1，a22a），则f（）0，此时函数f（）在（1，a22a）上是增函数，若（a22a，0），则f（）0，此时函数f（）在（a22a，0）上是减函数，若（0，+），则f（）0，此时函数f（）在（0，+）上是增函数当a=2时，f（）0，此时函数f（）在（1，+）上是增函数，当a2时，若（1，0），则f（）0，此时函数f（）在（1，0）上是增函数，若（0，a22a），则f（）0，此时函数f（）在（0，a22a）上是减函数，若（a22a，+），则f（）0，此时函数f（）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a=2时，此时函数f（）在（1，+）上是增函数，当（0，+）时，f（）f（0）=0，即ln（+1），（0），又由（）知，当a=3时，f（）在（0，3）上是减函数，当（0，3）时，f（）f（0）=0，ln（+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当n=1时，由已知，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）ln（），ak+1=ln（ak+1）ln（），即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大读读不会错的。