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2023经济数学基础例题大全（考试必备）（一）单项选择题1函数的定义域是（D ） AB CD 且2若函数的定义域是（0，1，则函数的定义域是( C )A B C D3设，则=（A） A B C D 4下列函数中为奇函数的是（C） A B C D5下列结论中，（C）是对的的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称 C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数 6. 已知，当（A ）时，为无穷小量.A. B. C. D. 7函数 在x = 0处连续，则k = (C)A-2 B-1 C1 D2 8. 曲线y = sinx在点(0, 0)处的切线方程为（A ）A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x 9若函数，则=（ B ） A B- C D- 10若，则（ D ） A B C D 11下列函数在指定区间上单调增长的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ）A B C D（二）填空题1函数的定义域是 答案：-5，2）2若函数，则答案：3设，则函数的图形关于对称答案： y轴 4. . 答案：1 5已知，当 时，为无穷小量 答案：6. 函数的间断点是.答案： 7曲线在点处的切线斜率是答案：8已知，则= 答案：09需求量q对价格的函数为，则需求弹性为答案： （三）计算题1 解 = = = 2 解 = =22 = 4 3 解 4； 解 5 解 = =0+ 1 = 1 6已知，求 解 (x)= = 7已知，求；解 由于 所以 = 8已知y =，求dy 解 由于 = = 所以 9设，求 解：由于 所以 10由方程拟定是的隐函数，求.解 对方程两边同时求导，得 =.11设函数由方程拟定，求 解：方程两边对x求导，得 当时， 所以，12由方程拟定是的隐函数，求 解 在方程等号两边对x求导，得 故 （四）应用题 1某厂生产一批产品，其固定成本为2023元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数= 60+2023 由于 ，即， 所以 收入函数=()= （2）由于利润函数=- =-(60+2023) = 40-2023 且 =(40-2023=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大2某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少. 解 由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点 由于利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达成最大， 且最大利润为 （元） 3已知某厂生产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 解 （1） 由于 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品1函数的定义域是（ ）（答案：B） A B C D2、若函数，则=（ ）。（答案：A） A0 B C D 3下列函数中，（ ）是的原函数。（答案：D） A B C D 4设A为m×n矩阵，B为s×t矩阵,且故意义，则C是（ ）矩阵。（答案：D） Am×t Bt×m Cn×s Ds×n 5用消元法解线性方程组 得到的解为（ ）。（答案：C）A B C D二、填空题：（3×5分）6已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q，则当产量q=50单位时，该产品的平均成本为 。（答案：3.6）7函数 的间断点是= 。(答案：x1=1，x2=2)8= 。 (答案：2)9矩阵的秩为 。（答案：2）10若线性方程组 有非0解，则= 。（答案：=-1）三、微积分计算题（10×2分）11设，求。解：12。解：四、 代数计算题（15×2分）13设矩阵A=。解：I+A=（I+A I）=14设齐次线性方程组 ，问取何值时方程组有非0解,并求一般解。解：A= 故当=5时方程组有非0解，一般解为五、 应用题（8分）15已知某产品的边际成本为(元/件)，固定成本为0，边际收益，求：（1）；产量为多少时利润最大？（2）在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：（1）边际利润令，得唯一驻点q=500（件），故当产量为500件时利润最大。 （2）当产量由500件增长至550件时 ，利润改变量为即利润将减少25元。线性代数综合练习及参考答案一、单项选择题1设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. AAB BABT CA+B DBAT 2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 3设为同阶可逆方阵，则下列说法对的的是（ D ）A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 4设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ） A B C D5设是可逆矩阵，且，则（C ）.A. B. C. D. 6设，是单位矩阵，则（ D ） A B C D7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A ¹ 0，则B = C BAB = AC，A可逆，则B = C CA可逆，则AB = BA DAB = 0，则有A = 0，或B = 08设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（ C） A. B. C. D. 9设，则r(A) =（ D ） A4 B3 C2 D1 10设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ） A1 B2 C3 D4 11线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12若线性方程组的增广矩阵为，则当（A）时线性方程组无解A B0 C1 D213 线性方程组只有零解，则（ B ）.A. 有唯一解 B. 也许无解 C. 有无穷多解 D. 无解14设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ） A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能拟定二、填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充足必要条件是 与是同阶矩阵 .2计算矩阵乘积=43若矩阵A = ，B = ，则ATB=4设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式 答： 5设，当 0 时，是对称矩阵.6当 时，矩阵可逆.7设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解 。8设为阶可逆矩阵，则(A)= n 9若矩阵A =，则r(A) = 2 10若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解11若线性方程组有非零解，则-112设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r 13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .答: (其中是自由未知量)14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 -1 时，方程组有无穷多解.15若线性方程组有唯一解，则只有0解 . 三、计算题 1设矩阵，求2设矩阵 ，计算 3设矩阵A =，求 4设矩阵A =，求逆矩阵 5设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1 6设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1 7解矩阵方程8解矩阵方程. 9设线性方程组讨论当a，b为什么值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 11求下列线性方程组的一般解： 12求下列线性方程组的一般解： 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解. 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解. 四、证明题1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求. 4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.5设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵 三、计算题1解 由于 = =所以 = 2解：= = = 3解 由于 (A I )= 所以 A-1 = 4解 由于(A I ) = 所以 A-1= 5解 由于AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6解 由于BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解 由于 即 所以，X = 8解：由于 即 所以，X = 9解 由于 所以当且时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解. 10解 由于 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又由于r(A) ¹ r()，所以方程组无解. 11解 由于系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 12解 由于增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 13解 由于系数矩阵 A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 14解 由于增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量 15解：当=3时，方程组有解. 当=3时， 一般解为， 其中, 为自由未知量. 四、证明题 1证 由于AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2证 由于 = = 所以 3. 证 由于，且，即，得，所以是可逆矩阵，且.4. 证 由于 =所以是对称矩阵.5证 由于 ，且 所以 ABBA是对称矩阵 积分学部分综合练习及参考答案一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x 2. 若= 2，则k =（ A ） A1 B-1 C0 D 3下列等式不成立的是（ D ） A B C D 4若，则=（D ）.A. B. C. D. 5. （ B ） A B C D 6. 若，则f (x) =（ C ） A B- C D- 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 8下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 9下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ B ） A-550 B-350 C350 D以上都不对 11下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 AB C D 12微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题1 2函数f (x) = sin2x的原函数是3若，则.4若，则= .5. 67无穷积分是（判别其敛散性）8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为 9. 是 阶微分方程.10微分方程的通解是二、填空题答案1. 2. -cos2x + c (c 是任意常数) 3. 4. 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + 9. 2 10. 三、计算题 23 45 67 8 9 10求微分方程满足初始条件的特解11求微分方程满足初始条件的特解12求微分方程满足 的特解. 13求微分方程的通解14求微分方程的通解.15求微分方程的通解 16求微分方程的通解 三、计算题 解 = = 2解 =3解 = xcos(1-x) - = xcos(1-x) + sin(1-x) + c 4解 = = 5解 = = 6解 = =12 7解 = 8解 =-=9解法一 = =1 解法二 令，则 = 10解 由于 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 12解：移项，分离变量，得 两边求积分，得 通解为： 由，得，c = 1 所以，满足初始条件的特解为： 13解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15解 在微分方程中，由通解公式 = = 16解：由于，由通解公式得 = = = 四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？四、应用题1解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题的确存在使平均成本达成最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达成最小. 2解 由于边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题的确存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增长至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题的确存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4解：由于总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题的确存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5解：(1) 由于边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增长至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 注意：经济数学基础综合练习及模拟试题（含答案）一、单项选择题1若函数，则( A )A-2 B-1 C-1.5 D1.52下列函数中为偶函数的是（ D ） A B C D3函数的连续区间是（ A ） A B C D4曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ B ） A B C D 5设，则=（ C ） A B C D6下列积分值为0的是（ C ） A B C D7设，是单位矩阵，则（ A ）A B C D8. 设为同阶方阵，则下列命题对的的是（ B ）.A.若，则必有或 B.若，则必有,C.若秩,秩，则秩D. 9. 当条件（ D ）成立时，元线性方程组有解A. B. C. D. 10设线性方程组有惟一解，则相应的齐次方程组（ B ）A无解 B只有0解 C有非0解 D解不能拟定二、填空题1函数的定义域是 . 应当填写：2假如函数对任意x1, x2，当x1 < x2时，有 ，则称是单调减少的.应当填写：3已知，当 时，为无穷小量 应当填写：4过曲线上的一点（0，1）的切线方程为 应当填写：5若，则= . 应当填写：6= 应当填写：7设，当 时，是对称矩阵. 应当填写：08. 设均为n阶矩阵，其中可逆，则矩阵方程的解应当填写：9设齐次线性方程组，且 = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 应当填写：n r10线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当= 时，方程组有无穷多解. 应当填写：-1 三、计算题1设，求. 解：由于 = 所以 = = 0 2设，求 解：由于 所以 3 解：= = 4 解：= = 5设矩阵 ，计算解：由于 = = = 且 =所以 =2 6设矩阵，求 解：由于 即 所以 7求线性方程组的一般解 解：由于系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 8当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解解 由于增广矩阵 所以，当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量四、应用题1某厂天天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，天天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解：由于 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题的确存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，天天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 2已知某产品的销售价格（单位：元件）是销量（单位：件）的函数，而总成本为（单位：元），假设生产的产品所有售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：由已知条件可得收入函数 利润函数 求导得 令得，它是唯一的极大值点，因此是最大值点 此时最大利润为 即产量为300件时利润最大最大利润是43500元 3生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为 （万元/百台），其中x为产量，若固定成本为10万元，问（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 （1）边际利润 令 ，得 （百台）又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。（2）利润的变化 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。 1若函数，则( A ) A-2 B-1 C-1.5 D1.5 2曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ B ） A B C D 3下列积分值为0的是（ C ） A BC D 4设，是单位矩阵，则（ A ） A B C D 5. 当条件（ D ）成立时，元线性方程组有解A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）6假如函数对任意x1, x2，当x1 < x2时，有 ，则称是单调减少的. 7已知，当 时，为无穷小量 8若，则= .9. 设均为n阶矩阵，其中可逆，则矩阵方程的解10设齐次线性方程组，且 = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 6. 7. 8. 9. 10n r 三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11设，求. 12 11解：由于 = 所以 = = 0 12解：= = 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 13设矩阵 ，计算 13解：由于 = = = 且 =所以 =2 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解14解 由于增广矩阵 所以，当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量 五、应用题（本题20分） 15某厂天天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，天天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 15解：由于 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题的确存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，天天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 填空题1下列函数中为偶函数的是（ D ） A BC D 2函数的连续区间是（ A ） A B C D 3设，则=（ C ） A B C