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平面向量复习教案平面向量复习一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如例1（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_二、 向量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如例2（1）若，则_（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（4）已知中，点在边上，且，则的值是_ADBC例3已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求解：()变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）A B C D 解:A例4. 已知向量，其中、不共线，求实数、，使解:29(22)(33)222，且3392，且1变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：证明 2，24例5. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，试用、表示和解：连NC，则；BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示，解:， 四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。例6.（1）ABC中，则_（2）已知，与的夹角为，则等于_ （3）已知，则等于_（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_例7.已知，且，则向量在向量上的投影为_例8.（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（2）已知 的面积为，且，若，则夹角的取值范围是 。六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。2坐标运算：设，则：向量的加减法运算：，。实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、 的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值向量的模：。两点间的距离：若，则。例9._；_；_例10.（1）已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知，则 例11.设，且，则C、D的坐标分别是_例12.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_例13. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求； (2) 求|的最大值解：(1)若，则 即 而，所以(2) 当时，的最大值为例14. 已知O是ABC所在平面内一点，且满足()·(2)0，判断ABC的形状解:设BC的中点D，则()()02·0BCADABC是等腰三角形变式训练4：若，则ABC的形状是 . 解: 直角三角形.提示： 例15. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()的值.解:(cossin, cossin)由已知(cossin)2(cossin)2化简：cos 又cos2(, 2) cos<0 cos变式训练5.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.解：由得七向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。例16.下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？例17.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标解(1，)，(1, )，即C(1, )变式训练6.若，则= . 解: 提示：例18. 已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值解:|coscos()变式训练7.已知2(3，1)，2(1，2)，求例19. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x变式训练8.设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 <<)，求证：k证明: k k0 k例20. 平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹AMBCDP解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)， 得x010 y06 即点C(10，6)(2) 点D的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M为AB的中点P分的比为设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x14，3y2)点P的轨迹方程为变式训练9.直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(3，4)，若点C在AOB的平分线上，且|2，求的坐标解 已知A (0，1)，B (3，4) 设C (0，5)，D (3，9)则四边形OBDC为菱形 AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD 八向量平行(共线)的充要条件：0。例21. (1)若向量，当_时与共线且方向相同（2）已知，且，则x_（3）设，则k_时，A,B,C共线例22. 设，是不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点在一条直线上？解：设 (R)化简整理得：，故时，三向量的向量的终点在一直线上变式训练10：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.若共线，则可为任意实数；若不共线，则有，解之得，.综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.九向量垂直的充要条件： .特别地。例23. (1)已知，若，则 （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （3）已知向量，且，则的坐标是_ 例24.已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)证明： 与互相垂直（2）,而 ，十向量中一些常用的结论：（1）在中，若，则其重心的坐标为。为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； （2）向量中三终点共线存在实数使得且.例25.若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_例26.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_巩固练习1 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：， 2设非零向量、不共线，=k+，=+k (kÎR)，若，试求k3 已知向量，且，求实数的值4已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标5已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角6 已知，按下列条件求实数的值 （1）；（2）；7已知，且与夹角为120°求； ； 与的夹角。8已知向量=，= 。求与； 当为何值时，向量与垂直？ 当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？9已知=，= ，=，设是直线上一点，是坐标原点求使取最小值时的； 对（1）中的点，求的余弦值。10在中，为中线上的一个动点，若 求：的最小值。第 8 页 共 8 页